淺談初中數(shù)學(xué)的列方程解應(yīng)用題

1、鄉(xiāng)土教材淺談初中數(shù)學(xué)的列方程解應(yīng)用題目錄一、問(wèn)題的背景：二列方程的步驟、三、列方程中的“設(shè)元”四、應(yīng)用題中的相等關(guān)系五、列方程的一般規(guī)律：一、問(wèn)題的背景： 應(yīng)用性試題，是指有實(shí)際背景或?qū)嶋H意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題。隨著課程改革的不斷深入，應(yīng)用性試題所涉及的知識(shí)領(lǐng)域越來(lái)越廣，除了傳統(tǒng)的行程、工程、測(cè)量、濃度等問(wèn)題外，還包括具有時(shí)代氣息的營(yíng)銷決策，生產(chǎn)計(jì)劃安排，銀行存款，租船租車，旅游方案，國(guó)民總產(chǎn)值和人口增長(zhǎng)率等問(wèn)題，題目取材于現(xiàn)實(shí)生活，情景新穎，立意獨(dú)特，包含大量的數(shù)學(xué)知識(shí)。它也是今后中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。 應(yīng)用題常見(jiàn)的題型有：方程型應(yīng)題、不等式型應(yīng)用題、函數(shù)型應(yīng)用題、統(tǒng)計(jì)型應(yīng)用題、幾何型應(yīng)用題。而方

2、程應(yīng)用題是學(xué)習(xí)其他應(yīng)用題的基礎(chǔ)，學(xué)生必須學(xué)會(huì)列方程解應(yīng)題。二列方程的步驟、1、認(rèn)真審題：弄清題意和題中的數(shù)量關(guān)系，用字母表示題目中的一個(gè)未知數(shù)；2、找相等關(guān)系：找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系；3、列方程：根據(jù)找出的相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程；4、解方程：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值；5、答：根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，寫(xiě)出答案（包括單位名稱）三、列方程中的“設(shè)元”設(shè)元是學(xué)生必須掌握的一種技能，也是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟之一。恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元，往往能收到事半功倍的神奇效果。如何設(shè)元，需要根據(jù)具體問(wèn)題的條件確定。下面通過(guò)具體例題簡(jiǎn)要說(shuō)明列方程解應(yīng)用題中常見(jiàn)的四種設(shè)元方法。（一）、直接設(shè)

3、元直接設(shè)元，就是將題目中要求的量設(shè)為未知元，即問(wèn)什么設(shè)什么。一件夾克按成本價(jià)提高50%后標(biāo)價(jià)，后因季節(jié)關(guān)系按標(biāo)價(jià)的8折出售，每件以60元賣(mài)出，這批夾克每件的成本價(jià)是多少元？解、設(shè)這批夾克每件的成本價(jià)是x元，根據(jù)題意得，（1+50%）80%x=60 解得 x=50 答：略。（二）、間接設(shè)元所設(shè)的量不是所求的，但容易找出符合題意的數(shù)量關(guān)系，這種把題中要求的量以外的其他量設(shè)為未知元的方法，稱之為間接設(shè)元。例2甲，乙二人分別后，甲沿著鐵軌方向反向而行。此時(shí)，一列火車均速地向甲應(yīng)面駛來(lái)，列車在甲旁駛過(guò)，用了15秒；然后在乙身旁開(kāi)過(guò)，用了17秒。已知兩人的步行速度都是3.6千米/時(shí)，這列火車有多長(zhǎng)？解 設(shè)

4、這列火車的速度為X米/秒，根據(jù)題意，得(X+1)15=(X-1)17 (注：3.6千米/時(shí)1米/秒) 解得 X16所以（16+1）15255(米) 答：略（三）、輔助設(shè)元輔助設(shè)元，也叫設(shè)而不求。有些應(yīng)用題中隱含一些未知的量，這些量對(duì)于求解無(wú)直接關(guān)系，但如果不知指明這些量的存在，則難以求解。因此需把這些未知的量設(shè)為未知元，以便建立等量關(guān)系，稱之為輔助設(shè)元.某音樂(lè)廳月初決定在暑假期間舉辦學(xué)生專長(zhǎng)音樂(lè)會(huì)。入場(chǎng)券分為團(tuán)體票和零售票，其中團(tuán)體票占總票數(shù)的23。若提前購(gòu)票，則給予不同程度的優(yōu)惠，在五月份內(nèi)，團(tuán)體票每張12元，公售出團(tuán)體票數(shù)3/5，零售票每張16元，共售出零售票數(shù)的一半。如果在六月份內(nèi)，團(tuán)體

5、票按每張16元出售。那么零售票應(yīng)按每張多少元定價(jià)才能使則兩個(gè)月的票款收入持平？解 設(shè)總票數(shù)為A張，六月份零售票應(yīng)按每張X元定價(jià)，依題意，得2/3 A3/512+1/3A1/216=2/3A2/516+1/3A1/2X解得 X19.2答：略山腳下有一池塘，山泉以固定的流量（即單位時(shí)間內(nèi)流入池塘的水量相同）不停地向池塘中流淌?，F(xiàn)池塘中有一定深度地水，若是一臺(tái)A型抽水機(jī)則1小時(shí)后正好把池塘中地水抽完，若用兩臺(tái)A型抽水機(jī)則20分鐘正好把池塘中地水抽完，若用3臺(tái)A型抽水機(jī)同時(shí)抽，則需要多長(zhǎng)時(shí)間恰好能把池塘中水抽完？解：設(shè)泉水每分鐘流進(jìn)池塘里地水X立方米，每臺(tái)抽水機(jī)每分鐘抽水Y立方米，池塘中原存水Z立方米

6、，三臺(tái)抽水機(jī)抽完池塘中水需要T分鐘，根據(jù)題意得：60X=Z 60Y-220Y-20X=Z 3TY-TX=Z eq oac(,1)- eq oac(,2)得 2 eq oac(,4)將 eq oac(,4)代入 eq oac(,1)得 Z=60X eq oac(,5)將 eq oac(,4) eq oac(,5)代入 eq oac(,3)得 Z=12即用三臺(tái)A型抽水機(jī)同時(shí)抽，需要12分鐘可把池塘中的水抽完。（四）、整體設(shè)元有些應(yīng)用題未知量太多，而已知關(guān)系又太少，如果某一部分未知量存在一個(gè)整體關(guān)系，則可設(shè)這一部分為一個(gè)未知元，這樣就減少了設(shè)元的個(gè)數(shù)，稱為整體設(shè)元。例5、有一個(gè)六位數(shù)，后三位數(shù)是85

7、7，將這個(gè)六位數(shù)乘以6以后，恰好前三位數(shù)與后三位數(shù)互換位置，求原六位數(shù)。解：設(shè)前三位數(shù)為x , 則原六位數(shù)為1000 x+857，根據(jù)題意得， 6（1000 x+857）=8571000+x解這個(gè)方程得，x=142原六位數(shù)=1000142+857=142857答：略。例6、古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯是丟番圖最得意的一個(gè)學(xué)生，他很小的時(shí)候就跟丟番圖學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，有一天他向老師請(qǐng)教一個(gè)問(wèn)題：有四個(gè)數(shù)，把其中每三個(gè)相加，其和分別為22、24、27、20。求這個(gè)四位數(shù)。解：設(shè)這個(gè)四位數(shù)之和為x，那么這四個(gè)數(shù)就分別為X22，x-24，x-27，x20，依據(jù)題意得x=(x-22)+(x-24)+(x-27)+(x-2

8、0)解得 x=31 所以這個(gè)四位數(shù)是9、7、4、11。四、應(yīng)用題中的相等關(guān)系(一)、從關(guān)鍵詞語(yǔ)中找等量關(guān)系：在應(yīng)用題中，等量關(guān)系往往通過(guò)一定的詞語(yǔ)表現(xiàn)出來(lái)，所以在審題時(shí)，說(shuō)先要留意描述它的語(yǔ)句。這種語(yǔ)句，一般含有“是”、“一共”、“比多”、“比少”、“是幾倍”、“比幾倍多幾”、“增加了”、“減少了”、“增加到”、“減少到”等詞語(yǔ)，很容易找到。(二)、從各種公式中找等量關(guān)系。如幾何形體的周長(zhǎng)、面積、體積等公式的本身就表達(dá)了等量關(guān)系，列方程時(shí)經(jīng)常要用到它。(三)、從線段圖中找等量關(guān)系。有些比較復(fù)雜的應(yīng)用題，不易立即看出等量關(guān)系，可以畫(huà)出線段圖幫助尋找。(四)、從基本數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系。有的應(yīng)用題

9、等量關(guān)系比較隱蔽，必須熟悉基本的數(shù)量關(guān)系才能找到。(五)、列方程解應(yīng)用題的主要類型及其數(shù)量關(guān)系：行程問(wèn)題基本關(guān)系：路程速度時(shí)間基本類型：直線型的相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題、航行問(wèn)題，環(huán)形問(wèn)題。常用的相等關(guān)系：（1）、相遇問(wèn)題：同時(shí)不同地相向而行：兩者路程和兩地距離；兩者所用時(shí)間相等不同時(shí)不同地相向而行：兩者路程和兩地距離 兩者所用時(shí)間之差先行者先行時(shí)間（2）、追及問(wèn)題：同時(shí)不同地：快者路程慢者路程兩地距離 快者時(shí)間慢者時(shí)間同地不同時(shí)：快者路程慢者路程 快者時(shí)間慢者時(shí)間慢者先行時(shí)間（3）、航行問(wèn)題：順?biāo)俣褥o水速度水流速度 逆流速度靜水速度水流速度（4）、環(huán)形問(wèn)題：同時(shí)同地同向而行：第一次相遇：快者路程

10、慢者路程環(huán)形周長(zhǎng)；第二次相遇：快者路程慢者路程2個(gè)環(huán)行路長(zhǎng) 同時(shí)同地背向而行：同時(shí)同地同向而行：第一次相遇：快者路程慢者路程環(huán)形周長(zhǎng)。2、工程問(wèn)題：基本關(guān)系：工作量 工作效率工作時(shí)間相等關(guān)系：各隊(duì)工作量的和全部工作量3、利潤(rùn)問(wèn)題 相等關(guān)系：利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)利潤(rùn)率進(jìn)價(jià)售價(jià)標(biāo)價(jià)打折數(shù) 4、年齡問(wèn)題：這類問(wèn)題應(yīng)抓住兩個(gè)關(guān)鍵：（1）兩者年齡之差是一個(gè)不變量；（2）兩者增長(zhǎng)的年齡數(shù)相同。 5、數(shù)字問(wèn)題此類問(wèn)題多采用間接設(shè)元，注意數(shù)位上的數(shù)字關(guān)系和含數(shù)位的數(shù)字關(guān)系的不同。 6、比例問(wèn)題： 比例問(wèn)題多采用間接設(shè)元，例如三角形周長(zhǎng)是60，三邊之比是3：4：5，求三邊之長(zhǎng)。可設(shè)三邊長(zhǎng)為3x、4x、5x。列方程

11、為3x+4x+5x60,使問(wèn)題得到解決。 7、配套問(wèn)題:甲工件的數(shù)量=乙工件數(shù)量的幾倍8、單位面積產(chǎn)量、總面積和總產(chǎn)量的關(guān)系。單位面積產(chǎn)量總面積=總產(chǎn)量9、單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)的關(guān)系。單價(jià)數(shù)量=總價(jià)10、每份數(shù)、份數(shù)和總數(shù)的關(guān)系。每份數(shù)份數(shù)=總數(shù)11、大數(shù)、小數(shù)和相差數(shù)的關(guān)系大數(shù)小數(shù)= 相差數(shù)12、部分和總數(shù)的關(guān)系。一部分另一部分=總數(shù)五、列方程的一般規(guī)律：列方程解應(yīng)用題是初中代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，其關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程，而列方程的關(guān)鍵是尋找題目中的相等關(guān)系。應(yīng)用題中的相等關(guān)系看似紛雜無(wú)緒，但歸結(jié)起來(lái)不外乎兩類：一類是題目中涉及的基本的相等關(guān)系，一類是題目中蘊(yùn)含的特殊的相等關(guān)系；它們各有用途，前者

12、一般用于尋找列方程需要的代數(shù)式，后者則多運(yùn)用于設(shè)未知數(shù)和列出方程。以上是列一元一次方程的辦法。（一般地、有幾個(gè)特殊等量關(guān)系，就能列幾個(gè)方程，組成方程組。）例1、（2006年、南京）某停車場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：中型汽車的停車費(fèi)為6元/輛，小型汽車的停車費(fèi)為4元/輛，現(xiàn)在停車場(chǎng)有50輛中小型汽車，這些車共繳納停車費(fèi)230元，問(wèn)中小汽車各有多少輛？分析：本題的基本等量關(guān)系是：總價(jià)單價(jià)數(shù)量，特殊等量關(guān)系是：中型車數(shù)+小型車數(shù)50輛，中型車收費(fèi)+小型車收費(fèi)230元。 用特殊等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)：設(shè)中型汽車有X輛，則小型汽車有(50-X)輛。用特殊等量關(guān)系列方程：中型車收費(fèi)+小型車收費(fèi)230，并用基本等量關(guān)系表示

13、列方程所需的代數(shù)式：中型車收費(fèi)6X元，小型車收費(fèi)4(50-X)元，則所列方程為6X+4(50-X) 230 例2、某校舉辦的珠球比賽中規(guī)定：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分。某班足球隊(duì)參加了12場(chǎng)比賽，共得22分。已知這個(gè)足球隊(duì)輸了2場(chǎng)，那么這個(gè)足球隊(duì)勝了幾場(chǎng)？負(fù)了幾場(chǎng)？分析：本題的基本等量關(guān)系是：應(yīng)得分?jǐn)?shù)比賽場(chǎng)數(shù)每場(chǎng)得分。特殊等量關(guān)系是：勝的場(chǎng)數(shù)+平的場(chǎng)數(shù)+負(fù)的場(chǎng)數(shù)12場(chǎng)；勝場(chǎng)得分?jǐn)?shù)+平場(chǎng)得分?jǐn)?shù)+負(fù)場(chǎng)得分?jǐn)?shù)22分。用特殊等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)：設(shè)這個(gè)足球隊(duì)勝X場(chǎng)，平(12-X-2)場(chǎng)。用特殊等量關(guān)系列方程：勝場(chǎng)得分?jǐn)?shù)+平場(chǎng)得分?jǐn)?shù)+負(fù)場(chǎng)得分?jǐn)?shù)22分，并用基本等量關(guān)系表示列方程所需的代數(shù)式：勝

14、場(chǎng)得分?jǐn)?shù)3X分，平場(chǎng)得分?jǐn)?shù)1(12-X-2)分，負(fù)場(chǎng)得分?jǐn)?shù)02分，則所列方程為：3X+1(12-X-2)+ 0222 例3、同學(xué)們到距學(xué)校15千米的生產(chǎn)基地去支農(nóng)，一部分學(xué)生騎自行車先去，40分鐘后，其余的人乘汽車去，結(jié)果同時(shí)到達(dá)。已知汽車得速度是自行車的3倍，求兩車的速度。 分析：用s表示路程，v表示速度，t表示時(shí)間。本題需要的基本等量關(guān)系是svt,用它可以找出列方程所需要的兩個(gè)代數(shù)式：自行車行15千米用的時(shí)間是(15/v)小時(shí)，汽車行駛15千米用的時(shí)間是(15/3v)小時(shí)，本題中蘊(yùn)含著兩個(gè)特有的相等關(guān)系：汽3自 t汽t自- (2/3) 用式設(shè)出未知數(shù)：自行車速度為v千米/時(shí)，那么汽車的速度

15、為3v千米/時(shí)；用式可列方程 (15/3v)(15/v)(2/3)。 例4、甲、乙兩人做某種機(jī)器零件，已知甲每小時(shí)比乙多做6個(gè)，甲做90個(gè)用的時(shí)間與乙做60個(gè)所用的時(shí)間相等，求甲、乙每小時(shí)個(gè)做多少個(gè)？ 分析： 本題的基本等量關(guān)系是工作量工作時(shí)間工作效率，兩個(gè)特殊等量關(guān)系是：甲的工作效率乙的工作效率+6，甲做90零件的時(shí)間乙做60個(gè)零件的時(shí)間。 用特殊等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)：設(shè)甲的工作效率為X個(gè)/小時(shí)，則乙的工作效率為（X-6）個(gè)/小時(shí)。 用特殊等量關(guān)系列方程T甲T乙。用基本等量關(guān)系表示列方程所用的代數(shù)式， T甲90/X, T乙=60/（X-6）。 根據(jù)題意列方程為90/X60/（X-6）例5、如圖，

16、將正方形ABCD一角折疊，折痕為AE,BAD比BAE大48，求BAE與BAE度數(shù)。 圖（1）分析:本題直接運(yùn)用特殊等量關(guān)系可解決問(wèn)題。特殊等量關(guān)系：BAD-BAE48，（隱含等量關(guān)系）BAD+2BAE90 (如圖（2）) 用特殊等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)：設(shè)BAD為X度，B圖（2）則BAEX-48。用特殊等量關(guān)系列方程,則X+2(X-48) 90例6、某校辦工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，今年的產(chǎn)量為200件，計(jì)劃通過(guò)改革技術(shù)，使今后兩年的產(chǎn)量都比前一年增長(zhǎng)一個(gè)相同的百分?jǐn)?shù)，這樣三年（包括今年）的產(chǎn)量達(dá)到1400件，求這個(gè)百分?jǐn)?shù)。分析：本題的基本等量關(guān)系是：明年的產(chǎn)量今年的產(chǎn)量（1+增長(zhǎng)百分?jǐn)?shù)）。特殊等量關(guān)系：每年的增長(zhǎng)百分?jǐn)?shù)相同，三年的產(chǎn)量和1440件。用特殊等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)：設(shè)每年的增長(zhǎng)百分?jǐn)?shù)位X。用特殊等量關(guān)系列方程：三年的產(chǎn)量和1440件。并用基本等量關(guān)系表示列方程所用的代數(shù)式：明年的產(chǎn)量200（1+X），后年的產(chǎn)量200（1+X）2。列方程為：200+200（1+X）+200（1+X）21440由上述可知，基本等量關(guān)系揭示了某一類問(wèn)題的最基本量之間的關(guān)系，是列方程的基礎(chǔ)，要透徹理解，靈活運(yùn)用；特有相等關(guān)系給出兩個(gè)同類量之間的關(guān)系，是列方程的突破口；特