高等數(shù)學(xué)作業(yè)題與參考答案

1、.專業(yè)資料.高等數(shù)學(xué)作業(yè)題(一)第一章 函數(shù)1、填空題(1)函數(shù)y，4 X2 的定義域是 x 12、選擇題(1)下列函數(shù)是初等函數(shù)的是()。y . sin x 3y , sin x 1X2 1C. yD. y1 x,x0 x,x0小、. 1 、一，口(2) y sin 在定乂域內(nèi)是(XA.單調(diào)函數(shù) B. 周期函數(shù)C.無界函數(shù)D.有界函數(shù)3、求函數(shù)y ln(14、設(shè) f (x) x2 x1,計算f(2 x) fX5、要做一個容積為 250立方米的無蓋圓柱體蓄水池，已知池底單位造價為池壁單位造價的兩倍，設(shè)池底 單位造價為a元，試將總造價表示為底半徑的函數(shù)。6、把一個圓形鐵片，自中心處剪去中心角為的

2、一扇形后，圍成一個無底圓錐，試將此圓錐體積表達(dá)成 的函數(shù)。第二章 極限與連續(xù)1、填空題y 2的間斷點(diǎn)是x 3x 0是函數(shù)y1 X的第 類間斷點(diǎn)。(3)若極限lim f(x) a存在，則稱直線 y a為曲線y f x的漸近線。X(4)有界函數(shù)與無窮小的乘積是 (5)當(dāng)x 0,函數(shù)sin3x與x是 無窮小。1x(6) lim(1 2x)=x 0(7)若一個數(shù)列 xn ,當(dāng)n 時，無限接近于某一個常數(shù) a,則稱a為數(shù)列 4的極限。(8)若存在實(shí)數(shù) M 0,使得對于任何的 x R,都有f x M ,且lim g x 0,x 0 D則 lim f x g xx 0 D (9)設(shè) y sin 3x ,貝U

3、 y (10) lim (1 )x= x 2x2、選擇題x(1) lim的值為()。x 0 sinxA.1 B.C. 不存在 D.0 (2)當(dāng)x 0時，與x 100 x3等價的無窮小量是()A. 3 x B x C. . x D.x30 時，f(x)為()C. 有界，但非無窮小量D. 無窮小量1(3)設(shè)函數(shù) f (x) x sin ,則當(dāng) f (x) xA.無界變量B.無窮大量21(4)x sin一 limx的值為(x 0 sinxA.1 B.C. 不存在 D.0(5)下列函數(shù)在指定的變化過程中，()是無窮小量。1sin xA. ex, (x )B. , (x )x,x 1 1C. ln(1

4、x), (x 1)D., (x 0)(6)當(dāng) x時，下列變量中無窮大量是（).專業(yè)資料.A.ln(1x),5XC0SXlimxA. aasinx等于 xB. 0 C.-aD.不存在(8)0時,變量是無窮小量。A.ln sin xB.1 cos一xC., 1sin 一 xD.(9)x OH f (x)1 -一的（xA.連續(xù)點(diǎn);B.跳躍間斷點(diǎn);C.可去間斷點(diǎn);D.無窮間斷點(diǎn).(10) x 0是f(x)(11x)x 的(A.連續(xù)點(diǎn);B.跳躍間斷點(diǎn);C.可去間斷點(diǎn);D.無窮間斷點(diǎn).1(11)函數(shù) f(x) xsin 在點(diǎn) xA.有定義且有極限B.有定義但無極限C.無定義但有極限D(zhuǎn).無定義且無極限(12

5、) lim x 0 xA. 0B.不存在C.D.（13）無窮小量是（A趨于的一個量個絕對值極小的數(shù)C以零為極限的量以零為極限且大于零的量(14) xm1A. -2 B.2 C.D.(15)設(shè) f(x)“刈的（）A.可去間斷點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C .無窮間斷點(diǎn).D.以上答案都不對(16) limx :A . -6(17)x2 9B. 6 C.x2 4lim x 2 x 2A . -6 B. 4 C.D. 2sin 2x（i8）xm0 D.12.專業(yè)資料.A. 1xB. 2 C.3、計算題2(1)lxmix 2x 1x2 1(2)2.x lim ;x 1x26x 85x 4(3 )x 1 x lim(

6、) x x 1(4)tan3x2x(5)lim(1 x2、x 2一) x(6)limxsin4xlxm1(8)limxcosx(9)lim(1.專業(yè)資料.（10）Msin2xsin5x(11) lim (1 x 01 x 1 x)3x 2(12) lim x42,x 3x 1(13 ) lim(2x 1x 4(14) lim x x 121x sin 一(15 ) limxx 0 sin x(16 ) limarctan x4、求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出其類型x 1-2 Z -X2 3x 2.專業(yè)資料. y cos1 x5、 f (x)limxx 0 x) f(x)x高等數(shù)學(xué)作業(yè)題(二)第三章

7、導(dǎo)數(shù)與微分1、填空題2(1)拋物線y x在點(diǎn) 處的切線平行于直線 2 y 4x 1 0(2)曲線y x3在點(diǎn)(1, 1)的法線方程是 (3)設(shè)函數(shù)y f(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，則函數(shù)g(x) kf(x) (k是常數(shù))在點(diǎn)(可導(dǎo)、不可導(dǎo))。一物體的運(yùn)動方程為 s 2t3 10,此物體在t 2時瞬時速度為 (5) y (2x 1)，則 y =.專業(yè)資料.2(6)設(shè) y (3x 1)2 ,則 y =。2y ln(2 x ) , dy 。設(shè) y 2x 1, dy=。dxy ln(2 x2) , dy 。2、選擇題211(1)在拋物線yx上過 一，一 點(diǎn)的切線是()2 4A.平彳T于ox軸 B.與ox軸構(gòu)成4

8、5C .與ox軸構(gòu)成135 ； D .平行于oy軸。(2)過點(diǎn)(1,3),且切線斜率為2x的曲線方程yy(x)應(yīng)滿足的關(guān)系是(A. y 2x B . y 2x C . y 2x, y(1) 3D . y 2x , y(1) 3y ln(2x 1),則 f(1)=()A . 0 B. 2 C. 1 D. 3y ln 3 ,則 dy =()1 .1A . 3dx B .dx C. dx33 f(x) e2x,則 f(1)=()2_ 2_A . e b . 2e C. e D. 2f(x) 2x2 2, f(1)=()A. 1 B. -4 C.0 D. 43、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dydx(1) y co

9、sx ln( x8 1) VxD. 0 y sin .1x2.專業(yè)資料.(3) y 2 . x sin x cosx In x 5.專業(yè)資料.(4)2sin x cosx TOC o 1-5 h z 2 7、y ln (secx)心1y, x222 a xarccos 1 x(8)21sec 一xi1、y ln(sin ) xy arcsin J1 3x（ii）jx mva,求得x . 1 t 4 dy , 求y .1 t dxx acost + dy，求L。y bsin t dxy3 3y 2x 0y (tan x)sinx(16)x 1 t3_2y 2t t2，求dx(17)2t33t t

10、2dy,求dx(18) y ln(3x 2)24、求下列函數(shù)的微分(1) y5.x x.5 5 51 cosx1 sinx yln(x3 2)5、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)d2yd 2xx 2(1) y 2 x(2)求y In x J1 x2的二階導(dǎo)數(shù)。x in 1 t A. 1 B. e c. e d. 0 人6、求由參數(shù)方程x所確定的函數(shù)的二階y t arctant7、求拋物線y2 2px p 0 ,在點(diǎn)M R,p處的切線方程為與法線方程2高等數(shù)學(xué)作業(yè)題(三)第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1、填空題 y x ln(x 1)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)減少，在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)增加。(2)若曲線y (ax b)3在(1,

11、(a b)3)處有拐點(diǎn)，則a與b應(yīng)滿足關(guān)系 x2 41 . 一(3)函數(shù)y 在,1上的最小值是1 x 2(4)設(shè)在(a, b)內(nèi)曲線弧是凸的，則該曲線弧必位于其上每一點(diǎn)處的切線的 方。2、選擇題(1)若函數(shù) f (x)在xo點(diǎn)取得極小值，則必有(A.f(xo) 0 且 f(x) 0 Bf(xo)0 且 f(xo) 0f(x。)0或不存在C. f(x0) 0 且f(x0) 0 DIn x 1(2)極限lim的值為()。x e x e 若(Xo , f(Xo)為連續(xù)曲線y f(x)上的凹弧與凸弧分界點(diǎn)，則()。A.(Xo , f(Xo)必為曲線的拐點(diǎn)B. (Xo , f(Xo)必定為曲線的駐點(diǎn)C.

12、 X0為f(X)的極值點(diǎn) D.X0必定不是f(X)的極值點(diǎn) TOC o 1-5 h z (4)函數(shù)y X2 1在區(qū)間0 , 2上()A.單調(diào)增加B.單調(diào)減少 C.不增不減D.有增有減(5)如果 f(X0) 0 ,則 x0 一定是()A.極小值點(diǎn)B.極大值點(diǎn) C. 駐點(diǎn)D.拐點(diǎn)(6)函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x Xo處取得極值，則必有()A. f(xo)0 B.f(Xo) 0 C. f(Xo) 0 或 f(Xo)不存在 D. f(Xo)(7)()為不定式。A . B. C. 0 D. 03、求極限(2)limX 0limX 0ln 2xln3xsin xX12 2 lim x exX 01(4) l

13、im (cot x)1nxX 0lim x arctan x(6)limx1 cosx2,2tan xlimx(8)x sin x lim x x sin x1lim x(ex 1)x1ln(1 -)lim -x arc cot x4、求函數(shù)y 3x2 x3的單調(diào)區(qū)間5、點(diǎn)（1, 3）是曲線y ax3 bx2的拐點(diǎn)，求a,b6、討論函數(shù)y arctanx x的單調(diào)性并求極值。7、討論y 2x3 3x2單調(diào)性并求極值。x.專業(yè)資料.8、討論曲線y 3x 5x2 x3 5的凹凸性，并求拐點(diǎn)。9、求y ln(x4 1)在 1,2上的最大值與最小值。10、試確定a , b , c ,使y x3ax2

14、bx c有一拐點(diǎn)(1 , 1),且在x 0處有極大值1。11、求函數(shù)y 3x2 x3的單調(diào)性12、某車間靠墻蓋一間長方形小屋屋的面積最大？，現(xiàn)有存磚只夠砌20米長的墻壁，問應(yīng)圍成怎樣的長方形，才能使這間小.專業(yè)資料.13、在邊長為2a的正方形鐵皮上，四角各減去邊長為x的小正方形，試問邊長 x取何值時，它的容積最大?14、要做一個底面為長方形的帶蓋的箱子，其體積為能使表面積為最小372cm ,其底邊成1:2的關(guān)系，問各邊的長怎樣，才第五章 積分1、填空題(1)設(shè)f x的一個原函數(shù)為 cos 2x 1，則f x TOC o 1-5 h z 13.21x sin xdx(3 )e2xdx =2.,x

15、 arcsinxdx 1cos 2 xdx =4a x )arctanxdx 22xex dx 。12、選擇題(1)若 F x f x ,貝U d f x dx ()A. f x B. f x dx C. F x D. F x dxx.專業(yè)資料.(2)設(shè)f (x)為可導(dǎo)函數(shù)，則()A. f x dx f xB.f x dx f x C.f x dx f x D.f x dx f x C(3)exdx ()A. ex B . ex C2 C2x 2,且曲線經(jīng)過點(diǎn) 2,5 ,則該曲線方程為(4)曲線y f x在點(diǎn)x處的切線斜率為122x 2x 3 D . y x 2x 52 TOC o 1-5 h

16、 z A212 八 _A. y x 2 B . y - x 2x C. y(5)若u,v都是x的可微函數(shù)，則 udv =()A. uv vdu B . vu vudv C . vu udv D . uv vudu(6)下列等式正確的是()dA f (x)dx f (x) B f(x)dx f (x) C df (x) f (x) D d f (x)dx f (x) dx 設(shè)f (x)存在且連續(xù)，則df (x)=()A. f (x) B. f (x) C. f (x) c D . f (x) c2(8)0(2x 2)dx =()A、1 B 、1 C 、0 D、123、求下列不定積分3.(1)co

17、sx dx(2)sin .t.t(3)(4)(5)2xeln2dxx-dx.專業(yè)資料.x 3.2x 1dx(6)(8)(9)(10 )(11)(12 )(13 )(14 )(15 )(16 )(17 )sin 一 xdx edx一 2,ln xdxx arctanxdxxsin xx2 31dx COSx ,dx xdx3x 7-dxx 111 x23 dx1 x2ox x3 e dx32.3 2x dx1，一、丁3(18 )1 2 cosx cos xdx2(19 )eln xdxi21 2 .(20 (x)2dxx2(21) o x 1dx(22 )1 x2xe dx04、判斷下列各廣義積

18、分的斂散性，若收斂，計算其值。(1)dxx :x(2)2x xe dx(3)e xdx(4)高等數(shù)學(xué)作業(yè)題（四）第六章定積分的應(yīng)用21 1、1、求由拋物線 y x及其在點(diǎn)（一,一）處的法線所圍成的平面圖形的面積。2 42、求曲線y x3,x 2,y 0所圍成的區(qū)域分別繞 x軸及y軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積。3、求由曲線y 2x2, y x2與y 2所圍成的平面圖形面積。4、求直線y x與曲線x y2所圍成的平面圖形繞 y軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積。第七章多元函數(shù)微分學(xué)分1、填空題1 ，一、，一z ,的定義域?yàn)椋?X y x y(2)在空間直角坐標(biāo)系 OXYZ下，方程x22(2) 函數(shù)z arc

19、sin- x y 的定義域?yàn)? x yA.空集 B. 圓域 C. 圓周 D. 一個點(diǎn)設(shè)z xy,則-z()x (0,0)A. 0 B. 不存在 C. 1 D. 1(4)二元函數(shù)z 1哀一y2的極大值點(diǎn)是()A. 1,1 B. 0 , 1 C. 1 , 0 D. 0,03、求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)(1)設(shè) f x, y x y 才xy2 ,求 fx 3,4 , fy 3,4。 y24表示的圖形為 2z ln x y ,貝U - ；y xz x2y exy在點(diǎn) 1,1 處的 dz ;0時，有 值;(5)如果z f x, y在點(diǎn)x, y處有極值，則當(dāng)A 0時，有 值；當(dāng)Az ln( x y)的定義域?yàn)?/p>

20、 一、y zzx,oyzxy , =x2、選擇題(1)二元函數(shù)的幾何圖形一般是()D.一個空間區(qū)域A. 一條曲線B.一個曲面C. 一個平面區(qū)域 z 2x2 3xy y2 1.專業(yè)資料.(2) z x3yy3x 1.專業(yè)資料./c、2xyZ x yz (1 xy)yz xln(x y)4、求下列函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)z ex sin x yz x3 3x2y y42z arctan x y5、求下列函數(shù)的全微分x(1) z arcsin 一 y(3) z sin y x6、求下列函數(shù)的,x y(1) z u , u xcosy , v ycosx v“、2,x _ z u lnv,u -,v 3x

21、 2y y7、設(shè) z xsin y ,其中 x 2t, y t3,求一。 dt8、求下列函數(shù)的極值(1) f x, yy2 z f x , y x xy y 2x y x2 1.專業(yè)資料.9、要造一個容積等于定數(shù) V的長方體無蓋水池，應(yīng)如何選擇水池的尺寸，方可使它的表面積最小。高等數(shù)學(xué)作業(yè)題(五)第八章二重積分1、改變下列二次積分的次序： TOC o 1-5 h z 11 X2(1)1dx 0 f(x,y)dyeIn x1 dx 0 f (x,y)dy1 x22 x0dx0f(x,y)dy1dx0f(x, y)dy12112dyf(x,y)dx1 dyyf(x,y)dx01122 y2dy 丫

22、2 f (x, y)dx2、計算 (x2 y)dxdy,其中D是由y x2,y2 x所圍成的區(qū)域D3、求(x 6y)dxdy,其中D是由x 0, y , y x所圍成的區(qū)域4、(x2 y2)dxdy,其中D是由x0,x1, y x, y 2x所圍成的區(qū)域5、2 y2x e dxdy, D ： xD0,x所圍成的區(qū)域。6、Kcosxdy 6 dxy x7、ydxdy, D 為圓2a2所圍的在第一象限中的區(qū)域。8、cos(x y)dxdyx,y 1,x 0圍成區(qū)域9、計算D2 x d, D 為 yyx, x 2及曲線xy 1所圍成。10、計算計算（x 1）dxdy,其中D是由y x, y x2所圍

23、成的區(qū)域D第九章微分方程及其應(yīng)用1、填空題 TOC o 1-5 h z （1）微分方程x（y ）3 4y5y x6 0的階數(shù)為（）（2）過點(diǎn)（2,3）且斜率為x2的曲線方程為（）d x.（3） d4 4x 0的特征方程為（）dt22、選擇題（1）若曲線上任一點(diǎn)切線的斜率與切點(diǎn)橫坐標(biāo)成正比，則這條曲線是（）A.圓 B. 拋物線 C._ xy y 3 ,.(2)微分方程 的解是()y(1) 0,1、Ay 3(1) B. y 3(1 x)x微分方程dy 2xdx的解是()A y 2x B、y 2x C 、y(4) 方程y 2y 0的通解是()A y sin x B y 4e2x C3、求下列微分方程

24、的解(1) cosxcos ydx sin xsin ydy 0橢圓 D. 雙曲線1C. y 1 - D. y 1 xxyce2xD y ex/ y 2xA y e ,y x 0 1(3)ysinx yin y, y e x 2(4)dy 2x- y x dxy 4y 4y 0 y y I2y 0(8)dy - sinx, yx 1 dx x，一、2xy xsin x ey 3y 4y 0, y(0) 0, y (0)54、求一曲線，這曲線過點(diǎn)（0, 1）,且它在點(diǎn)（x, y）處的切線斜率等于 x y。x5、試求y x過點(diǎn)（0, 1）,且在此點(diǎn)與直線 y 1相切的積分曲線26、一曲線通過點(diǎn)（2

25、,3）,它在兩坐標(biāo)軸間的任意切線線段均被切點(diǎn)所平分，求這條曲線。19607、在理想情況下，人口變更的規(guī)律是：在任何時間，人口增長率與人口數(shù)成正比。若一城市人口在 年為10000,在1970年為12000,求1980年的人口數(shù)。東北農(nóng)業(yè)大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院高等數(shù)學(xué)參考答案(09最新)第一章 函數(shù)1、填空題2,11,2二、選擇題(B )(D)x 03、解:x 2 02 x 14、解:f(2 x) f(2) x2 x 2 (2 x) 1 (22 2 1)x5、解：設(shè)池底半徑為 x米，總造價為y元a 2502 r22 r)a( r250、一),r r6、解：設(shè)圓錐體積為V ,圓形鐵片半徑為 R,則 TOC

26、 o 1-5 h z 圓錐底面半徑rR,高h(yuǎn)VR27Jr2R1c R(0,2 )所以圓錐體積V - r2h .4324 2第二章極限與連續(xù)1、填空題x 3 一水平無窮小(5)同階(6)(10)(1)解:2x2x2x 1(2)解:lim16x 85x 4無限增大09sin3x(1)A(2)B(3)D(4)D(5)(6)AC(8)D(9)D(10)(11)C(12)B(13)C(14)B(15) C2、選擇題(16) B(17)B(18)BDC123、計算x lim 一 x 2 x x(3 )解:limx解:limx 0tan 3x2xlimxx 1 2x3x lim x 0 2x(5)lim (

27、1x2)x x(6) limxsin 4x0 . x 2 2解:limxsin 4x斛：limx 0 x 2 . 2limxsin 4x . x 22lxm04x x 22lim (x 1 x(8) limxcosx解:lxm12x2 1時,limx 1cosx 1, cos x為有界函數(shù)lim有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小(9)解:lxm1(1lxm1(11)解:(13)limxcosx 0 0 xlim1lim (1x 0lxm0limx 0lxm1(解：lim1(10)則x sin 2xx sin 5xx sin 2x1 lim x o1lim 1x olim 1x osin 5xsi

28、n 2xxsin5xsin 2xxsin 5x11 3x(12) limx2 x x3x2 113xlxm1解:limx2x x-42x 3x 11 3xlimx1 1/ x3 1/x2(14)limx解：limxlimx2x 12x 1x 1 5 2x 1-5x 112.專業(yè)資料.lxm1(15) limx 0 x 2-2 x x2 cn 1x sin- xsin x2.1x sin- xsin x10 e(16) lim解：limxarctan xarctan x1 sin 一x. x .lim limx 0 sin x x 01lim xsin 一1xsin 一 x時,x 00時,xx為

29、無窮小,，,1 ，1 , sin 為有界函數(shù)xarctan x因此limxarctanx為有界函數(shù)arctan x 0因此lim)2 . 1 x sin-xsin x.1clim xsin 04、求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出其類型。解：函數(shù)y由于lxm1由于xim2(2)解:3x3x 21lxm1一在x211,x2處無定義，必為間斷點(diǎn)。1 ,故x 1為可去間斷點(diǎn)，屬于第一類間斷點(diǎn)。3xlimx 2 x 2,故x 2為無窮間斷點(diǎn)，屬于第二類間斷點(diǎn)。函數(shù)y1. 八cos-在x 0無定義，必為間斷點(diǎn)。 x1 cos- 0 x間斷點(diǎn)。lim解:函數(shù)y2 x lim x 1 x3.1 -lim cos均不

30、存在， x 0是函數(shù)x 0 x2 x3 x1一一 一 ， y cos一的振蕩間斷點(diǎn)，屬于第二類x1一在11無定義,必為間斷點(diǎn)lim 2x 1 x2 x 1.專業(yè)資料.1是函數(shù)y1 ，、-的可去間斷點(diǎn)，屬于第一類間斷點(diǎn)。1由于.1lim x 1_1 ex 10,limx 1，1x1ex 11是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn),屬于第一類間斷點(diǎn)。5、 f(x)x) f(x)x11f x x f x xxx 斛：lim lim x 0 xx 0 x1 lim x 0 x x x12 x第三章導(dǎo)數(shù)與微分1、填空題( 1,1)/c、14y x -33可導(dǎo)244(2x 1)6(3x 1)2x .2 dx2 x一99y10

31、0( x 50)y2dy2Aydx2 x22、選擇題BCBDBBD3、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dydx(1) 解：y sinxln(x8 1)8x7cosx- x 110323 x解：yxcos . 1 x2 x2(3)解:y2 xcosxcosxsin xln x(4)解：y2cosx sin x ex cosx 3ex sinx(1 ex)2 y x a解：y (a2 x2)3sec21y e x1 21 sec2：解： y2-2 (sec-) tan- exx x2(5) y ln (secx)解：y 2tan x ln(secx)2(7) y arccos 1 x解：y 2(1 x),1 (1

32、 x)4一1、(9) y ln(sin ) x11斛：y -cot x x(11) Vx Jy Ja ,求看解：兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得：y arcsin 1 3x解：y 2、3x(1 3x)x 1t t dy ,求一y . 1 t dxdy d 1 t. 1 tdx d % 1 t. 1 t解得 y y a x 1 ,a, x xx從而，y (1 Ja)a=x 2x xx acost + dy(13)，求。y bsin t dx(14)y3 3y 2x 0有 dy db sin t b解：- -dx da cos x a解：兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得；3y2 y 3y解得，y2sin xy (tan x)解：

33、兩邊取對數(shù)得：ln y sin xln tan x兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得：y(tan x)cosx In tanx sin xytan x解得， y (cosx In tan x secx)(tan x)sinxdy 3 TOC o 1-5 h z dx6t2dy 6(3x 2)62-dx (3x 2)23x 2(18)dyYdx (1 3t )dt 1 3t4、求下列函數(shù)的微分(2) y1 cosx1 sin x(1) y 5 x x 5 5.5解：dyJ5 xx 5 ln 5)dx1 cosx解：dy dx1 sin xsin x cosx 1 .-dx(1 sin x).3x2.(3)解：dy

34、 dx x3 25、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)d2yd 2x(1)解：dy 2xln2dx2xd2y dx2x22 (In 2)(2)解：y(x .1 x2)2x.(16、解:dydxx23 x )d (t arctan t)d(ln(1 t2)2 x2 x_1_-1-x27、解：曳 ,y()1dx y 2切線方程為：y x -p2，、一3法線方程為：y x 3 p2第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1、填空題(1Q)； (0,)(3)(4)2、選擇題(1) D (2) B A(4) A (5) C(6)C (7)3、求極限解:lim2x33x(2)解:解:limex 0sin x ln xelim0ln x

35、cscxlimex 01xcscxcot xlimx 0sin xtanxx 11eexlim x 0 12xlim1e三(4) x(4)x(4)解:解:limex 0ln cot xln xlimx 0e1 ,2 、(csc x) cot x1xarctanxlim x1limxlimex 01e(6)解:xtan x sin2 x11 x211-2 xlimxlimxsin xZT；22 tan x sec3cos x解:(8)解:limxn 1 nxx elimxn(n 1)xn 2(9)解:limx1exlimxn!n xelimx1(10)（其中elimx4、解：函數(shù)y 3xx3的定

36、義域是6x3x23x(x 2),令 y,0),y0,函數(shù)單調(diào)遞減(0,2), y0,函數(shù)單調(diào)遞增(2,),y0,函數(shù)單調(diào)遞減1-一sinx x1 -sinxx解:limxlimx0,求得駐點(diǎn)為xarc cot x1-2x0,x5、解：y3ax2 2bx, y 6ax 2b因?yàn)辄c(diǎn)(1,3)是曲線的拐點(diǎn)，而且曲線無 y無意義的點(diǎn)y 3 a b 3所以，即y (1) 06a 2b 03a -所以 2b 926、解：函數(shù) y arctanx x的定義域是，2x一_y 2，令y 0,求得駐點(diǎn)為 x 01 xx (,0), y 0,函數(shù)單調(diào)遞減x (0,), y 0,函數(shù)單調(diào)遞減所以在 ， 上函數(shù)單調(diào)遞減

37、，無極值7、解：函數(shù)y 2x3 3x2的定義域是y 6x2 6x 6x(x 1),令 y 0,求得駐點(diǎn)為 x 0, x 1x (,0), y 0,函數(shù)單調(diào)遞增x (0,1), y 0,函數(shù)單調(diào)遞減x (1,), y 0,函數(shù)單調(diào)遞增x 0是極大值點(diǎn)，極大值為y(0) 0 TOC o 1-5 h z x 1是極小值點(diǎn)，極小值為y(1)18、解：函數(shù)y 3x 5x2 x3 5的定義域是，2y 3 10 x 3x , y 6x 105520令 y 0 ,求得 x , f () 33275x (, -), y 0,曲線是凸的3x (5,), y 0,曲線是凹的35 20 拐點(diǎn)是(5 20)3,27,9

38、、解：y4x30,求得駐點(diǎn)為x 0y(0) 0,y( 1) In 2, y(2) ln17所以最大值是y(2)ln17,最小值是y(0) 010、解：y 3x2 2ax b, y6x 2a_ y (1) 06 2a 0因?yàn)楹瘮?shù)有拐點(diǎn)(1 , 1),所以 y ( ) ，即 y(1)11 a b c 1因?yàn)樵趚 0處有極大值1,所以y(0) 0,即b 0,帶入上式得a 3b 0c 111、定義域?yàn)?，)2y 6x 3x 3x(2 x) 0, x 2, x 0(,0), y 0, f(x)為單調(diào)減函數(shù)(0,2), y 0, f(x)為單調(diào)增函數(shù)(2,), y 0, f(x)為單調(diào)減函數(shù)12、解：設(shè)寬

39、為x米，則長為(20 2x)米，5米。10面積 S(x) x(20 2x) 2x2 20 x, x (0,10)S (x) 4x 20,令 S(x) 0,駐點(diǎn)為 x 5S (5)4 0 ,開區(qū)間內(nèi)唯一駐點(diǎn)取得最大值，此時小屋的長為13、解：根據(jù)題意可知，容積 V x(2a 2x)2, x (0,a)V (x) (2a 6x)(2a 2x),令 V(x) 0,求得駐點(diǎn)為 x a, x a (舍去) 3aa ,x 一是開區(qū)間內(nèi)唯一駐點(diǎn)，由實(shí)際問題可知容積有最大值，所以在邊長x 一時33容積最大。14、解：設(shè)底邊長為x,2x。高為h2xxh 72,h 2 2xs4x22x72c5 2x 2x2272

40、2x24x2216 xs8x2162 x0,s(x)0,x3,s(3)0所以x=3時取最小值，各邊長分別為3,4,6第五章 積分1、填空題 TOC o 1-5 h z 2sin(2x 1)(2) 0(3) -e2xe , dex-27 dx：7X2arctane C1 e1 (e )(4) 02.一1.4、 sin2x (6) 0 (e4 e)222、(1) B (2) C (3) A (4) CA (7) A (8) A (9) C32133、(1) cosx dx (1 sin x)dsinx sinx -sin x C3sin , tdt 2sin、,td t 2cos . t C.1(

41、3dx 2 ；d (1, x) 2 ln(1 x x) C1nx213dx ln xd In x In x Cx3x3_ dx 2x 1 t 1 (t2 5)dt 2x 1 26sin . xdx x t 2 tsintdt 2 td cost5t 1、 5 5t Ct 2x 1 1 (2x 1)3 5.2x 1 C2 622tcos 2sint C t Vx 2jxcos/x 2sinjx C(8) t 、, x 1 x t2 1 dx 2tdt- x 1e dxet 2tdt2 tdet2(tett= jx+r et) C 2ex1(.x 1 1) C(9)In 2xdx x In2 x2

42、xd In x22xln x 2 In xdx xln x 2(xln xxd In x)x 、x 1 x,2x In x 2x In x 2x C2x ,x arctanxdx arctan x222x .xd(arctan x) arctan x222 x22x .arctan x211 、，x2(1 7)dx arctanx21 x221arctan x) CLdx x(10 )(11)(12 )(13 )(14 )(15 )(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22 )xsin2 xdxx(1 cos2x)dxxd sin 2x)1-(xsin 2x4sin 2xdx)1(

43、xsin 2x41一 cos2x)23 x-2- x-dx 1(x-)dx 11-2x2-d(x2 1)112ln(x21) Cx2 3嚴(yán)3.x(t5 t2)dt3t 141333 3x 3dxarctanx3arcsinx3xexdxx(3e) dxx xC1 ln 332 .3 2xdx12x)3(33 32x)25 cosx , dx0 1 sin x11 sin-d(1 xsin x)ln(1sin x)|(2ln 2令 t . 1 xrr .e dx02tetdt2tetdt 2(tett 1 e )Iocosx cos3 xdx2sin x vcosxdx02sinxcosxdx2

44、、cosxd cosx0 xln e e|i x |ieln xdx121(x1一) x2dx：(x212 2)dx x_ 22x) |i291dx0(1x)dx21 (x 1)dx (x|0(23)原式=x2d(1x2)(112)3(13)24、dxx2X|i廣義積分發(fā)散(2)xe2x ,dx1(xe 22x Io2x ,e dx)1-e42x|0(3).xe .dx2e xd(、X)2e x|o(4)第六章4x 8dxdx(x 2)2 4 21 /+ x 2-(arctan )|-222定積分的應(yīng)用1、解：因?yàn)閽佄锞€一 一 1、，y 2x,所以 y () 1 ,22. 1 1x2在點(diǎn)(一，

45、一)處的法線方程為2 42、3、八，1、1)(x 1)即y求得拋物線與其法線的交點(diǎn)為13圖形面積S 23( x 324解：求得交點(diǎn)為(2,8)(fx2)dx繞x軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積為2 6 .128Vx x dx 07繞y軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積為Vy 22 82y 3dx645解：求得交點(diǎn)(1,2), ( 1,2)2沔 V?)dy 8f1 x 2 (2-)2-d(x-2)123494(21)4、解:求得交點(diǎn)為(0,0), (1,1)Vy1/ 240(y y )dy15第七章 多元函數(shù)微分學(xué)1、填空題(1)x,y(2)母線為z軸,y24 、匹 3 a.y 為準(zhǔn)線的圓柱面0(3)(4)2

46、 e dx 1e dy(5)極大值，極小值;(6)xy ln xx2、選擇(1) B (2)y 1 yxC (3)(4) D3、(1)fxx,y丫2，fx3,4fy x, y 1y,x2.1，fx 3,4-23x y3 zy ,一 y23xy2y y2-yx(4)ln zxyyln 1xy2x x22xz一 ln y2y2 2y1 xy1 xy1 xyy In1 xyxzx, x yyx y(5) -z1nxyx4、( 1)因?yàn)?exsin x yxxz xe cos x y ,e cos x y 所以 y22z “x z2 2e cos x y , -2e sin x yxy2 z xx .

47、e cos x y e sin x y , x y2z -xe cos x yy xx .e sin x y2 z 2z 23 z 一 3x2 6xy, 3x2 4y3, xyx2 z6x 6y,-2 y12y2,6x(3)2 x y2，x y1 z 12z2，2，21 x y y 1 x y xx1z一, yy(2)1, z . z .dz -dx dy x ydxdy(3) 4x 3y , 3x 2 y xy衛(wèi) cosA 烏)衛(wèi) cosd)x x x y x xdz(4x 3y)dx ( 3x 2y)dydzy y ,1y,cos dx - cos dyx x x xsin xcos y

48、xcos ysin x2 ycosx ycos x，、zzuzv16、( 1) cos yxuxvxvzzuzv1一 一 一 x sin yyuyvyvucosx vxsiny xcosy2ycosx y cosx(2)zuzv-,12u ln v y23 v2x號 ln(3x 2y) y3x2uxvx2 -_y (3x 2y)zz v2u ln v ( v y方)2-(2)v2x2 .-ln(3x 2y) y2x2y2(3x 2y)7、解:z 2tsint3dz32sin t dt2tcost3 (3t2)2sint36t3cost38、(1)fx x,yfy x,y2x2y駐點(diǎn)0,0，fx

49、x x,y2, fxyx,y0, fyy x,y 2在0,0處,ACB2,于是此函數(shù)不存在極值。(2)2x得駐點(diǎn)1,02yf xx2, fxy1 , fyy故在點(diǎn)1,0處,2AC B25 0,A 2 0故函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)1,0處有極小值，極小值為 f(1,0)9、解：設(shè)長方體的長,寬，高分別為 x, y,z依題意，xyz VxyS xy 2( xzyz)2V 2Vxy2V2 x2V-2y求得駐點(diǎn)2V,3/2V),因駐點(diǎn)唯一，故當(dāng) x y 32V, z第八章二重積分1、改變下列二次積分的次序:(1)10dyeey f (x, y)dx(2)(3)1dy0 J10dy1 y2f (x, y)dx1 y2 yf (x, y)dxy(4)2dx010 x f (x, y)dy(5)xdx -f (x, y)dyx4dx2 x一 f (x,y)dy x2、解:,2(x y)dxdyD10dy匕2y2 (x y)dx331403、解:(x6y)dxdy0dyy0 (x 6y)dx13 H72 ydy13 34、解:(x2y2)dxdy1dx02x(x2)dy110