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1、第十章基于超完備字典的圖像稀疏表示理論的超分辨率復(fù)原10.1 概述10.2 信號(hào)稀疏分解算法10.3 超完備字典學(xué)習(xí)算法10.4 基于圖像稀疏表示的單幅圖像超分辨率算法10.5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析10.6 本章小結(jié)10.1 概 述10.1.1 信號(hào)的稀疏表示及其研究現(xiàn)狀在信號(hào)處理中,人們希望把信號(hào)變換到適當(dāng)?shù)挠?然后利用信號(hào)在這個(gè)域的稀疏逼近替代原始信號(hào)。信號(hào)的稀疏表示有兩方面的作用:一方面能夠提供數(shù)字信號(hào)的壓縮特性;另一方面能夠有效地抓住信號(hào)的本質(zhì)特征,為后續(xù)的信號(hào)處理提供便利。傳統(tǒng)的信號(hào)處理通常將已知信號(hào)在給定的函數(shù)集上進(jìn)行分解。例如,將信號(hào)在余弦函數(shù)上進(jìn)行分解,得到該信號(hào)在頻域上的展開(kāi);將信

2、號(hào)在小波函數(shù)上進(jìn)行分解,得到該信號(hào)小波域的展開(kāi)。然而對(duì)于自然信號(hào),采用單一的函數(shù)集或者函數(shù)集的聯(lián)合往往不能有效地模擬出信號(hào)的結(jié)構(gòu)。因此,一直以來(lái),人們希望找到一種更為靈活的方式,它不僅能有效地表示出自然信號(hào)的結(jié)構(gòu),同時(shí)使用盡可能少的基函數(shù)。在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域,這種簡(jiǎn)潔、 有效的信號(hào)表示方式,能夠有效地降低信號(hào)處理成本,提高信號(hào)壓縮率,具有重要的意義?;诔陚渥值涞男盘?hào)稀疏分解成為近年來(lái)研究的熱點(diǎn)。這種新的信號(hào)表示理論用一種稱為字典的超完備基去代替?zhèn)鹘y(tǒng)的正交基,由于字典的選擇沒(méi)有任何限制,它能夠更加有效地表達(dá)出原始信號(hào)的結(jié)構(gòu)。字典的每一列元素稱為一個(gè)原子,信號(hào)的稀疏分解就是從給定的或者自適應(yīng)建

3、立的字典中選擇最佳線性組合的一定數(shù)量原子,去稀疏逼近或者非線性逼近原始信號(hào)。對(duì)于哺乳類(lèi)動(dòng)物的視覺(jué)系統(tǒng)的一系列研究表明,視覺(jué)皮層對(duì)刺激的表達(dá)符合超完備稀疏表示的原則。在非線性逼近理論中,超完備系統(tǒng)能得到比傳統(tǒng)正交基更好的逼近也得到了證明。皮層對(duì)刺激的表達(dá)符合超完備稀疏表示的原則。在非線性逼近理論中,超完備系統(tǒng)能得到比傳統(tǒng)正交基更好的逼近也得到了證明?;诔陚渥值涞男盘?hào)稀疏分解理論出現(xiàn)于20世紀(jì)90年代, Mallat和Zhang在1993年首次提出了這種信號(hào)分解思想并引入了一種貪婪算法匹配跟蹤(Marching Pursuit,MP)算法來(lái)求解這個(gè)問(wèn)題。隨后出現(xiàn)了基于MP算法的各種改進(jìn),例如正

4、交匹配跟蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法等。1999年,Donoho等人巧妙地用l1范數(shù)代替l0范數(shù)問(wèn)題求解,提出了基追蹤(Basis Pursuit, BP)算法,并在2001年給出了利用BP算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏分解唯一解的邊界條件?;诔陚渥值涞男盘?hào)稀疏分解算法復(fù)雜、 計(jì)算量巨大,阻礙了其在工程實(shí)踐中的應(yīng)用。目前信號(hào)超完備稀疏分解研究主要集中于以下幾個(gè)方面: 設(shè)計(jì)逼近程度更好且時(shí)間效率更高的信號(hào)稀疏表示算法; 根據(jù)信號(hào)結(jié)構(gòu),設(shè)計(jì)超完備字典學(xué)習(xí)算法,字典對(duì)于原始信號(hào)的稀疏表示能夠得到更高的信噪比,能夠得到更快的收斂。目前已經(jīng)出現(xiàn)很多優(yōu)秀的超完備字典學(xué)

5、習(xí)算法,例如K-SVD算法、 在線字典學(xué)習(xí)(Online Dictionary Learning,ODL)算法和優(yōu)化方向方法(Method of Optimized Directions, MOD)等。10.1.2 信號(hào)稀疏性表示稀疏性是信號(hào)表示的一種普遍屬性。在信號(hào)表示中,信號(hào)常常由大量疑似因素中的少量因素決定。一種信號(hào)的稀疏性表示與表示手段和度量方式有著密不可分的聯(lián)系。考慮空間RM由一組線性獨(dú)立的矢量=iNi組成基,它們張成整個(gè)空間。對(duì)于RM中的任意給定信號(hào)XRM,都可以用iNi的線性組合來(lái)表示:(10-1)由于張成空間RM的基向量iNi是線性獨(dú)立的,這樣的展開(kāi)式是唯一確定的。進(jìn)一步說(shuō),如

6、果ij,ij,則iNi稱為一組正交基。同樣的,可以得到下式的矩陣形式: X= (10-2)10.1.3 超完備字典的基本概念1993年由Mallat 和Zhang首次提出了超完備字典的概念,它實(shí)質(zhì)是一種超完備基。超完備字典的優(yōu)越性能引起了人們的重視,并在最近幾年得到了快速的發(fā)展。目前超完備字典的研究主要集中在超完備字典學(xué)習(xí)算法、 基于超完備字典信號(hào)稀疏分解算法及它們的應(yīng)用領(lǐng)域上。給定一個(gè)集合D=dr, r=1,2,3,K,它的每一個(gè)元素是張成希爾伯特空間=RN的單位矢量,其中KN,D稱為超完備字典,它的每一列元素稱為一個(gè)原子。對(duì)于任意給定的信號(hào)X,希望在字典中自適應(yīng)地選擇一定數(shù)量的原子對(duì)信號(hào)進(jìn)

7、行逼近,即信號(hào)表示為字典原子的一組線性組合:X=D (10-3)其中,為稀疏系數(shù)矩陣,它只包含少量的非零元素。從示意圖10-1中可以看到,信號(hào)X可以由字典D中三個(gè)原子的線性組合來(lái)稀疏表示,此時(shí)可以用只包含三個(gè)非零項(xiàng)的稀疏表示矩陣來(lái)描述信號(hào)X。在數(shù)學(xué)上,可通過(guò)最小化l0范數(shù)問(wèn)題求解稀疏表示:(10-4)在實(shí)際運(yùn)算中,通常在三種約束條件下解決稀疏表示這個(gè)問(wèn)題。第一種是以稀疏度L為約束條件:(10-5)第二種是以求解信號(hào)殘差為約束條件:(10-6)圖10-1 信號(hào)在超完備字典上的稀疏表示第三種是綜合考慮稀疏度和信號(hào)殘差:(10-7)10.2 信號(hào)稀疏分解算法10.2.1 引 言近年來(lái),人們對(duì)找到一種

8、新的信號(hào)表示方法表現(xiàn)了極大的興趣。從傳統(tǒng)的傅立葉基到小波基,隨后涌現(xiàn)出大量基于字典的信號(hào)表示法,例如分段小波、 Gabor字典、 多尺度Gabor字典、 小波包、 余弦包等等。目前出現(xiàn)的很多新的信號(hào)表示方法都是基于超完備字典的?;谶@種超完備字典的信號(hào)分解不是唯一確定的,但是這樣的不確定性又同時(shí)保證了信號(hào)分解的自適應(yīng)性。一種最優(yōu)的自適應(yīng)信號(hào)分解算法需要同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:(1) 稀疏性。(2) 分辨率。(3) 時(shí)間效率。10.2.2 框架算法框架算法(MOF)指出,在所有解中,如果系數(shù)矩陣滿足最小化l2范數(shù):(10-8)這樣的解就是唯一確定的,記為 。式(10-8)的所有解為RN的子空間,框

9、架算法就是在這個(gè)子空間中找到最逼近原信號(hào)的原子,通常把它稱為最小長(zhǎng)度解(Minimum Length Solution)。已知一個(gè)矩陣 ,它是D在廣義上的一個(gè)倒置,求最小長(zhǎng)度解就是在線性系統(tǒng)中解決下列問(wèn)題:(10-9)10.2.3 匹配追蹤算法匹配追蹤(MP)算法是一種局部最優(yōu)的貪婪算法,它通過(guò)局部求解l0范數(shù)問(wèn)題代替全局求解來(lái)減少計(jì)算復(fù)雜度。匹配追蹤算法是一種迭代的過(guò)程,在每一次迭代的過(guò)程中從字典中選取最能夠匹配原信號(hào)結(jié)構(gòu)的原子,在約束條件下通過(guò)這種迭代獲得信號(hào)的一組稀疏分解。設(shè)原始信號(hào)為f,字典D=dr, r=1, 2, 3,,K中的所有原子的范數(shù)為1,初始?xì)堄囗?xiàng)R0=f。匹配追蹤算法首先

10、將原始信號(hào)f投影到字典的一個(gè)原子dr0上,得到dr0,R0dr0,這時(shí)信號(hào)可以分解為R0=dr0,R0dr0+R1(1010)由于R1和dr0是正交的,有下式:(10-11)為了使殘余量R1最小,需要求得|dr0,R0|的極大值,設(shè)定:(10-12)(10-13)(10-14)這時(shí)通過(guò)對(duì)剩余量進(jìn)行M次迭代,可以得到(10-15)其中剩余量RM滿足(10-16)此時(shí)有定理指出:對(duì)于任意0,當(dāng)m趨于無(wú)窮時(shí),有|Rmf|2m| f |,可知|Rmf |按指數(shù)收斂到0。最后可以得到(10-17)這樣就完成了對(duì)原始信號(hào)f在字典D上的分解。很多類(lèi)似的算法也不斷涌現(xiàn)出來(lái),Qian和Chen提出了一種基于Ga

11、bor字典的分解方法,Villemoes提出了一種基于Walsh字典的分解算法。匹配追蹤算法只需要比較少次數(shù)的迭代就能夠得到足夠稀疏的信號(hào)分解,可以通過(guò)設(shè)定信號(hào)分解的目標(biāo)稀疏度和信號(hào)的逼近誤差來(lái)終止算法迭代。10.2.4 最佳正交基算法對(duì)于一個(gè)特定的字典,可以根據(jù)字典的特點(diǎn)設(shè)計(jì)信號(hào)分解算法,最佳正交基(BOB)算法就是這樣一個(gè)例子。BOB算法由Coifman 和Wickerhauser提出,它在很多基中自適應(yīng)選擇一個(gè)單獨(dú)的正交基底作為“最佳基”。如果定義(sI)I為正交基中的基s的系數(shù)向量,定義熵:(10-18)其中,e(s)是標(biāo)量函數(shù)。算法通過(guò)解決下面問(wèn)題來(lái)得到信號(hào)的稀疏分解:(10-19)

12、10.2.5 全局最優(yōu)算法最常用的全局最優(yōu)算法是基追蹤(BP)算法,它把最小化l0范數(shù)問(wèn)題放松為l1范數(shù)問(wèn)題,然后通過(guò)解決一個(gè)凸優(yōu)化(Convex Optimization)問(wèn)題得到信號(hào)在超完備字典上的稀疏表示:(10-20)l1范數(shù)問(wèn)題則可以通過(guò)線性規(guī)劃(Linear Programming, LP)的方法求解??梢钥吹?與MOF算法把l0范數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為l2范數(shù)問(wèn)題類(lèi)似,BP算法把l0范數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為l1范數(shù)問(wèn)題,然而這種簡(jiǎn)單的差異卻導(dǎo)致相差很大的算法效果。MOF算法在線性等式的約束下解決最小二次優(yōu)化問(wèn)題,本質(zhì)還是在線性系統(tǒng)下面求解。而B(niǎo)P算法需要求解的則是凸優(yōu)化問(wèn)題,這樣一種凸優(yōu)化問(wèn)題顯得更

13、復(fù)雜,但是能夠得到更好的效果。把BP算法和線性規(guī)劃(LP)問(wèn)題建立聯(lián)系,LP就是在標(biāo)準(zhǔn)形式下解決一個(gè)約束優(yōu)化問(wèn)題:min cTx s.t. Ax=B, x0(10-21)其中, xRm是一組變量,cTx是目標(biāo)函數(shù),Ax=B是一個(gè)約束等式,x0是設(shè)定的一個(gè)邊界,核心問(wèn)題是找到為零的那些變量。把標(biāo)準(zhǔn)形式(10-21)通過(guò)下列約束關(guān)系轉(zhuǎn)換為一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題:(10-22)10.3 超完備字典學(xué)習(xí)算法10.3.1 常用的字典學(xué)習(xí)算法字典學(xué)習(xí)算法首先從訓(xùn)練集開(kāi)始。設(shè)X為一組訓(xùn)練集,當(dāng)X長(zhǎng)度有限時(shí),把它放入一個(gè)NL的矩陣中,即XRNL。字典訓(xùn)練算法的目標(biāo)就是同時(shí)求得字典DRNK和對(duì)應(yīng)的稀疏表示系數(shù)RKL,

14、這時(shí)的約束條件為保證信號(hào)殘差=XD和稀疏表示系數(shù)的非零項(xiàng)均為最?。?10-23)1. K-SVD字典學(xué)習(xí)算法K-SVD字典學(xué)習(xí)算法由Michal Aharon在2006年提出,隨后它在圖像壓縮、 圖像去噪、 圖像超分辨等領(lǐng)域得到了廣泛的運(yùn)用。K-SVD算法是一種自適應(yīng)字典學(xué)習(xí)算法,它通過(guò)迭代的升級(jí)字典來(lái)得到信號(hào)X更為稀疏的表示,在迭代終止時(shí)解決式(10-23)中的優(yōu)化問(wèn)題。K-SVD算法包含兩個(gè)基本步驟:(1) 給定一個(gè)初始化的字典D0,把信號(hào)X在這個(gè)初始化的字典上進(jìn)行稀疏分解,得到稀疏表示系數(shù)。(2) 升級(jí)字典原子,得到信號(hào)X在該新字典上的稀疏表示系數(shù)。信號(hào)的稀疏分解通過(guò)正交匹配跟蹤(OMP

15、)算法實(shí)現(xiàn),在字典升級(jí)過(guò)程中,通常只對(duì)字典中的一個(gè)原子單獨(dú)進(jìn)行,此時(shí)其他原子保持不變。K-SVD算法的主要?jiǎng)?chuàng)新來(lái)自字典原子升級(jí)步驟,字典的升級(jí)過(guò)程始終在式(10-23)的約束條件下進(jìn)行。定義I為用字典中第j個(gè)原子表示的信號(hào)X的索引,字典升級(jí)通過(guò)在字典原子和稀疏表示矩陣的對(duì)應(yīng)行上解決下列優(yōu)化問(wèn)題:(10-24)問(wèn)題的結(jié)果可以通過(guò)下面一個(gè)簡(jiǎn)單的逼近問(wèn)題得到:(10-25)(10-26)2. MOD算法和迭代最小二乘字典學(xué)習(xí)算法MOD(Method of Optimized Directions)算法和迭代最小二乘字典學(xué)習(xí)(Iterative Least Squares Dictionary Lea

16、rning Algorithms, ILS-DLA)算法屬于MOD算法族,都可以被應(yīng)用于解決式(10-23)中的優(yōu)化問(wèn)題。與K-SVD算法類(lèi)似,它們包含以下兩步迭代過(guò)程:(1) 首先初始化字典D0, 保持字典不變,求解信號(hào)在字典上的稀疏表示系數(shù)。(2) 保持稀疏表示系數(shù)不變,升級(jí)字典D原子??杀硎緸镈=(XT)(T)1=BA1(10-27)為了更方便地定義這個(gè)等式,設(shè)B=XT,A=T。MOD算法中迭代的第一步計(jì)算量大,這樣字典原子每次升級(jí)一次都伴隨著大量的計(jì)算,字典學(xué)習(xí)過(guò)程的時(shí)間效率較低,當(dāng)訓(xùn)練樣本較大時(shí)更是如此。MOD算法的一類(lèi)改進(jìn)是當(dāng)訓(xùn)練樣本較大時(shí),改進(jìn)MOD算法,提升字典學(xué)習(xí)的時(shí)間效率,

17、可把這類(lèi)改進(jìn)稱為large-MOD算法。在這種改進(jìn)中,訓(xùn)練集被隨機(jī)分為m個(gè)相同大小的子集, 記為Bi, i=1, ,m。在迭代過(guò)程的第一步,算法只取一個(gè)或者少部分子集參與計(jì)算,這些子集通常是隨機(jī)選取的或者按最長(zhǎng)時(shí)間未使用的原則選擇。通過(guò)這樣的處理,在迭代算法的第一步,求解得到的只是部分訓(xùn)練集在字典D上的稀疏表示系數(shù),就有效地減少了計(jì)算量。在迭代過(guò)程的第二步,A矩陣和B矩陣則變?yōu)?10-28)最小二乘字典學(xué)習(xí)算法(Least Squares Dictionary Learning Algorithms,LS-DLA)是MOD算法大類(lèi)中的另一種具體算法,它包含一個(gè)遺忘因子(Forgetting F

18、actor)i, 0i1,通過(guò)設(shè)定可以影響初始化字典被升級(jí)替換的速度。LS-DLA算法可以訓(xùn)練無(wú)限大的訓(xùn)練集。設(shè)下標(biāo)i表示第i次迭代過(guò)程中相應(yīng)的訓(xùn)練子集為Xi,這樣建立起迭代次數(shù)和相應(yīng)訓(xùn)練子集的關(guān)系。Di-1用來(lái)求解稀疏逼近問(wèn)題,得到稀疏表示系數(shù)i,字典升級(jí)的步驟可以表示為Ai=iAi1+iTi Bi=iBi1+XiTi Di=BiA1i(10-29)上式是相當(dāng)靈活的,如果訓(xùn)練集是完整且有限的,Xi=X,i=0,這時(shí)算法退化為MOD算法。另一方面,當(dāng)每一個(gè)訓(xùn)練集為一個(gè)向量時(shí), Xi=X,i=1,這時(shí)算法和遞歸最小二乘字典學(xué)習(xí)(RLS-DLA)算法一致,與在線字典學(xué)習(xí)算法非常相似。3. 在線字典

19、學(xué)習(xí)算法在線字典學(xué)習(xí)算法(Online Dictionary Learning, ODL)能用式(10-29)進(jìn)行解釋,當(dāng)訓(xùn)練集為一個(gè)向量xi或者為小批量(mini-batch)訓(xùn)練集Xi時(shí),對(duì)應(yīng)的稀疏表示系數(shù)i通過(guò)式(10-29) (i=1)得到。在ODL算法中,字典每列(原子)的升級(jí)通過(guò)下式得到:djdj+(bjDaj)/aj(j), j=1, 2, , K(10-30)其中,dj、 bj和aj分別為D、 Ai和Bi的列,值得注意的是,當(dāng)式(10-30)重復(fù)計(jì)算時(shí),字典學(xué)習(xí)通常是在很少步驟的迭代后就會(huì)收斂為最小平方問(wèn)題: Di=BiAi1。4. 遞歸最小二乘字典學(xué)習(xí)算法遞歸最小二乘字典學(xué)習(xí)

20、算法(Recursive Least Squares Dictionary Learning Algorithm, RLS-DLA)與ODL算法類(lèi)似,在一次迭代過(guò)程中只處理一個(gè)訓(xùn)練向量,在第i次迭代過(guò)程中,當(dāng)前的字典Di1用來(lái)求取對(duì)應(yīng)的稀疏表示系數(shù)i。與LS-DLA算法相比,RLS-DLA算法的主要改進(jìn)在于字典升級(jí)過(guò)程不是求解一個(gè)最小平方問(wèn)題,通過(guò)下面的一個(gè)簡(jiǎn)單的式子得到:Ci=A1i=(Ci1/i) uuT Di=Di+iuT(10-31)10.3.2 超完備字典學(xué)習(xí)算法的比較1. 常用超完備字典學(xué)習(xí)算法的性能對(duì)比取一個(gè)164000的矩陣X作為訓(xùn)練樣本,目標(biāo)稀疏度設(shè)為4。用超完備字典學(xué)習(xí)算法

21、對(duì)訓(xùn)練樣本X進(jìn)行訓(xùn)練,計(jì)算得到一個(gè)超完備字典和非零元素為4的稀疏表示系數(shù),這時(shí)訓(xùn)練樣本X能用字典中四個(gè)原子的線性組合表示。此時(shí)通過(guò)稀疏表示信號(hào)的信噪比和算法的收斂曲線來(lái)對(duì)比幾種常用超完備字典學(xué)習(xí)算法的性能。K-SVD算法、 ILS-DLA(MOD)算法、 RLS-DLA算法的迭代次數(shù)都被設(shè)定為200次,且能夠基本達(dá)到收斂,它們的收斂曲線如圖10-2所示。圖10-2 K-SVD算法、 ILS-DLA算法和RLS-DLA算法性能對(duì)比2. 遺忘因子對(duì)RLS-DLA算法性能的影響在上一節(jié)中提到遺忘因子的大小關(guān)系到初始字典原子更新的速率,同時(shí)也對(duì)算法性能產(chǎn)生影響。這一節(jié)里,將討論遺忘因子對(duì)RLS-DLA

22、算法性能的影響,第一個(gè)實(shí)驗(yàn)設(shè)為固定值,可得到一組RLS-DLA算法的收斂曲線,如圖10-3所示。圖10-3 對(duì)RLS-DLA算法性能的影響從收斂曲線可以看出不同的對(duì)算法性能影響相當(dāng)大,可通過(guò)調(diào)整來(lái)改善算法性能,但是這通常來(lái)說(shuō)是相當(dāng)困難的。在上一節(jié)提到RLS-DLA算法呈現(xiàn)一種搜索并收斂的思路,通過(guò)不斷地增大使得算法在合理的迭代次數(shù)后得到收斂,第二個(gè)實(shí)驗(yàn)將自適應(yīng)地改變的值,這時(shí)RLS-DLA算法的收斂曲線為圖10-4所示。由圖可知,當(dāng)自適應(yīng)增長(zhǎng)時(shí),RLS-DLA算法性能相較于固定時(shí)有很大提升。增長(zhǎng)率對(duì)算法收斂速度影響很大,增長(zhǎng)率為0.25時(shí)算法收斂速度最快。同時(shí)可以看到,不同的增長(zhǎng)率對(duì)稀疏表示信

23、號(hào)的信噪比影響不大,但是幾種情況都表現(xiàn)出優(yōu)異的性能,信號(hào)信噪比超過(guò)了K-SVD算法和ILS-DLA算法。圖10-4 增長(zhǎng)率對(duì)RLS-DLA算法性能的影響10.4 基于圖像稀疏表示的單幅圖像超分辨率算法圖像超分辨率重建的目標(biāo)是從一幅或多幅低分辨率(Low Resolution, LR)圖像重建出高分辨率(High Resolution, HR)圖像,傳統(tǒng)的基于重建的圖像超分辨率算法需要同一場(chǎng)景的多幅超分辨率圖像作為輸入, 每一幅低分辨率圖像給出了一組關(guān)于未知高分辨率圖像的線性約束條件,當(dāng)輸入的低分辨率圖像數(shù)量足夠多時(shí),這樣的多組線性約束條件就能夠求得一個(gè)唯一確定的解,可以通過(guò)這個(gè)解重建出高分辨率

24、圖像。然而在實(shí)際應(yīng)用中,得到同一場(chǎng)景的多幅低分辨率圖像是相當(dāng)困難的,且當(dāng)目標(biāo)放大倍數(shù)較大時(shí),重建效果急劇下降。由于傳統(tǒng)圖像超分辨率重建算法的諸多局限性,單幅圖像(基于學(xué)習(xí)的)超分辨率重建算法得到了更廣泛的應(yīng)用。在基于學(xué)習(xí)的圖像超分辨算法中,低分辨率圖像塊和高分辨率圖像塊的映射關(guān)系(先驗(yàn)知識(shí))通過(guò)一個(gè)包含低分辨率和高分辨率圖像塊對(duì)的訓(xùn)練庫(kù)學(xué)習(xí)而來(lái),這樣的映射關(guān)系被應(yīng)用到輸入的單幅低分辨率圖像,重建出它對(duì)應(yīng)的最有可能的高分辨率版本?;趯W(xué)習(xí)的圖像超率算法打破了傳統(tǒng)的基于重建的圖像超分辨率算法的諸多限制,但是它同時(shí)也表現(xiàn)出一些缺點(diǎn): 一方面,不同于傳統(tǒng)的圖像超分辨率算法,基于學(xué)習(xí)的圖像超分辨率算法重

25、建出的圖像高分辨細(xì)節(jié)信息不能保證是完全真實(shí)的;另一方面,基于學(xué)習(xí)的圖像超分辨率重建算法通常需要一個(gè)包含大量低分辨率和高分辨率圖像塊對(duì)的訓(xùn)練庫(kù)來(lái)學(xué)習(xí)得到先驗(yàn)知識(shí),當(dāng)訓(xùn)練庫(kù)包含的樣本數(shù)目過(guò)少時(shí),重建效果急劇下降。針對(duì)這兩個(gè)弊端,本節(jié)算法采取了以下策略:(1) 超分辨率重建所需的先驗(yàn)知識(shí)應(yīng)該盡可能由輸入的單幅高分辨率圖像提供而不是額外的訓(xùn)練樣本,這樣就在一定程度上保證了重建高分辨率信息的真實(shí)性。(2) 超分辨率算法不要過(guò)于依賴訓(xùn)練庫(kù)樣本的數(shù)目,甚至不需要提供附加的訓(xùn)練庫(kù)。10.4.1 自訓(xùn)練字典學(xué)習(xí)的算法框架在自訓(xùn)練字典學(xué)習(xí)的算法框架下,圖像超分辨率重建問(wèn)題可以描述為: 單幅低分辨率圖像Il作為輸入

26、,在沒(méi)有附加訓(xùn)練庫(kù)提供先驗(yàn)知識(shí)的情況下,重建出相應(yīng)的高分辨率圖像Ih。與其他的基于學(xué)習(xí)的超分辨重建算法類(lèi)似,把圖像分解為圖像塊進(jìn)行處理。單幅低分辨率圖像Il分解為圖像塊plRll,例如33的像素塊,目標(biāo)為重建出相應(yīng)的高分辨率圖像塊phRhh。定義超分辨重建操作為Q,此時(shí)重建的約束條件可以表示為ph=Q(pl)(10-32)超分辨率重建操作Q與Freeman的方法類(lèi)似,可以抽象地理解為兩個(gè)步驟: 首先,通過(guò)插值算法(例如,雙三性插值算法)把單幅輸入的低分辨率圖像放大到目標(biāo)分辨率大小,得到一張模糊的且缺乏高頻信息的插值圖像;其次,把重建得到的高頻信息,例如邊緣、 紋理信息等,填入上一步得到的插值圖

27、像。最后可以得到目標(biāo)分辨率大小且具有豐富高頻信息的高分辨率圖像。由于從低分辨率圖像Il重建出相應(yīng)的高分辨率圖像Ih(圖像高頻信息)是一個(gè)高度病態(tài)的問(wèn)題,因此可通過(guò)這兩個(gè)步驟來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。1. 通過(guò)自訓(xùn)練字典學(xué)習(xí)得到先驗(yàn)知識(shí) 由于沒(méi)有附加的訓(xùn)練樣本,本節(jié)將通過(guò)輸入的低分辨率圖像塊pl來(lái)獲取進(jìn)行超分辨重建的先驗(yàn)知識(shí)。定義B為一種模糊操作(點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)),s為圖像下采樣操作。假設(shè)每一個(gè)低分辨率圖像塊pl都可以通過(guò)對(duì)應(yīng)的高分辨率圖像塊ph模糊后下采樣得到:pl=(ph*B)s (10-33)其中, *為卷積操作。用高斯低通濾波器作為本節(jié)算法的模糊函數(shù),它是一個(gè)2維的33模板:(10-34)對(duì)于輸入的低

28、分辨率圖像塊pl,可以模糊和下采樣得到pll,以此用來(lái)模擬超分辨率重建的反過(guò)程: pll=(pl*B)s (10-35)由式(10-33)和式(10-35)可知通過(guò)pll和pl的關(guān)系來(lái)預(yù)測(cè)pl和ph是合理的?;趫D像稀疏表示理論,定義Dl=dr, r=1, 2, 3,K為通過(guò)輸入低分辨率圖像訓(xùn)練得到的超完備字典,它的原子dr張成整個(gè)希爾伯特空間H=RNK,其中KN。這時(shí),可把pll看做低分辨率圖像塊,同時(shí)把pl看做對(duì)應(yīng)的高分辨率圖像塊,那么相應(yīng)的低分辨率圖像塊pll可以在低分辨率字典Dl上得到稀疏表示:pll=Dl(10-36)其中, 為包含很少非零分量的稀疏表示系數(shù)。希望在Dl中自適應(yīng)地選擇

29、m個(gè)原子去非線性逼近圖像塊pll,由于Dl是冗余的(KN), 這樣的稀疏表示系數(shù)不是唯一確定的。求解稀疏表示系數(shù)轉(zhuǎn)換為求解一個(gè)基于錯(cuò)誤容差的優(yōu)化問(wèn)題:(10-37)式中,|0表示非零分量的數(shù)目,表示非線性逼近的錯(cuò)誤容差,這是一個(gè)l0范數(shù)問(wèn)題。在前面已經(jīng)闡述了解決l0范數(shù)問(wèn)題的兩類(lèi)方法,在這里可通過(guò)優(yōu)化的正交匹配追蹤(OMP)算法來(lái)求解稀疏表示系數(shù)。根據(jù)Yang算法的基本思想,高分辨率圖像塊pl可以用同樣的稀疏表示系數(shù),在高分辨率字典Dh上得到稀疏表示:pl=Dh(10-38)由高分辨率圖像塊pl和稀疏表示系數(shù),可以求得高分辨率字典Dh。這個(gè)等式的實(shí)質(zhì)是訓(xùn)練高分辨率圖像得到高分辨率字典,具體訓(xùn)練

30、算法將在下一節(jié)中詳述。此時(shí)通過(guò)輸入低分辨率圖像得到低分辨率字典Dl和高分辨率字典Dh的聯(lián)合就組成了先驗(yàn)知識(shí)(Dl,Dh)。在自訓(xùn)練字典學(xué)習(xí)框架下獲取先驗(yàn)知識(shí)的過(guò)程如圖10-5所示。圖10-5 在自訓(xùn)練字典學(xué)習(xí)的框架下獲取先驗(yàn)知識(shí)2. 利用先驗(yàn)知識(shí)重建高分辨率圖像得到由自訓(xùn)練字典學(xué)習(xí)得到的先驗(yàn)知識(shí)(Dl,Dh)后,接下來(lái)就是利用這個(gè)先驗(yàn)知識(shí)重建對(duì)應(yīng)的高分辨率圖像塊ph。 與上一個(gè)步驟不同,這里把pl看做低分辨率圖像塊,同時(shí)把ph看做對(duì)應(yīng)的高分辨率圖像塊。低分辨率圖像塊pl在低分辨率字典Dl上得到稀疏表示:pl= Dl(10-39)新的稀疏表示系數(shù)通過(guò)求解下列一個(gè)基于錯(cuò)誤容差的優(yōu)化問(wèn)題得到:(10

31、-40)此時(shí)需要重建的高分辨率圖像塊ph可由同樣的稀疏表示系數(shù)在高分辨率字典上得到重建:ph= Dh (10-41)這樣得到的高分辨率圖像Ih的每個(gè)圖像塊phRhh都通過(guò)這樣的步驟得到重建,最后把這些圖像塊融合起來(lái)可得到完整的高分辨率圖像Ih。通過(guò)先驗(yàn)知識(shí)重建出高分辨率圖像Ih的過(guò)程如圖10-6所示。圖10-6 利用先驗(yàn)知識(shí)重建出高分辨率圖像(a) 低分辨率圖像在低分辨率字典上得到稀疏表示(b) 用同樣的稀疏表示系數(shù)在高分辨率字典上重建出高分辨率圖像10.4.2 由粗到精的圖像放大過(guò)程一般來(lái)說(shuō),超分辨率算法的重建效果隨著目標(biāo)放大倍數(shù)的增大會(huì)迅速下降。為了解決這個(gè)問(wèn)題,本章算法引入“由粗到精”的

32、概念到高分辨圖像重建的整個(gè)過(guò)程, 并且引入反向投影(Back Projection, BP)算法作為全局約束條件,保證每次重建得到的高分辨率圖像Ihn(n=0, 1, )與輸入的單幅低分辨率圖像Il保持一致。輸入單幅低分辨率圖像Il,本節(jié)中不直接把它放大到目標(biāo)分辨率,而是采取一種逐漸放大的過(guò)程,在這個(gè)過(guò)程中用于重建的先驗(yàn)知識(shí)(Dl,Dh)不斷更新。具體來(lái)講,可定義超分辨重建的目標(biāo)放大倍數(shù)為m,它需要n(n2)次放大過(guò)程去達(dá)到目標(biāo)放大倍數(shù)。那么對(duì)于每一次放大過(guò)程,放大倍數(shù)則為m1/n:(10-42)假設(shè)n=2,即輸入單幅低分辨率圖像Il需要兩次放大過(guò)程才能達(dá)到目標(biāo)放大倍數(shù)m,那么每次放大過(guò)程的放

33、大倍數(shù)為 。輸入的單幅低分辨率圖像Il通過(guò)自訓(xùn)練字典學(xué)習(xí)的方法得到初始先驗(yàn)知識(shí)(Dl0,Dh0),然后利用這個(gè)先驗(yàn)知識(shí)重建出第一次放大過(guò)程的高分辨率圖像Ih0,具體計(jì)算如上一節(jié)所述。這時(shí)為了保證第一次放大過(guò)程得到的高分辨率圖像Ih0和輸入單幅低分辨率圖像的一致性,防止第一次放大過(guò)程引入的錯(cuò)誤像素不被擴(kuò)散,可用反向投影算法來(lái)校正第一次重建高分辨率圖像Ih0中的高分辨像素。反向投影算法主要分為兩個(gè)步驟。第一步,把第n次放大過(guò)程得到的高分辨率圖像Ihn通過(guò)下采樣操作s得到(Ihn)s,(Ihn)s的分辨率與輸入的單幅低分辨率圖像Il保持一致。第二步為Ihn高分辨率像素校正的步驟。首先計(jì)算(Ihn)s

34、與Il的差值圖像Idiff:Idiff=Il(Ihn)s(10-43)其次,把差值圖像Idiff通過(guò)插值操作b(例如雙三性插值)得到(Idiff)b, 它與Ihn分辨率一致。最后,(Idiff)b與一個(gè)高斯低通濾波器B進(jìn)行卷積,把結(jié)果與Ihn求和,最終得到高分辨率像素校正后的圖像Ihn(BP):Ihn(BP)=Ihn+(Idiff)b*B(10-44)輸入低分辨率圖像Il和校正后的高分辨率圖像Ih0(BP)經(jīng)過(guò)字典訓(xùn)練算法得到更新后的先驗(yàn)知識(shí)(Dl1,Dh1)。此時(shí)再用這個(gè)先驗(yàn)知識(shí)去重建第二階段放大的圖像Ih1,Ih1通過(guò)反向投影算法投影到原始輸入低分辨率圖像上,經(jīng)過(guò)高分辨率像素校正后得到Ih

35、1(BP),Ih1(BP)即最終重建出的高分辨率圖像。為了達(dá)到目標(biāo)放大倍數(shù)m,輸入的低分辨率圖像Il通過(guò)兩次放大過(guò)程逐漸達(dá)到目標(biāo)分辨率,并且每次放大過(guò)程得到的高分辨率圖像都用反向投影算法進(jìn)行約束,保證了和輸入單幅高分辨率圖像像素信息一致性的同時(shí)有效減少差錯(cuò)的擴(kuò)散。當(dāng)放大次數(shù)n2時(shí),情況與上述類(lèi)似,最終重建的高分辨率圖像要經(jīng)歷多次放大過(guò)程和先驗(yàn)知識(shí)更新。這樣一種“由粗到精”的圖像放大過(guò)程,使得本章算法在目標(biāo)放大倍數(shù)較大時(shí)仍然能夠重建出效果滿意的高分辨率圖像,具體實(shí)驗(yàn)結(jié)果將在后面詳述,整個(gè)圖像放大過(guò)程如圖10-7所示。圖10-7 “由粗到精”的圖像放大過(guò)程10.4.3 低分辨率和高分辨率超完備字典

36、學(xué)習(xí)算法K-SVD算法及其優(yōu)化方法已經(jīng)在前面進(jìn)行過(guò)詳述,本節(jié)將闡明如何利用K-SVD算法在自訓(xùn)練字典學(xué)習(xí)的算法框架中得到低分辨率和高分辨率超完備字典,它們聯(lián)合組成了用于超分辨率重建的先驗(yàn)知識(shí)。超分辨率重建操作Q可以抽象地分為兩步: 第一步為插值放大過(guò)程,第二步為在插值圖像中填入高頻信息得到高分辨率圖像。第一步插值放大過(guò)程可以通過(guò)插值算法(例如雙三性插值)把輸入低分辨率圖像放大到目標(biāo)分辨率,插值算法簡(jiǎn)單且容易實(shí)現(xiàn)。第二步通過(guò)字典學(xué)習(xí)得到的先驗(yàn)知識(shí)來(lái)重建出高分辨率圖像的高頻信息,再把這些信息填入插值圖像重建得到高分辨率圖像。超分辨率重建的關(guān)鍵是如何有效地計(jì)算出高分辨率圖像中的高頻信息。因此,在本章

37、算法中不直接對(duì)灰度圖像塊進(jìn)行訓(xùn)練,而是專注于這些圖像塊中的特征(高頻信息),建立低分辨率圖像塊和高分辨率圖像塊中特征的映射關(guān)系,這樣可更準(zhǔn)確地得到高頻信息的先驗(yàn)知識(shí),重建出高分辨率圖像。1. 低分辨率字典學(xué)習(xí)算法不是直接對(duì)低分辨率圖像分解得到的低分辨率圖像塊pili, (i=1, 2, , m)進(jìn)行訓(xùn)練,而是對(duì)獲得的低分辨率圖像的特征集進(jìn)行訓(xùn)練。設(shè)Fl和Fh分別為低分辨率和高分辨率圖像塊的特征提取操作,將該操作分別應(yīng)用于高低分辨率圖像塊,則可以得到低分辨率圖像塊特征Flpili, (i=1, 2, , m)和高分辨率圖像塊特征Fhpihi, (i=1, 2, , m)?;趫D像稀疏表示理論,低

38、分辨率圖像塊特征可以在低分辨率字典Dl上得到稀疏表示:Flpili=Dli, iRK(10-45)算法把優(yōu)化的K-SVD算法應(yīng)用到低分辨率圖像塊特征,問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為求解如下一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題:(10-46)對(duì)于上述等式, 低分辨率字典Dl和低分辨率圖像塊特征在其上的稀疏表示系數(shù)通過(guò)K-SVD算法計(jì)算得到,K-SVD算法的具體步驟已經(jīng)在第四章中詳述過(guò)。2. 高分辨率字典學(xué)習(xí)根據(jù)Yang的基本思想,高分辨率圖像塊特征Fhpihi, (i=1, 2, , m)也可以用同樣的稀疏表示系數(shù)在高分辨率字典上得到稀疏表示:Fhpihi=Dhi(10-47)這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)計(jì)算下列一個(gè)偽逆計(jì)算式求得:Dh=Fhpi

39、hi+i=FhpihiTi(iTi)1(10-48)這樣就得到了高分辨率字典Dh。通過(guò)對(duì)低分辨率字典和高分辨率字典的學(xué)習(xí),可得到用于重建的先驗(yàn)知識(shí)(Dl,Dh)。10.5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析本節(jié)將把本章算法的超分辨率重建效果與其他超分辨率算法對(duì)比,隨后將討論影響重建效果的一些因素,比如圖像特征提取算法、 目標(biāo)放大倍數(shù)、 超完備字典尺寸等。由于人眼對(duì)亮度信息比對(duì)色度信息更為敏感,本章算法只對(duì)YUV色彩空間的亮度分量進(jìn)行處理。同樣的,峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio,PSNR)的計(jì)算結(jié)果也只在Y通道上給出,PSNR的計(jì)算公式為(10-49)(10-50)其中,MSE是均

40、方根誤差, In定義為原始圖像的第n個(gè)像素,Pn是處理后圖像對(duì)應(yīng)位置上的像素。PSNR的計(jì)算值越高,意味著重建出來(lái)的圖像質(zhì)量越高。10.5.1 文本圖像放大實(shí)驗(yàn)在本節(jié)實(shí)驗(yàn)中將對(duì)單幅文本圖像進(jìn)行超分辨率實(shí)驗(yàn)。給定一幅600600的文本圖像作為原始圖像,通過(guò)對(duì)其下采樣2倍得到一幅300300的低分辨率圖像作為單幅輸入圖像。圖像目標(biāo)放大倍數(shù)設(shè)為2倍,在自訓(xùn)練字典學(xué)習(xí)的框架下,輸入單幅300300的低分辨率圖像作為唯一的訓(xùn)練樣本,通過(guò)字典學(xué)習(xí)算法對(duì)樣本的訓(xùn)練可得到用于超分辨率重建的先驗(yàn)知識(shí)。同時(shí),將輸入的低分辨率圖像通過(guò)雙三性插值算法、 最近鄰插值算法放大2倍后作為本節(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比。低分辨率圖像和高

41、分辨率圖像的特征提取算法如前面所述,對(duì)低分辨率圖像采用4個(gè)梯度濾波器聯(lián)合拉普拉斯濾波器進(jìn)行特征提取,對(duì)于高分辨率圖像則直接移除它的低頻成分得到特征圖像。K-SVD字典學(xué)習(xí)算法迭代次數(shù)設(shè)為40次,字典尺寸設(shè)定為30300,即字典包含300個(gè)原子。目標(biāo)稀疏度設(shè)為4,每個(gè)圖像塊可以用字典中4個(gè)原子的線性組合來(lái)得到稀疏表示。本章算法、 雙三性插值算法和最近鄰插值算法超分辨重建效果對(duì)比如圖10-8所示。圖10-8 文本放大實(shí)驗(yàn)通過(guò)圖10-8可以看出,本章算法重建結(jié)果在視覺(jué)效果上明顯優(yōu)于插值算法的結(jié)果。最近鄰插值算法結(jié)果最差,失真明顯;雙三性插值算法的結(jié)果過(guò)于模糊且缺乏高頻信息。對(duì)重建結(jié)果圖像進(jìn)行PSNR

42、分析(如圖10-8所示)可得,本章算法相較最近鄰插值算法取得了3.31 dB的提升,相對(duì)于雙三性插值算法取得了2.17 dB的提升。10.5.2 與其他基于學(xué)習(xí)超分辨率算法對(duì)比在上小節(jié)中,主要把本章算法和基于插值算法進(jìn)行了對(duì)比,本章算法的超分辨率重建效果明顯好于簡(jiǎn)單的插值算法。在這里將把本章算法和Yang的基于圖像稀疏表示理論的超分辨率算法作對(duì)比。在本小節(jié)以下的所有實(shí)驗(yàn)中,對(duì)于Yang算法,超完備字典尺寸設(shè)置為1000,圖像塊設(shè)置為55,每個(gè)圖像塊之前有4個(gè)像素點(diǎn)的交疊。在本章算法中,K-SVD算法在自訓(xùn)練字典學(xué)習(xí)的框架下,通過(guò)40次迭代達(dá)到收斂,字典尺寸設(shè)定為50;每個(gè)33的圖像塊之間有1個(gè)

43、像素點(diǎn)的交疊,且每個(gè)圖像塊能用字典中的3個(gè)原子進(jìn)行稀疏表示。在與Yang算法的對(duì)比實(shí)驗(yàn)中,先對(duì)一幅256256的標(biāo)準(zhǔn)Lena圖像進(jìn)行超分辨率實(shí)驗(yàn),目標(biāo)放大倍數(shù)為2倍。幾種算法重建效果與原始圖像的對(duì)比如圖10-9所示。圖10-9 Lena標(biāo)準(zhǔn)圖像放大實(shí)驗(yàn)對(duì)取自南加州大學(xué)(University of Southern California, USC)SIPI圖像庫(kù)的14幅圖像,分別用本章算法、 雙三性插值算法和Yang算法進(jìn)行處理。目標(biāo)放大倍數(shù)設(shè)置為2倍,超分辨率重建效果(選取其中的5幅圖像)對(duì)比如圖10-10所示。可以看到本章算法重建出來(lái)的圖像在視覺(jué)效果上比雙三性插值算法有明顯提升,相較于Yan

44、g算法,本章算法重建的高分辨率有效減少了人工痕跡,呈現(xiàn)的高頻信息更加自然, 重建效果更加接近于原始圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果的PSNR結(jié)果對(duì)比如表10-1所示,可以看到在PSNR評(píng)價(jià)上,本章算法相較于Yang算法也取得了0.36 dB的提升。圖10-10 SIPI圖像庫(kù)放大實(shí)驗(yàn)視覺(jué)效果對(duì)比表10-1 SIPI圖像庫(kù)放大實(shí)驗(yàn)的PSNR值對(duì)比10.5.3 圖像特征提取算法對(duì)重建效果的影響在本小節(jié)實(shí)驗(yàn)中,將對(duì)比不同的圖像特征訓(xùn)練算法對(duì)重建效果的影響并進(jìn)行分析。在字典學(xué)習(xí)階段,字典學(xué)習(xí)算法不是直接對(duì)訓(xùn)練樣本進(jìn)行訓(xùn)練,而是它們的特征向量?;趯W(xué)習(xí)的圖像超分辨率算法的基本思想為利用先驗(yàn)知識(shí)預(yù)測(cè)高分辨率圖像的高頻信息,

45、先驗(yàn)知識(shí)的有效性直接影響高分辨率圖像的重建效果。先驗(yàn)知識(shí)主要對(duì)訓(xùn)練樣本進(jìn)行學(xué)習(xí)得到,這時(shí)如果直接對(duì)訓(xùn)練樣本的特征進(jìn)行學(xué)習(xí),則可以更好地抓住圖像的高頻分量之間的聯(lián)系,得到更為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè),所以,一種有效的圖像特征提取算法就顯得至關(guān)重要。實(shí)驗(yàn)中把幾種不同的圖像特征提取算法應(yīng)用到本章算法框架中,并對(duì)SIPI圖像庫(kù)中的14幅圖像進(jìn)行放大實(shí)驗(yàn),平均PSNR值由表10-2給出。拉普拉斯聯(lián)合一階、 二階梯度濾波作為低分辨率圖像的圖像特征提取算法能取得更高的PSNR值,同時(shí)它也是本章算法的圖像特征提取算法。表10-2 圖像特征提取算法對(duì)PSNR值的影響10.5.4 目標(biāo)放大倍數(shù)對(duì)重建效果的影響在本小節(jié)實(shí)驗(yàn)里,對(duì)一幅衛(wèi)星遙感圖像用不同的目標(biāo)放大倍數(shù)進(jìn)行放大,重建圖像視覺(jué)效果對(duì)比如圖10-11所示。由圖可以看到,當(dāng)放大倍數(shù)

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