方法精講-數(shù)量2唐宋筆記2020國考筆試大班1期

1、方法精講-數(shù)量 2（筆記）第四節(jié)工程問題1【知識點】工程問題：三個量之間的關(guān)系總量、效率、時間。三量關(guān)系：總量=效率*時間。做任何一個工作，都可以量化，比如翻 1000 頁書、搬 1000 塊磚。 時間干的多少就是效率。比如老師去搬磚，需要搬 1000 塊，每小時搬 50 塊，則 20 小時可以搬完，1000=50/h*20h?？疾轭}型：（1）給完工時間型：賦總量（完工時間的公倍數(shù)）。直接給甲需要幾小時、乙需要幾小時，問合作需要多少時間之類問題，重點是給時間。算效率：效率=總量/時間?？偭渴菚r間的公倍數(shù)，用公倍數(shù)除，可以很好的計算效率。根據(jù)工作過程列方程或式子。引例.要折疊一批紙飛機，若甲單獨

2、折疊要半個小時完成，乙單獨折疊需要 45 分鐘完成。若兩人一起折，需要多少分鐘完成？A.10B.15C.16D.18答：甲、乙做紙飛機的快慢不同，但是具體量是不知道的。（1）賦總量，整個題目沒有紙飛機的總量， 也沒有求紙飛機總量，說明可以賦值。如果設(shè)總量為 1 個紙飛機，則甲或乙 1 分鐘折 xx 分之一，不好算，因此賦值總量為 30和 45 的公倍數(shù) 90。（2）甲效率=90/30=3 個/分，乙效率=90/45=2 個/分。（3）時間=總量/效率和=90/（3+2）=18 分鐘。給效率比例型。沒有給需要多少時間，告訴甲、乙的效率比例（快慢的比例關(guān)系），后面題目有類似 a：b：c 的數(shù)據(jù)，是

3、給效率比例型的題目。給具體 型。比如挖 1000 噸泥土，或鋪 500 ，出現(xiàn)了具體量，告訴具體工作多少，前面兩種是沒有給具體量的?！纠?1】（2018 江蘇）手工制作一批元宵節(jié)花燈，甲、乙、丙三位師傅單獨做，分別需要 40 小時、48 小時、60 小時完成。如果三位師傅共同制作 4 小時后，剩余任務(wù)由乙、丙一起完成，則乙在整個花燈制作過程中所投入的時間是：A.24 小時B.25 小時C.26 小時D.28 小時【】例1.（1）“甲、乙、丙三位師傅單獨做，分別需要 40 小時、48小時、60 小時完成”，求 40 小時、48 小時、60 小時的公倍數(shù)，三者共同約數(shù)有4，10、12、15，沒有共

4、同的約數(shù)，找 10 和 12，可以約 2，5、6、15，5 和 15 可以約 5，1、6、3（只有兩個能約，第三個數(shù)照抄即可），其中 3能被 6 整除，則最大公約數(shù)=4*2*5*6=240?？紙錾喜灰笞钚」稊?shù)，求三者共同的倍數(shù)，可以先看 40 和 60 的公倍數(shù)是 120。再找 120 和 48，公倍數(shù)為 480，也可以。但是先求兩個再和第三個找的方法，可能求出來的不是最小公倍數(shù)，優(yōu)點是可以快一點。故賦值總量為 240。（2）算效率，甲=240/40=6、乙=240/48=5、丙=240/60=4。（3）根據(jù)工作過程列方程，設(shè)后面乙、丙一起完成的時間為 t，（6+5+4）*4+（5+4）*

5、t=240，60+9t=240，解得 t=20 小時。問的是乙在整個花燈制作過程中所投入的時間，乙2在面前還工作了 4 小時，因此共工作 4+20=24 小時?！具x A】【注意】工程問題賦值總量，不要求必須是最小公倍數(shù)，總量是自己賦值的，可以是 1、120、1200，不要糾結(jié)賦值不同導(dǎo)致不同，不會出現(xiàn)這種情況。但總量建議盡量賦值成最小公倍數(shù)，可以減少計算量。【例 2】（2019）錄入員和需要合作完成一項錄入任務(wù)，這項任務(wù)一人需要 8 小時，一人需要 10 小時。兩人在共同工作了 3 個小時后，因故回了趟家，期間一直在工作，返回后兩個人又用了 1 個小時就完成了任務(wù)。在完成這項任務(wù)的過程中，比多

6、工作了幾個小時？A.1B.1.5C.2D.2.5【】例 2.合作完成一項任務(wù)是工程問題，“一人需要 8 小時，一人需要 10 小時”，給了兩人的完工時間，（1）賦值總量，8 和 10 的公倍數(shù)，2*4*5=40 小時。（2）算效率，甲=40/8=5，乙=40/10=4。（3）根據(jù)工作過程列方程，沒有問或的時間，而是問時間差，前面共同工作 3 小時，后面兩人合作 1 小時，兩人都是工作 3+1=4 小時，多出來的就是“因故回了趟家，期間一直在工作”部分，整個工作時間=兩人合作（3+1）小時+一人工作 t 小時，即（5+4）*4+4t=40，解得 t=1。說明一人做 1 小時，其他時間都是共同工作

7、，則多工作 1 小時?！具x A】【注意】數(shù)學(xué)題中有秒殺，但現(xiàn)在的激烈程度大了很多，這類題目越來越少，有秒殺的題目老師一定會講，蒙題的技巧不算是秒殺，比如第 1 題，以坑治坑反而會掉坑，錯選 D 項。工程問題是拿分重點，考查多，難度不是很大，是中等難度的題型。3【知識點】給效率比例型：給兩個人或多個人的效率關(guān)系，按照關(guān)系賦值即可。1.賦效率（滿足比例即可）。2.算總量：總量=效率*時間。3.根據(jù)工作過程列方程或式子。4.引例.甲和乙的效率比為 2：3，甲、乙合作完成一項工程需要 10 天，如果甲單獨做這項工程需要多少天？A.15B.20C.25D.30答：給效率比例關(guān)系，給一個時間，不能把總量賦

8、值 10 天，只有一個時間沒有公倍數(shù)，至少需要兩個時間才能求公倍數(shù)。給了效率比，從效率入手，從頭至尾沒有具體的效率，賦值時滿足比例關(guān)系即可。（1）賦值效率，甲效率為 2，乙效率為 3。（2）算總量，總量=10*（2+3）=50。（3）甲單獨做時間=50/2=25天，對應(yīng) C 項。5.效率類的問題，考查的題量比給完工時間型問題多很多，例 3例 6 都是?！纠?3】（2018）甲工程隊與乙工程隊的效率之比為 4：5，一項工程由甲工程隊先單獨做 6 天，再由乙工程隊單獨做 8 天，最后由甲、乙兩個工程隊合作 4 天剛好完成，如果這項工程由甲工程隊或乙工程隊單獨完成，則甲工程隊所需天數(shù)比乙工程隊所需天

9、數(shù)多多少天？A.3B.4C.5D.6【】例 3.讀題，發(fā)現(xiàn)有效率比，還有好幾個時間，“一項工程由甲工程隊先單獨做 6 天，再由乙工程隊單獨做 8 天，最后由甲、乙兩個工程隊合作 4天剛好完成”，前面求時間的公倍數(shù)，必須是完工時間的公倍數(shù)，本題的 6 天、8天都是完成工程一部分的時間，還有一小部分是 4 的倍數(shù)，是不能求的。只有單獨把工作完成的，才能求公倍數(shù)。（1）賦值甲效率為 4，乙效率為 5。（2）總量=4*6+5*8+（4+5）*4=100。（3）甲單獨做時間=100/甲=25 天，乙單獨做時間=100/乙=20 天，做差=25-20=5 天?！具x C】4【注意】有效率比，優(yōu)先考慮效率。前

10、面求總量也是為了求效率?！纠?4】（2018 江蘇）某新建農(nóng)莊有一項綠化工程，交給甲、乙、丙、丁 4人合作完成。已知 4 人的工作效率之比為 3：5：4：6，甲、乙合作完成所需時間比丙、丁合作多 9 天，則 4 人合作完成工程所需時間是：A.17 天B.18 天C.19 天D.20 天【】例 4.注意“已知 4 人的工作效率之比為 3：5：4：6”，不是 3：4：5：6，的時候出題老師可能會把數(shù)據(jù)的順序改一改，要注意防止陷阱。只給一個時間，有效率比優(yōu)先考慮效率，（1）賦值甲效率為 3、乙效率為 5、丙效率為 4、丁效率為 6。的時候可以直接把 3、5、4、6 標在題干里面。方法一：沒有給總量，

11、只給了“甲、乙合作完成所需時間比丙、丁合作多 9天”，（2）可以設(shè)總量為 x，則 x/（3+5）-x/（4+6）=9 天，解得 x=9（1/8-1/10）=9（1/40）=9*40=360。（3）四人合作時間=360/（3+5+4+6）=360/18=20。方法二：（2）有效率，但不知體的時間和總量，要么設(shè)總量（方法一），要么設(shè)時間，時間少的設(shè)為 t（丙和?。瑒t甲和乙的時間為 t+9，則總量=（3+5）*（t+9）=（4+6）t，8*（t+9）=10*t，解得 t=8*9/2=36，則總量=10t=360。注意這里計算的時間 36 是丙和丁的時間，還要算總量。（3）合作時間=360/（3+5

12、+4+6）=20 天?！具x D】【注意】1.第一種思路，設(shè)總量為 x，解分數(shù)方程，計算雖然計算麻煩一點，但是思維比較簡單。第二種思路，需要先計算 t，再算總量，雖然沒有通分過程，但是求的反而麻煩了，老師建議大家用第法，方程比較直白，解得 x 直接可以用。2.兩種方法，選擇一種重點掌握，另外一種了解即可。3.通常工程問題三步中，總有一步是難度比較高的，前面三道最后一步難度比較高，本題第二步難度比較高。【例 5】（2017）某檢修工作由李和負責(zé)，兩人如一同工作 4 天，剩下工作量李需要 6 天，或王需要 3 天完成。現(xiàn)李和王共同工作了 5 天，則剩下5的工作李單獨檢修還需幾天完成？A.2B.3C.

13、4D.5【】例 5.本題的題型前兩年出現(xiàn)比較少，是近兩年新的趨勢?！皟扇巳缫煌ぷ?4 天”，前面工作 4 天的工作量是確定的，則剩下的工作量也是確定的?！笆Ｏ鹿ぷ髁坷钚枰?6 天，或王需要 3 天完成”，說明效率*6=效率*3，效率/效率=3/6=1/2（時間的反比）。（1）賦值的效率為 1，的效率為 2。（2）工作總量=（1+2）*4+1*6=18。（3）設(shè)單獨做的時間為 t，（1+2）*5+1*t=18，解得 t=3。【選 B】【注意】1.出現(xiàn)同樣的工作，交給兩人做，分別需要 xx 天，或者甲做幾天，相當于乙做幾天；甲做幾天或乙做幾天可以做完，就可以算出兩人的效率比。2.本題的難點是第一

14、步，效率比是隱藏的?！緟R總】1-5：AACDB【例 6】（2018 遼寧）某工程 50 人進行施工。如連續(xù)施工 20 天，每天工作10 小時，正好按期完成。但施工過程中遭遇原料短缺，有 5 天時間無法施工。工期8 天時，工程隊增派 15 人并加班施工。若工程隊想按期完成，則平均每天需工作多少小時？A.12.5B.11C.13.5D.11.5【】例 6.“正好按期完成”，則時間就是 20 天。20 天是時間，10 小時也是時間，由于不是 24 小時都工作，一天可能工作 10 小時，也可能工作 8 小時，因此“每天工作 10 小時”是用來修飾“連續(xù)施工 20 天”的，其實只知道人數(shù)和天數(shù)，不是給定

15、完工時間型工程問題，不能直接賦值總量為 20。（1）設(shè)每人每時間效率為 1，時間就是小的不可分割的時間，即每人每小時效率為 1。（2）總量=50*20*10*1=10000（數(shù)據(jù)比較好算可以算出來，遇到數(shù)據(jù)不好算的，比如 58*24*13，不要計算，寫乘法形式，后面可以約分）。方法一：（3）沒有說哪 5 天無法施工，設(shè)最前面的 5 天，還有 15 天正常干6活，最后的 8 天加班，則還有 7 天是正常工作的。設(shè)加班時間為 t，停工的工作量為 0，正常工作量=7*50*10，8 天加班工作量=8*65*t，總量=0+7*50*10+8*65*t=10000，65*8t=6500，8t=100，t

16、=12.5（資料分析中，1/8=12.5%），對應(yīng) A項。方法二：出現(xiàn)按期完成這種問題，有快速解法。要求按期完成，則 8 天加班的工作量=8 天正常的工作量+前面 5 天無法施工少干的工作量，即 8 天加班的工作量=正常工作 13 天的工作量，則 8*65*t=13*50*10，約分變?yōu)?8t=100，解得t=12.5?！具x A】【注意】1.遇到 N 名、N 臺機器等表述，一般默認每人效率相等，常設(shè)為 1。1 個人效率為 1。2.方法一，無論條件怎么變動，都一定可以做，是通法，但是缺點是數(shù)據(jù)比較多，計算量大。3.方法二，抓住最后工作的時間等于平時的多少時間，一步出。是比較熱門的考法，遇到幾天停

17、工，不能干活，后面加班補回來的情況，可以考慮這種思路。【知識點】給具體型：出現(xiàn)具體量，比如 xx 噸/米/頁/個，可能是效率，也可能是總量。此時不能賦值，比具體的噸數(shù)，賦值 100 噸，計算結(jié)果是1000 噸，會出現(xiàn)，因此不能賦值，只能設(shè)未知數(shù)。本質(zhì)就是披上工程外衣的方程法。1.設(shè)未知數(shù)（設(shè)小不設(shè)大或設(shè)中間量）。2.找等量關(guān)系列方程。【例 7】（2018）甲、乙兩人生產(chǎn)零件，甲的任務(wù)量是乙的 2 倍，甲每天生產(chǎn) 200 個零件，乙每天生產(chǎn) 150 個零件，甲完成任務(wù)的時間比乙多 2 天，則7甲、乙任務(wù)量總共為多少個零件？A.1200B.1800C.2400D.3600【】例 7.出現(xiàn) xx 個

18、零件，是具體，工程量 W=效率 P*時間 T，寫文字比較慢，可以直接寫 W=P*T。已知效率，總量需要求，時間是未知的，缺什么設(shè)什么，設(shè)時間為 t，設(shè)小的時間（乙）為 t，設(shè)大的時間（甲）為 t+2，避免減法運算，則甲的工作量=200*（t+2）=150t*2（乙的 2 倍），100t=400，解得 t=4。問總共有多少，乙=150t=600，甲=600*2=1200，甲+乙=1800。【選 B】【注意】本題可以設(shè)時間為未知數(shù)，也可以設(shè)總量，但不能設(shè)效率，效率是已知的。設(shè)乙的總量為 x，甲的總量為 2x，通過兩個時間相差 2 天來計算也是可以的。列式：2x/200-x/150=2，解得 x=6

19、00，3x=1800。【知識點】同時開工同時結(jié)束：以前考查過，比較冷門，最近幾年考查比較少，但是近幾年的趨勢是“炒冷飯”，可能會考查三、五年前出現(xiàn)過的難度比較高的題目。1.先整體分析：總工作時間=總工作量/總工作效率。2.再單獨分析某一個工程。3.引例.有兩項相同的工程，均需要加工 150 個零件，甲、乙、丙每天分別可以加工 12、8、10 個。甲負責(zé)第一項工程，乙負責(zé)第二項工程，丙作為機動力量幫忙，最終要讓兩項工程同時開工同時結(jié)束，請問丙需要在第二項工程中工作幾天？A.4B.5C.6D.7答：不知道“同時”是多少時間，本題只有工作量和每人的效率，是給具體的特殊考法，（1）整體分析，無論丙在幫

20、誰，整個時間 t 中，甲、乙、丙都一直在工作，沒有休息，因此（甲+乙+丙）*t=三人的工作總量，（12+8+10）*t=150+150，解得 t=（150+150）/（12+18+10）=300/30=10 天，即同時開工、同時結(jié)束，總共需要 10 天。（2）單獨分析某一項工程，第二項工程中，乙從頭到尾都在干活，工作時間就是 10 天，設(shè)丙幫忙 x 天，本題就是求 x，列方程：8乙的工作量+丙的工作量=150，8*10+10*x=150，解得 x=7，對應(yīng) D 項。4.此類題目通常有猜題的小技巧：丙去幫忙，肯定會多幫干的慢的人，少幫干的快的人，第二項工程是乙負責(zé)，乙的效率是 8，比較慢，則丙多

21、幫慢的，丙總共干 10 天，幫乙的時間一定大于 10 天的一半 5 天，可以排除 A、B 項，再代入驗證，比如代入 6 天，丙在第二項工作中工作 6 天，乙工作 10 天，工作量加和不等于 150，排除。【例 8】（2015）有兩箱數(shù)量相同的文件需要整理。單獨整理好一箱文件要用 4.5 小時，小錢要用 9 小時，要用 3 小時。和一起整理第一箱文件，小錢同時開始整理第二箱文件。一段時間后，又轉(zhuǎn)去和小錢一起整理第二箱文件，最后兩箱文件同時整理完畢。則和、小錢一起整理文件的時間分別是：A.1 小時，2 小時B.1.5 小時，1.5 小時C.2 小時，1 小時D.1.2 小時，1.8 小時【】例 8

22、.兩箱是一樣的，計算一箱的量，可以知道另一箱的量。給三個完工時間，（1）設(shè)總量為 3、4.5、9 的公倍數(shù)，9 是 3 的 3 倍，是 4.5 的 2 倍，三個數(shù)中有 1 個數(shù)是別人的倍數(shù)，則公倍數(shù)就是它自己，因此賦值總量每一箱的量為 9。（2）算效率，=2，小錢=1，=3。（3）是幫忙的，負責(zé)第一箱，小錢負責(zé)第二箱，總時間=總量/三人效率和=（9+9）/（2+1+3）=3 小時。也可以看選項，問和二人一起的時間分別是多少，選項加和都是 3，可以猜到總時間就是 3。只要求出幫一個人的時間，總時間是 3 小時，幫另一個人的時間做減法即可。分析和那一項，設(shè)幫時間為 t，總量9=3*t+2*3，解得

23、 t=1，幫1 小時，只有 A 項滿足。【選 A】【注意】1.如果不能理解第三步如何分析，可以代入計算，通過工作量加和為 9 驗證。2.猜題小技巧：和小錢單獨負責(zé)一箱，4.5 小時，小錢 9 小時，則多幫干得慢的小錢，因此選項第一個時間需要小于第二個時間，排除 B、C項，再代入 A、D 項中的某一項驗證。3.猜題：選項中只有其中兩個選項是反的A、C 項是反的，這種題目最9容易出現(xiàn)的錯誤是和小錢搞反了，因此多半是在 A、C 項中，可以利用這一點，結(jié)合猜題小技巧，可以直接選 A 項。這個思路不嚴謹，但概率比較大。【匯總】6-8：ABA【小結(jié)】工程問題：1.給完工時間型：題目給多個完成工作的時間，不

24、是給時間就可以，一定是完工時間。如果給 3 小時做其中一部分不是完工時間。（1）根據(jù)時間賦總量（公倍數(shù)）。不一定是最小公倍數(shù)，但不要賦值特別大，特別難算的數(shù)。（2）再算效率=總量/時間。（3）根據(jù)工作過程列方程。2.給效率比例型：國考工程問題通常會有 12 個，是高頻（必考）的考點。（1）先賦效率（滿足比例即可）。題目中有時間有效率，優(yōu)先考慮賦值效率?？赡軙苯咏o效率，如甲：乙=3：4，有的時候比例是暗示，如甲 3 天內(nèi)的工作量=乙 4 天的工作量，要讀出來。（2）再算總量=效率*時間。（3）根據(jù)工作過程列方程。3.給具體型：不能隨便賦值，設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系列方程。嚴格講是不能賦值的，可能會

25、和具體量，但是可以賦值份數(shù)，比如甲 20 小時完成，10乙 30 小時完成，甲每小時比乙多做 5 個零件。出現(xiàn)具體的 5 個零件，不能賦值，可以設(shè)總量為 60 份或者 60 x，給具體型，如果前面條件讓人想到賦值，可以賦值份數(shù)或者 x，但不要賦值 60，這樣可以更快一點。4.其他工程：同時開始同時結(jié)束，整體分析。5.還有牛吃草問題：是工程問題的延伸，屬于資源在不斷增長的工程問題，草地類似工程量，牛類似為人，草地在不斷的長，是廣義的工程問題，國考近 5年沒有考過，因此方法精講課沒有放，想學(xué)的同學(xué)可以在學(xué)、1 元或 0 元的宣傳課、?？即筚悾ㄈ绻霈F(xiàn)老師會講）中聽。重點是掌握老師講的題目。第五節(jié)行

26、程問題【知識點】行程問題：1.三量關(guān)系：路程=速度*時間（S=V*T）。2.考查題型：（1）基礎(chǔ)行程：一個人的行程。（2）相對行程：兩個人，兩個主體是相遇、追及或者船是順流還是逆流。（3）比例行程：從比例的角度思考，不是側(cè)重計算，而是側(cè)重什么時候是反比，什么時候是正比。一、基礎(chǔ)行程11【知識點】基礎(chǔ)行程：基本公式考查：路程=速度*時間。等距離平均速度：（1）平均速度定義：平均速度=總路程/總時間。假如 A 到 B 速度是 100，B到 A 速度是 60，平均速度=2*V1*V2/（V1+V2）=75，而不是 80。來回路程是一樣的，假如去的時候只要 3 分鐘，回來的時候需要 5 分鐘，一大半部

27、分在速度慢點的路程，則平均速度更靠近速度 60 這一邊，平均速度肯定不是兩個速度加起來除 2。12（2）公式： =2*V1*V2/（V1+V2）。 =S 總/t 總=（S+S）/（S/V1+S/V2）=2*V1*V2/（V1+V2）。方法：兩倍乘積/和。適用于：直線往返：去的時候速度為 V1，回來的時候速度為 V2。上下坡往返：原來上坡，回去是下坡，原來下坡，回去是上坡，相同的路程來回各走一遍。等距離兩段：從 A 點到 B 點，有一個中點，前面速度為 V1，后面速度為 V2，如果 V1 和 V2 對應(yīng)的路程是一樣的，就是等距離平均速度問題。等時間平均速度：如果從甲地到乙地花費了 1 小時，平均

28、速度為 100；從乙地到甲地，走小路花了一個小時就到了，平均速度是 60。兩個過程時間是一樣的，則整個過程平均速度=（V1+V2）/2=80，不會這樣出?！纠?1】（2015 江蘇）一列火車途經(jīng)兩個隧道和一座橋梁，第一個隧道長 600米，火車通過用時 18 秒；第二個隧道長 480 米，火車通過用時 15 秒；橋梁長800 米，火車通過時速度為原來的一半，則火車通過橋梁所需的時間為：A.20 秒B.25 秒C.40 秒D.46 秒【】例 1.火車過橋或者過隧道，通過的時間=（車長+橋長）/火車速度。依題意，通過第一個隧道：600+S 車=18*V 車；通過第二個隧道：480+S 車=15*V

29、車。兩個方程進行比較，3*V 車=40，解得 V 車=40，S 車=120。通過橋梁：速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，即?20，橋梁長度為 800，列式：800+120=20*t，解得 t=92/2=46，對應(yīng) D 項?！具x D】【注意】1.火車過橋或者過隧道，通過的時間=（車長+橋長）/火車速度，可以自己畫個圖分析。如下圖，火車上橋，到車尾出橋才結(jié)束，要么從車頭到車頭分析，要么從車尾到車尾分析，會發(fā)現(xiàn)有兩段長度，S=車長+橋長。2.猜題并不是每次都能猜中，如果根據(jù)速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，?C 項，就做錯了，猜題有風(fēng)險。13【例 2】（2015 政法干警）甲去出差，去時坐飛機，返回時坐高鐵。若飛機的速度比

30、高鐵快 3 倍，且往返平均速度為 480 千米/小時，問甲乘坐的飛機速度為多少千米/小時？A.720B.768C.960D.1200【】例 2.讀完題目，來回路程都是 S，已知飛機的速度比高鐵快 3 倍，3 倍即4 倍，則飛機的速度為4V， =2*V1*V2/（V1+V2）=2*4V*V/設(shè)高鐵的速度為V，快（4V+V）=8/5*V=480，解得 V=300，4V=1200，對應(yīng) D 項。【選 D】【注意】1.快 3 倍即 4 倍。假如高鐵速度是 100，300 是 100 的 3 倍，如果是快 3 倍，需要比 100 多 3 倍，即 400，400 比 100 多 3 倍。2.題目有倍數(shù)的陷

31、阱，國考也考過：有跑步、騎自行車、開車，開車的速度比騎自行車的速度快 3 倍，如果算出 3 倍的關(guān)系就做錯了。【匯總】1-2：DD二、相對行程【知識點】直線相遇：同時相向（相對的方向，一個往左，一個往右）而行。1.公式：S 和=V 和*T。S 和：就是兩人走的路程之和。14【知識點】相對行程：多個人之間相對的運動。相遇追及。多次運動。流水行船。2.如下圖，假如運動員的速度為 v1，老師的速度為 V2，在中間相遇，時間為t，運動員跑的路程為 V1*t，老師跑的路程為 V2*t，兩個人同時開始跑，S和=V1*t+V2*t=（V1+V2）*t=V 和*t?！纠?1】（2016）兩輛汽車同時從兩地相向

32、開出，甲車每小時行駛 60千米，乙車每小時行駛 48 千米，兩車在離兩地中點 48 千米處相遇。則兩地相距多少千米？A.192B.224C.416D.864【】例 1.方法一：看到相遇，想到相遇公式：S和=V 和*T。依題意，S=（V1+V2）*t=（60+48）*t。兩車在離兩地中點 48 千米處相遇，甲的速度快，甲的路程比一半多 48 千米，列式：S 甲=60*t=108*t/2+48，解得 t=48/6=8 小時，S=108*8=800+，對應(yīng) D 項。也可以根據(jù)乙走一半路程不到，列式：S 乙=108*t/2-48。方法二：S 和=V 和*T=108*t，如果 t 是整數(shù)，S 是 108

33、 的倍數(shù)，只有 D 項是 108的倍數(shù)，直接選 D 項，理論上不嚴謹，考場上優(yōu)先把 D 項圈出來，如果后面的題目都不會做，再代入 D 項，驗證一下。方法三：比例行程思維。兩個人在相遇過程中，時間是一樣的，兩個人的路為速度之比，V 越大，S 越大，V 甲/V 乙=60/48=5/4，相遇的時候，甲走了5 份路程，乙走了 4 份路程，兩車在離兩地中點 48 千米處相遇，中點為 4.5 份的位置，中點和相遇的地方差了 0.5 份，0.5 份對應(yīng) 48 千米，1 份對應(yīng) 96 千米，總共有 9 份，9*96=864，對應(yīng) D 項?！具x D】15【知識點】環(huán)形相遇（同點反向出發(fā)）：一個圖形只要是首尾相連

34、就是環(huán)形，如長方形、正方形、圓形等。1.公式：S 和=V 和*T 遇。2.如圖，相遇 1 次，S 和=1 圈；第一次相遇到第二次相遇共走了 1 圈，第一次相遇共走了 1 圈，則相遇 2 次，S 和=2 圈；相遇 N 次，每一次相遇，都需要合走 N 圈，即 S 和=N 圈。【例 2】（2017 云南）如圖，正方形的迷你軌道邊長為 1 米，1 號電子機器人從點 A 以 1 米/秒的速度順時針繞軌道移動，2 號電子機器人從點 A 以 3 米/秒的速度逆時針繞軌道移動，則它們的第 2017 次相遇在：16A.點 AB.點 CC.點 BD.點 D【】例 2.正方形每邊都是 1 米，1 號從點 A 以 1

35、 米/秒的速度移動，2號從點 A 以 3 米/秒的速度逆時針移動。方法一：行程的思維。多次相遇問題，正方形是首尾相連，是環(huán)形相遇，相遇 N 次，S 和=N 圈。2017*4=（1+3）*T，解得 T=2017 秒，走了 2017 秒，1 號比較好算，1 號走了 1 米/秒*2017 秒=2017 米，每 4 秒回來一次，2017 米=504*4米+1 米，最后走了 1 米，即到了 D 點，對應(yīng) D 項。方法二：周期的思維。1 號速度為 1 米/秒，2 號速度為 3 米/秒，第一次相遇為 D 點，第二次相遇為 C 項，第三次相遇為 B 點，第四次相遇為 A 項，即按照D 點、C 點、B 點、A

36、點不斷循環(huán)，2017=4*504+1，循環(huán) 504 次后的第一次，504次循環(huán)結(jié)束為 A 點，再走一次，為 D 點，對應(yīng) D 項?！具x D】【知識點】直接追及：同時同向而行。1.公式：S 差=V 差*T 追，同時同向出發(fā)，兩個人起點不同，后面的運動員速度大為 V 大，前面的人唐宋老師速度V 小，在某一點相遇，時間為 T，藍色的線是唐宋老師跑的路程，紅色的線是運動員跑的路程，S 差=V 大*T-V 小*T=（V 大-V ?。?T=V 差*T。2.S 差：追及剛開始時兩人相差的距離。3.例：假設(shè)唐宋老師速度是 8 米/秒，先跑 30 秒，運動員是 10 米/秒，問運動員多長時間能追上唐宋老師？答：

37、先算 S 差，剛開始兩人的距離，先跑 30 秒，先跑了 8*30=240 米，S 差=240=17（10-8）*t，解得 t=120 秒，120 秒就追上了唐宋老師?！纠?3】（2018）清晨，、和在同一條筆直跑道上朝同一方向勻速晨跑，某一時刻，在中，在后，且三人之間的間距正好相等。跑了 12 分鐘后追上了，又跑了 6 分鐘后追上了，則再過多少分鐘，可追上？A.12B.15C.18D.36【】例 3.畫圖分析，假設(shè)往右邊跑，在最前邊，在中間，小磊在最后邊，間距相等均為 S，跑了 12 分鐘后追上了，追及問題，S=12分*（V 小-V 爸）；又跑了 6 分鐘后追上了，從初始狀態(tài)到追上，需要12+

38、6 分鐘，2S=（12+6）*（V 小-V 爺）。問的是再過多長時間，追上，列式：S=t 追*（V 爸-V 爺）。題目有 3 個追及過程，看清楚是誰追誰，小孩追是一個 S，追也是一個 S，小孩追是兩個 S。不能把中間的算式 2S=（12+6）分*（V 小-V 爺），當成 1 個 S 和 6 分鐘來計算，當小孩追上時，小孩和的距離不一定為 S，不知道倆人的距離為多少，只能回到最初始狀態(tài)下，追及問題都是分析最開始的時間，追及過程中兩個人距離是不斷變化的，要分析追及過程中某個時間點的距離非常難算，所以回到剛開始追及的時候，比較好算，距離差為 2S。目標是算 t 追，S 未知，V 爸-V 爺也未知，需

39、要利用前面的算式解，整個題目沒有 S，全部都是時間，類似工程問題給完工時間型，給 S 進行賦值，S=12 分*（V 小-V 父），S=9 分*（V 小-V 爺），S 是 9 和 12 的倍數(shù)，賦值 S=36，那么V 小-V 爸=3；V 小-V 爺=4，-，推出 V 爸-V 爺=4-3=1，那么 36=t 追*1，解得 t追=36 分鐘。有的同學(xué)算出 36 就直接選擇了 D 項，D 項是錯誤的，看清楚問題，問的是再過多少分鐘，36 分鐘是最初始的狀態(tài)到追上的時間，需要用36-12-6=18 分鐘，對應(yīng) C 項?！具x C】18【注意】1.看選項，C、D 項正好差 18，有可能 D 項是忘記減 18

40、 的結(jié)果，選C 項。2.本題易錯點是“再過”，難點是“回到初始狀態(tài)”，不容易想到的是“賦值”?！局R點】環(huán)形追及：同點同向出發(fā)。直線題目更難，環(huán)形題目一般能直接套公式。1.，環(huán)形追及，同一個點同向出發(fā)，才會出現(xiàn)一個人特別慢，一個人跑的特別快這種情況。例如唐宋老師和運動員，運動員從背后超過唐宋老師，比唐宋老師多跑了一圈。追上兩次，就差 2 圈，追上 N 次，就差 N 圈。2.公式：S 差=V 差*T 追，追上 1 次，S 差=1 圈，追上 N 次，S 差=N 圈。3.例：環(huán)形上兩人同一點出發(fā)，甲追上乙三次，可以得出：S 甲-S 乙=3 圈?！纠?4】（2017）和小著周長為 720 米的小花園勻

41、速散步，小速度快。若兩人同時從某一起點同向出發(fā)，則每隔 18 分鐘相遇一次；若兩人同時從某一起點相反方向出發(fā)，則每隔 6 分鐘相遇一次。由此可知，小陳繞小花園散步一圈需要多少分鐘？19A.6B.9C.15D.18【】例 4.倆人同時同向出發(fā)，追及問題。每隔 18 分鐘相遇一次，注意這里的相遇是追及，“相遇”廣義上包括兩種：一種是迎面相遇，面對面相遇，就是數(shù)學(xué)中的相遇，S 和=V 和*T，還有一種是背后相遇，是理解為追及，S 差=V 差*T。做題的時候判斷是相遇還是追及時，以方向為準。說“同向”就是追及，說“反向”就是相遇。18 分鐘追一次，即 S 差=720 米（一圈）=V 差*T=V 差*1

42、8 分；反向出發(fā)，6 分鐘相遇一次，反向是相遇，S 和=720 米（一圈）=V 和*T=V 和*6 分。解得 V 差=40，V 和=120。小陳的速度比快，小陳的速度是稍微大的，V 陳=（V差+V 和）/2=80（已知兩數(shù)之和和兩數(shù)之差，和差相加把小的速度抵消了，剩下了2 個 V 大，再除以 2 就是一個 V 大的速度。這種方法，已知和差的速度，求大速度和小速度，都可以這么求，和差相加除以2 是大速度，和差相減除以2 是小速度）。t 陳=720/80=9 分鐘，對應(yīng) B 項?！具x B】【注意】考場上快速做題小技巧：已知正常迎面相遇是 6 分鐘，問小陳自己繞一圈是多長時間，相遇需要 6 分鐘，小

43、陳速度快，小大半圈，走小半圈，小陳現(xiàn)在走一圈，把剩余的小半圈走完，走大半圈用 6 分鐘，剩余的小半圈用的時間肯定小于 6 分鐘，小一圈的時間是大于 6 分鐘，小于 12 分鐘，排除 A、C、D 項，對應(yīng) B 項?！局R點】多次迎面相遇（兩端出發(fā)）：在直線上。1.例：、織女七夕相會，相遇時沒有認出來，繼續(xù)往前走，到對方家中再返回來，再次相遇，不斷的往返相遇，屬于多次相遇問題。分析相遇過程，第一次迎面相遇，合起來走了 1 個全程，第二次相遇，走了 3 個全程。每相遇一次，多走了 2 個全程，不斷的加 2，從 1 開始，不斷的是奇數(shù)，也就是 2n-1 個全程。202.從兩端出發(fā)：第 1 次迎面相遇，

44、共走 1S；第 2 次迎面相遇，共走 3S；第3 次迎面相遇，共走 5S，第 n 次迎面相遇，共走 S 和=(2n-1)*S=V 和*t 遇。【例 5】（2015 河北）某高校兩校區(qū)相距 2760 米，甲、乙兩同學(xué)從各自校區(qū)同時出發(fā)到對方校區(qū)，甲的速度為每分鐘 70 米，乙的速度為每分鐘 110 米，在兩人第一次相遇后繼續(xù)行進，到達對方校區(qū)后馬上返回。那么兩人從出發(fā)到第二次相遇需要多少分鐘？A.32B.46C.61D.64【】例 5.問從出發(fā)到第二次相遇需要多長時間，兩人從各自校區(qū)出發(fā)，兩端出發(fā)第 n 次相遇的情況，直接套公式，（2n-1）*S=V 和*T。第二次相遇，n=2，3*2760=（

45、70+110）*T，276=6*T，解得 T=276/6，首位商 4，對應(yīng) B 項。【選 B】【知識點】流水行船：船的方向和水流方向相同時是順水，船的方向和水流方向相反時是逆水。1.V 順=V 船+V 水；V 逆=V 船-V 水。2.V 船=（V 順+V 逆）/2；V 水=（V 順-V 逆）/2。這兩個公式是上面的公式推出來的，V 順=V 船+V 水；V 逆=V 船-V 水。若求 V 船，需要把 V 水約掉，+，2V 船=V 順+V 逆，那么 V 船=（V 順+V 逆）/2；同理，-，2V 水=V 順-V 逆，V 水=（V 順-V 逆）/2。例：順水速度是 50，逆水速度是 45，那么 V 水

46、=（50-45）/2=2.5；V 船=（50+45）/2=47.5。3.注：靜水速度=船速（安靜的水，沒有水速，意味著只有船速）、漂流速度=水速（漂在水上，只有水速）。【例 6】（2017 重慶）長峽沿岸兩個港口相距 240 千米，一艘輪船在它們之間行進，其逆水速度是 18 千米/小時，順水速度是 26 千米/小時，如果一艘汽艇在靜水中的速度是 20 千米/小時，那么該汽艇往返于兩港之間共需：A.10 小時B.23 小時C.24 小時D.25 小時21【】例 6.讀題，上面描述的是輪船，下面描述的是汽艇，換船了，前面的船速是不能用的，只能用前面的水速。已知汽艇在靜水中的速度是 20 千米/小時

47、，說明 V 汽船=20 千米/小時。V 水=（26-18）/2=4 千米/小時，汽艇往返是一順一逆，V 汽順=20+4=24，V 汽逆=20-4=16，t=240/24+240/16=10+15=25 小時，對應(yīng)D 項?！具x D】【注意】船在水中的運動，現(xiàn)在有一種類似考法，人在扶梯上，出現(xiàn)也是照葫蘆畫瓢去做即可，也類似船在水中，把人看成船，扶梯看成水，如果扶梯往前走，人也往前走，速度更快，如果扶梯往前走，人往后走，速度更慢?！緟R總】1-5：DDCBB；6：D三、比例行程【例 1】（2018 山東）和18：00 分別從甲、乙兩地同時出發(fā)，沿相同道路勻速相向而行。18：20到達丙地停留，18：40

48、 兩人在丙地碰面并均以出發(fā)時速度繼續(xù)行進。18：50到達甲地，問在幾點到達乙地？A.20：00B.20：40C.19：00D.19：4022【知識點】比例行程：三量之間是反比還是正比，的時候有一個量是定值，不變的，三量關(guān)系：路程=速度*時間。路程一定，速度與時間成反比（難度高）。速度一定，路程與時間成正比（容易）。時間一定，路程與速度成正比（容易）。例：2016 年的一道聯(lián)考題，甲是早上 8 點出發(fā)，10 點到達乙這邊，乙是8 點 20 出發(fā)，9 點 50 到達甲這邊，走的路程相同，問 V 甲/V 乙=？答：同樣的路程，甲走一遍，乙走一遍，甲的時間是 120 分鐘，乙是 90 分鐘，時間之比是

49、 120：90，速度之比是 90：120=3：4，這種題目考場上是送分題，一定要做。5.題目有大量時間出現(xiàn)，往往考慮用比例來思考。【】例 1.讀題，同時出發(fā)，相向而行，18：20到達丙地停留，18：40 兩人在丙地碰面并均以出發(fā)時速度繼續(xù)行進，18：50到達甲地，問在幾點到達乙地，這道題目時間很多，畫圖的時候建議一個人在上面走，一個在下面走，這樣看起來比較清晰。18 點出發(fā)，18：20 到達丙地，甲丙這段路了 20 分鐘。18：40 兩人在丙地碰面，說明走到丙地用了 40 分鐘，小張 18：40 從丙出發(fā)往乙地走，是 18：50 到達甲，發(fā)現(xiàn)甲丙這段路程兩個人都走過，而且時間還已知，路程一定，

50、速度和時間成反比，走甲丙用 20 分鐘，走甲丙用 10 分鐘，同樣的比例放大，走丙乙要 40 分鐘，說明走丙乙要 80 分鐘，18：40 再過 80 分鐘，20 點到達乙地，對應(yīng) A 項?！具x A】【例 2】（2019）和分別于早上 8：00 和 8：30 從甲地出發(fā)，勻速騎摩托車前往乙地。10：00到達兩地的中點丙地，此時距丙地尚有 5 千米。11：00 時追上。則甲、乙兩地相距多少千米？A.50B.75C.90D.100【】例 2.和都從甲地出發(fā)，同地出發(fā)，畫圖時一個人畫到上面一個人畫到下面。10點到達中點丙，此時距離丙地還有 5km，11 點追上，說明速度比快，假設(shè)在某一點追上，問甲乙兩地相距多少千米，這道題比上面的題目要難一些，不是兩端出發(fā)，倆人不是同一個時間出23發(fā)，找倆人都走過的路程，時間和起點又很清楚的部分。發(fā)現(xiàn)從起點到相遇這段路程相同，時間均已知，路程相同，速度和時間成反比，V 王/V 張=2.5/3=5/6。上一道題全部都是時間問的也是時間，只分析時間即可，這道題問的是路程，需要把速度算出來才能算出路程。有比例，求具體路程，設(shè)未知數(shù)，設(shè)速度為5V，速度為 6V，花 2 個小時走的路程與花 1 個走的路程差5km，列式：5V*2 小時=6V*1.5 小時+5km，解得 V=5km/h。4 小時走完全程，S=4*5