2021-2022學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 14 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 14 頁(yè)2021-2022學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知，則等于（）A6B13C6或13D12【答案】A【分析】根據(jù)排列數(shù)公式，化簡(jiǎn)計(jì)算，結(jié)合x(chóng)的范圍，即可得答案.【詳解】由題意得，化簡(jiǎn)可得，解得或6，因?yàn)?，所以且，?故選：A2一個(gè)袋子中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些小球除顏色外沒(méi)有其他差異從中不放回地抽取2個(gè)球，每次只取1個(gè)設(shè)事件=“第一次抽到紅球”，=“第二次抽到紅球”，則概率是（）AB

2、CD【答案】B【分析】利用古典概率公式求出事件及事件的概率，再利用條件概率公式計(jì)算得解.【詳解】依題意，所以.故選：B3在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A27B28C29D30【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式即可求解【詳解】的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為故選：D4長(zhǎng)津湖和我和我的父輩都是2021年國(guó)慶檔的熱門(mén)電影某電影院的某放映廳在國(guó)慶節(jié)的白天可以放映6場(chǎng)，晚上可以放映4場(chǎng)電影這兩部影片只各放映一次，且兩部電影不能連續(xù)放映（白天最后一場(chǎng)和晚上第一場(chǎng)視為不連續(xù)），也不能都在白天放映，則放映這兩部電影不同的安排方式共有（）A30種B54種C60種D64種【答案】B【分析】分兩種情況考慮，均在晚上播放，或

3、者白天一場(chǎng)，晚上一場(chǎng)，求得結(jié)果.【詳解】若均在晚上播放，則不同的安排方式有種，若白天一場(chǎng)，晚上一場(chǎng)，則有種，故放映這兩部電影不同的安排方式共有48+6=54種.故選：B5記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，則（）A7B8C9D10【答案】A【分析】根據(jù)題目條件可得，成等比數(shù)列，從而求出，進(jìn)一步求出答案.【詳解】為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，成等比數(shù)列，.故選：A.6中國(guó)南北朝時(shí)期的著作孫子算經(jīng)中，對(duì)同余除法有較深的研究，設(shè)為整數(shù)，若a和b被m除得余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為，若，則b的值可以是（）A2020B2021C2022D2023【答案】B【分析】利用二項(xiàng)式定理可得，再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)即可得解

4、.【詳解】因?yàn)?四個(gè)選項(xiàng)中，只有時(shí)，除以10余數(shù)是1故選：B7用四種顏色給正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求每個(gè)頂點(diǎn)涂一種顏色，且每條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂法有（）A72種B36種C12種D60種【答案】A【分析】列出表格，使用分類加法，分步乘法公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】如下表頂點(diǎn)VABCD種數(shù)432C與A同色12C與A不同色11總計(jì)故選：A8楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的評(píng)解九章算法（年）一書(shū)中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)式乘方展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律，現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：，記作數(shù)列，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

5、）ABCD【答案】C【分析】由歸納推理及等比數(shù)列前項(xiàng)和可得：即在第11組中且為第11組中的第2個(gè)數(shù)，則，得解【詳解】解：將1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，分組為（1），2，3，3，4，6，4，則第組個(gè)數(shù)且第組個(gè)數(shù)之和為，設(shè)在第組中，則，解得：，即在第11組中且為第11組中的第2個(gè)數(shù)，即為，則，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理及等比數(shù)列前項(xiàng)和，屬于中檔題二、多選題9已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，則下列說(shuō)法正確的有（）A展開(kāi)式共有7項(xiàng)B二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)C所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128D展開(kāi)式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)【答案】CD【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和公式

6、、通項(xiàng)公式以及二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，所以令可得：.A：因?yàn)?，所以展開(kāi)式共有項(xiàng)，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；B：因?yàn)?，所以二?xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第項(xiàng)，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；C：因?yàn)椋运卸?xiàng)式系數(shù)和為，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確；D：由B可知：，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確，故選：CD10若男女排成一排，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A共計(jì)有種不同的排法B男生甲排在兩端的共有種排法C男生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為種D男女生相間排法總數(shù)為種【答案】BC【分析】利用排列計(jì)數(shù)原理可判斷A選項(xiàng)；利用特殊元素優(yōu)先考慮可判斷B選項(xiàng)；利用捆綁法可判斷C選項(xiàng)；利用列

7、舉法結(jié)合排列計(jì)數(shù)原理可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，共有種不同的排法，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，男生甲排在兩端，共有種不同的排法，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若男生甲、乙相鄰，將甲、乙兩人捆綁，形成一個(gè)“大元素”，此時(shí)共有種不同的排法，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，男女生相間，共有兩種情況：男女男女男女、女男女男女男，共有種不同的排法，D對(duì).故選：BC.11對(duì)任意實(shí)數(shù)，有.則下列結(jié)論成立的是（）ABCD【答案】BCD【分析】，令，可得，即可判斷A；利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)即可求得，即可判斷B；令，可得，即可判斷C；令，可得，即可判斷D.【詳解】對(duì)任意實(shí)數(shù)，有 ，令，可得，故A錯(cuò)誤；所以，故B正確；令，可得，故C正確；令，可得

8、，故D正確.故選：BCD.12已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為、，為雙曲線上的點(diǎn)，且軸,連接AD交y軸于C，連接CB交直線DF于，.下列結(jié)論正確的是（）A雙曲線的離心率為3BC點(diǎn)到直線的距離為D直線斜率為2或-2【答案】ACD【分析】由可得，結(jié)合條件可得，進(jìn)而可得，然后逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】，即，.由知，即，即，故A正確；，即直線是雙曲線的漸近線，所以點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；由條件可得，即直線BC的斜率為，故D正確；又，即直線BD的斜率為，它不與直線BC垂直，所以，故B錯(cuò)誤.故選：ACD.三、填空題13若的展開(kāi)式中第4項(xiàng)的系數(shù)是160，則_.【答案】1【分析】根據(jù)給定的二

9、項(xiàng)式直接求出第4項(xiàng)，結(jié)合已知系數(shù)計(jì)算作答.【詳解】的展開(kāi)式中的第4項(xiàng)為，依題意，解得，所以.故答案為：114將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村干部，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有_種（用數(shù)字作答）【答案】36【詳解】試題分析：將4人分成3組，再將3組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，【解析】排列組合15設(shè)，且展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為，則的最小值為_(kāi).【答案】（或）【分析】利用已知條件可得出，再將與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，則，所以，展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.16從、這個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，其中一個(gè)作為底數(shù)，另一個(gè)作為真數(shù)，則可以

10、得到不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為_(kāi).【答案】【分析】考慮為真數(shù)時(shí)，對(duì)數(shù)值只能為；然后考慮從除以外的其余各數(shù)任取兩數(shù)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，減去對(duì)數(shù)值重復(fù)的情況，即可得解.【詳解】由于只能作真數(shù)，從其余個(gè)數(shù)任取一個(gè)數(shù)作底數(shù)，對(duì)數(shù)值均為，從除以外的其余各數(shù)任取兩數(shù)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，共能組成個(gè)對(duì)數(shù)式，其中，因此，不同的對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為.故答案為：.17編號(hào)為、的個(gè)小球放在如圖所示的個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子只能放個(gè)小球，且球不能放在、號(hào)盒子里，球必須放在與球相鄰的盒子中，則不同的放法有_種.【答案】【分析】對(duì)球所放盒子的編號(hào)進(jìn)行分類討論，然后確定球所放盒子的編號(hào)，利用分步乘法和分類加法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.

11、【詳解】若球放在號(hào)盒子內(nèi)，則球可放在號(hào)或號(hào)或號(hào)盒子內(nèi)，此時(shí)共有種不同的方法；若球放在號(hào)或號(hào)盒子內(nèi)，則球只能放在號(hào)盒子內(nèi)，此時(shí)共有種不同的放法.綜上所述，共有種不同的放法.故答案為：.18已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），過(guò)點(diǎn)作曲線的切線有且只有兩條，則實(shí)數(shù)_.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，得到切線方程為：，再由切線過(guò)點(diǎn)，得到，由題意，轉(zhuǎn)化為與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由可得，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以切線為：，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，即，設(shè)，由可得，由可得：或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)增，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于0，若只能作兩條切線，則與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，如圖所

12、示：由圖知：.故答案為：四、解答題19有3臺(tái)機(jī)床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工零件的次品率為4%，第2，3臺(tái)加工零件的次品率均為6%，加工出來(lái)的零件混放在一起.已知第1，2，3臺(tái)機(jī)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，35%，40%.記為“零件為第臺(tái)機(jī)床加工”.(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；(2)如果取到的一個(gè)零件是次品，計(jì)算它是第3臺(tái)機(jī)床加工的概率.【答案】(1)0.055(2)【分析】（1）利用全概率公式求解；（2）利用條件概率求解.【詳解】(1)解：令“任取一個(gè)零件為次品”，由題意，且，兩兩互斥，由全概率公式得：，.(2)；所以取到一個(gè)零件是次品是第3臺(tái)機(jī)床加工的概率為.20已知的

13、展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列.（1）求含項(xiàng)的系數(shù)；（2）將二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所項(xiàng)重新排成一列，求有理項(xiàng)互不相鄰的概率【答案】（1）7；（2）.【分析】（1）利用二項(xiàng)式定理求出前三項(xiàng)的系數(shù)的表達(dá)式，利用這三個(gè)系數(shù)成等差數(shù)列并結(jié)合組合數(shù)公式求出的值，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)可求出項(xiàng)的系數(shù)；（2）利用二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)求出展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為，總共是項(xiàng)，利用排列思想得出公共有種排法，然后利用插空法求出有理項(xiàng)不相鄰的排法種數(shù)，最后利用古典概型概率公式可計(jì)算出所求事件的概率【詳解】（1）前三項(xiàng)系數(shù)、成等差數(shù)列，即或 (舍去）展開(kāi)式中通項(xiàng)公式T，8 令，得，含x2項(xiàng)的系數(shù)為；（2）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，展開(kāi)式共有9項(xiàng)，

14、共有種排法其中有理項(xiàng)有3項(xiàng)，有理項(xiàng)互不相鄰有種排法，有理項(xiàng)互不相鄰的概率為【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的系數(shù)，考查排列組合以及古典概型的概率計(jì)算，在處理排列組合的問(wèn)題中，要根據(jù)問(wèn)題類型選擇合適的方法求解，同時(shí)注意合理使用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，考查邏輯推理與計(jì)算能力，屬于中等題21已知數(shù)列的前項(xiàng)(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求證：【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式與和前 項(xiàng)和公式的關(guān)系，即可求出結(jié)果；（2）由（1）可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可證明結(jié)果.【詳解】(1)解：由，所以，當(dāng)時(shí)，由-，則當(dāng)時(shí)，上式亦滿足，綜上.(2)解：由，所以所以.22已知橢圓E：（）的焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在E上（1）求E的方程；（2）已知過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線l交E于A，B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為N，若為定值，試求m的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）由橢圓的定義可得，再由，結(jié)合即可求解.（2）討論直線l的斜率是否存在，當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，將直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可求解.【詳解】解：（1）由題意可知，而，橢圓E的方程為（2）若直線l的斜率不存在，易得，若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，則，聯(lián)立得，且，要使上式為常數(shù)，必須且只需，即，此時(shí)易知恒成立，且，符合題意綜上所述，23已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切