原子物理10教程課件

1、原子物理學(xué)第十講12 波粒二象性任何物質(zhì)伴隨以波，不可能將物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)和波的傳播分開。這種和實(shí)物粒子相聯(lián)系的波叫做德布羅意波。德布羅意波的波長(zhǎng)和頻率滿足以下關(guān)系。宏觀物體的物質(zhì)波波長(zhǎng)非常短，難以發(fā)現(xiàn)波動(dòng)效應(yīng)。原子中電子的物質(zhì)波波長(zhǎng)與晶體晶格常數(shù)相當(dāng)，可以通過實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到干涉與衍射效應(yīng)。五、德布羅意波和量子態(tài) 從德布羅意關(guān)系式可以進(jìn)一步看清普朗克常量的意義。在1900年普朗克引入該常量時(shí)，它的意義是量子化的度量，即它是不連續(xù)性程度的度量單位。而現(xiàn)在經(jīng)過愛因斯坦和德布羅意的努力，出現(xiàn)了關(guān)于實(shí)物粒子的波粒二象性的觀念，而波性和粒子性之間起橋梁作用的正是h。 這一事實(shí)本身說明：這兩個(gè)概念之間有著深刻的內(nèi)在

2、聯(lián)系。以下對(duì)此問題作進(jìn)一步分析。那么波粒二象性與量子化條件有什么樣的聯(lián)系？下面我們通過兩個(gè)例子來(lái)解釋說明這個(gè)問題。 要使繞核運(yùn)動(dòng)的電子能穩(wěn)定存在，那么與這個(gè)電子相應(yīng)的德布羅意波就必須是一個(gè)駐波。根據(jù)駐波條件的要求：波繞核傳播一周后應(yīng)平滑地銜接起來(lái)，否則相疊合的波將會(huì)由于干涉而相消；換而言之，要使電子穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，電子繞核回轉(zhuǎn)一圈的周長(zhǎng)必須是與之相應(yīng)的德布羅意波的波長(zhǎng)的整數(shù)倍。 （1）、氫原子中繞核運(yùn)動(dòng)的電子可見一個(gè)波如果被束縛起來(lái)，就必須是一個(gè)駐波，而駐波條件就是角動(dòng)量量子化條件。這正是玻爾所給出的量子化條件：駐波條件：為了證明上述論述的正確性，（由量子化條件導(dǎo)出駐波條件）我們將玻爾第一速度代入電

3、子的波長(zhǎng)關(guān)系式 式中，a1是第一玻爾半徑。由此證明，玻爾關(guān)于氫原子的量子化結(jié)果確實(shí)滿足駐波條件。一個(gè)粒子處于壁為剛性的匣子中作一維運(yùn)動(dòng)。由經(jīng)典理論可知，這個(gè)粒子在匣子中的動(dòng)能恒為 ，運(yùn)動(dòng)周期為 。（2）一個(gè)在剛性匣子中的粒子 粒子在寬度為的匣子中作一維運(yùn)動(dòng)，與之相對(duì)應(yīng)的德布羅意波被束縛在匣子中，因此 x=0 和 x=d 處永遠(yuǎn)是波節(jié)。由駐波條件，這個(gè)粒子要在這個(gè)匣子中永遠(yuǎn)存在下去，則其德布羅意波必須是一個(gè)駐波，它的波長(zhǎng)必須滿足：通過以上兩個(gè)例子的分析，非常形象地說明了波粒二象性與量子化條件的關(guān)系：禁閉（被束縛）的波必然導(dǎo)出量子化條件。一旦波和粒子聯(lián)系起來(lái)之后，就得到粒子能量或動(dòng)量的量子化。即匣

4、子的寬度至少為半個(gè)波長(zhǎng)那么大。將上式代入德布羅意關(guān)系和非相對(duì)論動(dòng)能公式可得到：由此可見，動(dòng)量和能量都是量子化的。六、互補(bǔ)原理玻爾從哲學(xué)的角度概括了物質(zhì)的波粒二象性提出了互補(bǔ)原理。 （2）古代哲學(xué)家公孫龍?jiān)缭趦汕Ф嗄昵霸谄潆x堅(jiān)白命題敘述到：視不得其所堅(jiān)，而得其所白者，無(wú)堅(jiān)也。撫不得其所白，而得其所堅(jiān)者，無(wú)白也。一些經(jīng)典概念的應(yīng)用不可避免地將排除另一些經(jīng)典概念的應(yīng)用，而另一些經(jīng)典概念在另一些條件下又會(huì)是描述現(xiàn)象所不可缺少的；必須而且只需將所有這些既互斥、又互補(bǔ)的概念匯集在一起，才能形成現(xiàn)象的詳盡無(wú)遺的描述。（1）玻爾的例子：銀幣的正反面都看到了。才能說對(duì)銀幣有較完整的認(rèn)識(shí)。14 波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋

5、 一、波函數(shù)、自由粒子波函數(shù)在經(jīng)典物理中，沿x方向傳播的單色平面波的波函數(shù)為：也可寫成復(fù)數(shù)形式（平面波的波函數(shù)取其實(shí)部）:在量子力學(xué)中，假設(shè)物質(zhì)波函數(shù)也應(yīng)該有類似的形式：根據(jù)德布羅意假設(shè)，一個(gè)自由粒子對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率和波長(zhǎng)不變的平面波。若粒子的能量為E，動(dòng)量為P，則其波長(zhǎng)和頻率應(yīng)為:將德布羅意關(guān)系代入波函數(shù)表達(dá)式中，得：推廣到三維情況，可得自由運(yùn)動(dòng)粒子的波函數(shù)為：這就是物質(zhì)波的波函數(shù)，該函數(shù)從波的角度描述了微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。0是波函數(shù)的振幅光的波粒二象性電子的波粒二象性波動(dòng)性：電磁波粒子性：能量與動(dòng)量都是一份一份的-光子粒子性：具有一定的動(dòng)量能量波動(dòng)性：電磁波？機(jī)械波？中子同樣有波動(dòng)性真空中同樣觀

6、測(cè)到電子衍射干涉現(xiàn)象電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)經(jīng)典波的雙縫干涉經(jīng)典粒子的雙縫干涉電子的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)1.當(dāng)一束電子進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)？屏幕上可以觀測(cè)到干涉現(xiàn)象。2.當(dāng)電子逐個(gè)經(jīng)過縫時(shí)？經(jīng)過一段時(shí)間后仍然可以觀測(cè)到明暗相間條紋！微觀粒子的波函數(shù)中的表示什么意義呢? 即怎樣理解波函數(shù)的意義，才能用其描述微觀粒子的波粒二象性呢？1、歷史上的不同觀點(diǎn)： 有人認(rèn)為波粒二象性中，粒子性是基本的，多個(gè)粒子形成粒子流，各粒子間相互作用顯示波動(dòng)性。 有人認(rèn)為粒子的波動(dòng)性是基本的，粒子性是由于不同頻率的波疊加而形成的波包。二、波函數(shù)的意義-統(tǒng)計(jì)解釋以上兩種觀點(diǎn)很快被實(shí)驗(yàn)所否定。經(jīng)典物理機(jī)械波中，波函數(shù)表示t時(shí)刻,x處質(zhì)點(diǎn)的位移。電磁

7、波中，波函數(shù)表示t時(shí)刻,x處的B或E的值。2、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋為理解波函數(shù)的意義，先來(lái)看一看光的衍射現(xiàn)象。從波動(dòng)性：條紋明暗反映波的強(qiáng)度。而波的強(qiáng)度與波函數(shù)的振幅平方呈正比。從粒子性：光強(qiáng)大的明亮處表示單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)該處的光子數(shù)多；反之則少。對(duì)實(shí)物粒子電子的衍射，同樣可做如上的解釋。統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)：光子到達(dá)亮處的概率大，而到達(dá)暗處的概率小。對(duì)電子衍射分析可得如下關(guān)系 ：波的強(qiáng)度正比于該處波振幅的平方波的強(qiáng)度正比于該處出現(xiàn)粒子的幾率1926年，玻恩提出了物質(zhì)波是一種概率波的假設(shè)，給波函數(shù)以統(tǒng)計(jì)解釋，圓滿地將粒子的波粒二象性統(tǒng)一起來(lái)。該處波振幅的平方正比于該處粒子出現(xiàn)的幾率在某一時(shí)刻，粒子在空間某處的體

8、積元dV中出現(xiàn)的概率與該處波函數(shù)模的平方成正比。 （1）統(tǒng)計(jì)假設(shè)：稱為粒子的概率密度。波函數(shù)的物理意義：|2表示t時(shí)刻，粒子在空間x處的單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率。（2）歸一化條件：因?yàn)樵谡麄€(gè)空間發(fā)現(xiàn)粒子的總概率為100%，此式稱為歸一化條件。滿足歸一化條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)。根據(jù)波函數(shù)的物理意義可知，波函數(shù)一般應(yīng)是單值、有限、 連續(xù)的函數(shù)，稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。（3）標(biāo)準(zhǔn)條件：（4）概率波( 物質(zhì)波 ) 與 經(jīng)典波的區(qū)別： 波函數(shù)不表示某物理量在空間的波動(dòng),0 無(wú)實(shí)在意義，|2表示某時(shí)刻粒子出現(xiàn)在某處的概率密度。 德布羅意波是幾率波，而經(jīng)典波并不是幾率波。 波函數(shù)都可以“歸一化”，而經(jīng)典波則

9、無(wú)所謂“歸一化”。例 一粒子被限制在兩個(gè)不可穿透的壁之間,描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)= cx(lx),其中c是待定常數(shù),求在0l/3區(qū)間該粒子出現(xiàn)的概率.解: 由歸一化條件:即:設(shè)在0 l / 3 區(qū)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為P，則有:13 不確定關(guān)系 一、不確定關(guān)系的表述和含義 不確定關(guān)系，又稱測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，是海森堡在1927年首先提出的。它反映了微觀粒子運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，是物理學(xué)中一個(gè)極為重要的關(guān)系式，它包括多種表示形式，其一為：該式表明：當(dāng)粒子被局限在x方向的一個(gè)有限范圍內(nèi)x時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的動(dòng)量分量px必然有一個(gè)不完全確定的數(shù)值范圍px ，兩者的乘積滿足上式；換句話說，假如位置完全確定（x0），那么粒子可

10、以具有的動(dòng)量px的數(shù)值就完全不確定px 。粒子在客觀上不能同時(shí)具有確定的坐標(biāo)位置和相應(yīng)的動(dòng)量。 它表示：若一個(gè)粒子在能量狀態(tài)E停留的時(shí)間為t，那么這段時(shí)間內(nèi)粒子的能量狀態(tài)并非完全確定，它有一個(gè)彌散：E h/t；只有當(dāng)粒子停留的時(shí)間為無(wú)限長(zhǎng)時(shí)（穩(wěn)態(tài)），它的能量狀態(tài)才是完全確定的（E = 0 ）。另一種形式為：粒子在客觀上不能同時(shí)具有確定的時(shí)間和相應(yīng)的能量。（1）測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系（否定態(tài)度），對(duì)于xpxh ，有人認(rèn)為不能同時(shí)測(cè)準(zhǔn)粒子的坐標(biāo)位置及其相應(yīng)的動(dòng)量。這樣的說法很容易讓人認(rèn)為：似乎粒子本身具有確定的坐標(biāo)和動(dòng)量，知識(shí)由于測(cè)量?jī)x器或測(cè)量技術(shù)的限制所造成的；但事實(shí)上坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)是由微觀粒子本身的特

11、性所決定的，也就是說：（不確定關(guān)系揭示的是一條重要的物理規(guī)律）由于粒子的波動(dòng)性，它在客觀上不能同時(shí)具有確定的坐標(biāo)位置位置和相應(yīng)的動(dòng)量。 關(guān)于不確定關(guān)系的兩點(diǎn)說明： （2）由不確定關(guān)系使我們又一次看到了普朗克常數(shù)在微觀領(lǐng)域中的重要作用。它給出了微觀粒子的一對(duì)力學(xué)量之間不確定程度的范圍。由于h的數(shù)值很小，不確定關(guān)系在宏觀世界里得不到直接地體現(xiàn)，可以被忽略；但在微觀領(lǐng)域里不能忽略，不確定關(guān)系對(duì)微觀粒子來(lái)說是一條十分重要的規(guī)律。h可以作為經(jīng)典物理和量子物理的界限：如果在某個(gè)具體問題中h可以被忽略，則該類問題可按經(jīng)典規(guī)律處理，否則，若不能忽略，則必須考慮量子效應(yīng)。二、不確定關(guān)系的簡(jiǎn)單導(dǎo)出 dpx由電子單

12、縫衍射現(xiàn)象導(dǎo)出必須指出：以上推導(dǎo)方法雖反映了不確定關(guān)系的本質(zhì)，但比較粗糙，更為嚴(yán)格的證明將給出如下關(guān)系: 式中 的含義為均方差，可表示為如下形式:式中，x和 分別為各次測(cè)量值和x的平均值。三、應(yīng)用舉例1、束縛粒子的最小平均動(dòng)能假定粒子被束縛在線度為d 的范圍，即x=d，由不確定關(guān)系，粒子的動(dòng)量必定有一個(gè)不確定度px，它至少為 對(duì)于三維空間 根據(jù)px的定義，對(duì)于束縛在空間的粒子，其動(dòng)量在任何方向的平均分量必定為零（否則無(wú)法束縛），即 故依照上述推導(dǎo)的關(guān)系即可算出束縛粒子的最小平均動(dòng)能 由此可見，只要粒子被束縛在空間，粒子的最小動(dòng)能就不能為零。事實(shí)上，假如粒子的動(dòng)能可以為零，則由不確定關(guān)系就要求，這樣以來(lái) ，粒子如何能被束縛？2、作加速運(yùn)動(dòng)的電子不能落入核內(nèi)隨電子離核越來(lái)越近，即越來(lái)越小，它將從原子的線度過渡到原子核的線度。依照不確定關(guān)系，電子的動(dòng)量將越來(lái)越不確定，依照上述計(jì)算，電子的最小平均動(dòng)能將越來(lái)越大，其數(shù)值將從10eV量級(jí)增加到1GeV量級(jí)。電子能從那里達(dá)到如此大的能量，沒有任何這樣的能量來(lái)源。因此電子不能靠近原子核，更不要說落在核內(nèi)。3、譜線的自然寬度 實(shí)驗(yàn)證明譜線具有一定的寬度。為什么？下面我們從不確定關(guān)系來(lái)解釋這個(gè)問題。電子要從某一能級(jí)往下躍遷，電子在該能級(jí)上必定有一定的壽命（但t 不能無(wú)限長(zhǎng)）。按照不確定關(guān)系，這條能級(jí)必定存在相應(yīng)