1078復(fù)變函數(shù)-國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2020年1月至2020年7月期末考試試題及答案（202001-202007共2套）

1、試卷代號(hào)：1078 座位號(hào)口口國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2 0 1 9年秋季學(xué)期期末統(tǒng)一考試復(fù)變函數(shù)試題（半開(kāi)卷） 2020年1月一、單項(xiàng)選擇題(本題共20分，每小題4分）1Rez=( )Az+z2 B. z-z2Cz-z2i Dz+z2i2-設(shè)，f(z)2=1z+2(z-3)，若需使f(z)在N(0，R)內(nèi)解析，則R的最大值為( A1 B2 C3 D43 Z-1=5zz-1dz=( ) A2i B1 ci D. 04函數(shù)，f(z)=11+z在點(diǎn)z =0泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑為( ) A4 B3 C2 D15點(diǎn)z=0為函數(shù)f(z)=ezz2的( ) A本性奇點(diǎn) B可去奇點(diǎn) C. 二級(jí)極點(diǎn) D非孤立奇點(diǎn)二、填空題

2、（本題共20分，每小題4分） 6若點(diǎn)集E的全部聚點(diǎn)都屬于E，則稱E為 集 7|e5i|=_. 8函數(shù)，f(z)=丁筆在點(diǎn)z=1展成羅朗級(jí)數(shù)，即在 內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù) 9Res(sinzz，0)= . 10若映射w=f(z)在區(qū)域G內(nèi)是_，則稱該映射為區(qū)域G內(nèi)的保形映射.三、計(jì)算題（本題共45分，每小題15分）11.設(shè)u=x3 - 3xy2，試求解析函數(shù)f(z)而，滿足，f(i)=012試將，f(z)=4z2z-1在點(diǎn)z=1的去心鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)13計(jì)算積分cezz(z+1)3dz,c:|z|= 4四、證明題（本題15分）14.試證：sinx+ sin2x+ + sinnx=sinn+12xsin

3、x2sinx2x 試卷代號(hào)：1078國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2 0 1 9年秋季學(xué)期期末統(tǒng)一考試復(fù)變函數(shù)試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（半開(kāi)卷）（供參考） 2020年1月一、單項(xiàng)選擇題（本題共20分，每小題4分） 1A 2B 3A 4D 5C二、填空題（本題共20分，每小題4分） 6閉 7. 1 8. 0z-1+ 9. 0 10單葉且保角的三、計(jì)算題（本題共45分，每小題15分） 11設(shè)u=x3-3xy2，試求解析函數(shù)，fz=u+i，滿足，fi=0 解：由C-R條件有ux=3x2-3y2-y，所以 =3x2y-y3+(x) 又因?yàn)閡y=-x，得0=-(x)，所以 x=c (6分） 所以 =3x2y-y3+c 由此得f

4、z=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c) （12分） 由fi=0得c=1，故 fz=x3-3xy2+i(3x2y-y3+1) 經(jīng)驗(yàn)證 fz=x3-3xy2+i3x2y-y3+1或fz=z3+i 即為所求. (15分) 12試將fz=4z2z-1在點(diǎn)z=1的去心鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù) 解：fz在0z-1+內(nèi)可展成羅朗級(jí)數(shù)，有 fz=4z2z-1=4(z-1+1)2z-1 (6分) =4(z-1)2+2z-1+1z-1 =4z-1+8+4z-1，0z-1 (15分) 13計(jì)算積分cezz（z+1）3dz，c:z=4. 解：設(shè)fz=ezzz+13，因f（z）在c的內(nèi)部只有兩個(gè)有限奇點(diǎn)0與-1，且知0

5、是f(z)一級(jí)極點(diǎn)，-1是f(z)的三級(jí)極點(diǎn)，由定理7.1得 cezz(z+1)3dz=2iResf，0+Resf，-1（5分） 而 Resf，0=limz0zezzz+13=1 Resf，-1=12!limz-1z+13ezzz+13=1 =-52e (13分) 故 cezz(z+1)3dz=2i1-52e=i(2-5e) （15分）四、證明題（本題15分）14試證：sinx+sin2x+sinnx=sinn+12sinx2sinn2x.證：令 A=1+cosx+cos2x+cosnx B=sinx+sin2x+sinnx (6分)于是 A+iB=1+eix+ei2x+einx =1-ei(

6、n+1)x1-eix =-2iein+12xsinn+12x-2ieix2sinx2 =(cosn2x+isinn2x)isinn+12xisinx2故 sinx+sin2x+sinnx=sinn+12xsinx2sinn2x (15分)試卷代號(hào)：1078國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2 0 2 0年春季學(xué)期期末統(tǒng)一考試復(fù)變函數(shù) 試題 2020年7月一、單項(xiàng)選擇題（本題共20分，每小題4分）1Imz=( ) Az+z2 Bz-z2i cz+z2i Dz-z22函數(shù)fz=z2l212在( ) A復(fù)平面解析 B上半平面解析 C左半平面解析 Dz=0處不解析3z=1z2+5e2dx=( ) A0 B1 C-1 Di4

7、函數(shù)，fz=11+z在點(diǎn)z=2展成冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為( ) A1 B2 C3 D45點(diǎn)z=ai是函數(shù)，fz=eixz2+a2的( )級(jí)極點(diǎn) A3 B2 C1 D4二、填空題（本題共20分，每小題4分） 6若存在某個(gè)N(a，)，使得f(z)在N(a，)內(nèi)_，則稱點(diǎn)a為函f(z)的解析點(diǎn) 7sin i=_ 8設(shè)圍線c是單連通區(qū)域G的邊界，若fz在G內(nèi)解析，且在G上連續(xù)，則fzdz=_ 9若函數(shù)=fz在擴(kuò)充復(fù)平面上除有限個(gè)奇點(diǎn)a1，a2，an，a2，是解析的，則j=1nResf ,aj+Resf,= _ 10分式線性變換將擴(kuò)充復(fù)平面上的圓周或直線映射為擴(kuò)充復(fù)平面上的_三、計(jì)算題（本題共45分，每小題

8、15分）11設(shè)u=2(x-1)y，試求解析函數(shù)f(z) =u+iv聊，滿足f2=-i12試將fz=11+z2在點(diǎn)z=i的去心鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)13計(jì)算積分ce2z2(z-1)dz，c:z=2.四、證明題（本題15分）14證明：e2iz-1=2ieizsinz試卷代號(hào)：1078國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2 0 2 0年春季學(xué)期期末統(tǒng)一考試復(fù)變函數(shù)試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（供參考） 2020年7月一、單項(xiàng)選擇題（本題共20分，每小題4分） 1B 2D 3A 4C 5C二、填空題（本題共20分，每小題4分） 6處處可導(dǎo) 7e-e-12 8.0 9.0 10.圓周或直線三、計(jì)算題（本題共45分，每小題15分） 11設(shè)u=

9、2(x - 1)y，試求解析函數(shù)f (z) = u+iv，滿足f(2)=-1 解：因?yàn)閡x=2y =vy，所以v =y2+ (x) 又因?yàn)閡y =-v，得2x-2=-（x）,所以（6分）（x）=2x-x2+c所以 v=y2-x2+2x+c 由此得 f(z) =2(x - 1)y+i(y2 - x2 +2x + c)（12分） 由f (2)= - i此得c= - 1,即f(z) =2(x - 1)y+i(y2 - x2 +2x - 1)f (z)= - i(z-1)2 即為所求（15分） 12試將f(z) = 11+z 2在點(diǎn)Z=1的去心鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)， 解：f(z)在0|z-i|2內(nèi)可展成

10、羅郎級(jí)數(shù)，有 f(z) = 11+z 2=1（z-i）（z+i） （6分） = 1（z-i）1（z-i）+2i = 1（z-i）12i（1+z-i2i) = 1（z-i）n=0（-1）n(z-i)n（2i)n+1=n=0（-1）n(z-i)n（2i)n+1 ，0|z-i|2（15分）13計(jì)算積分cezz2(z-1)dz ，c：|z|=2 解：設(shè)f (z) =ezz2(z-1) ，因f (z)在c的內(nèi)部只有兩個(gè)有限奇點(diǎn)0與1，且知0是f (z)的二級(jí)極點(diǎn)，1是f (z)的一級(jí)極點(diǎn)，由定理7.1得cezz2(z-1)dz=2i Res f ，0+Res f ，1（5分） 而 Res f ，0=11！limz0z2ezz2(z-1)=-2Res f ，1