2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(山東卷)教師-試卷真題、答案及詳細(xì)解析

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(山東卷)(本試卷共4頁,22小題,滿分150分,考試用時120分鐘)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合A=x|1x3,B=x|2x4,則AB=()A.x|2x3B.x|2x3C.x|1x4D.x|1x4答案C解析(數(shù)形結(jié)合)由數(shù)軸可知所以AB=x|1x4,故選C.2.2-i1+2i=()A.1B.-1C.iD.-i答案D解析2-i1+2i=(2-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2-i-4i-21+4=-5i5=-i,故選D.【解題技巧】 復(fù)數(shù)除法的實質(zhì)是分母實數(shù)化,

2、運算后只需將i2換成-1即可,對于復(fù)數(shù)的運算問題,要注意掌握運算法則和有關(guān)概念.3.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學(xué)只去1個場館,甲場館安排1名,乙場館安排2名,丙場館安排3名,則不同的安排方法共有()A.120種B.90種C.60種D.30種答案C解析甲場館安排1名有C61種方法,乙場館安排2名有C52種方法,丙場館安排3名有C33種方法,所以共有C61C52C33=60種方法,故選C.4.日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點A處的水平面是指過點A

3、且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點A處的緯度為北緯40,則晷針與點A處的水平面所成的角為()A.20B.40C.50D.90答案B解析由題意知,如圖,圓O為赤道所在的大圓.圓O1是在點A處與赤道所在平面平行的晷面.O1C為晷針?biāo)诘闹本€.直線OA在圓O所在平面的射影為直線OB,點B在圓O上,則AOB=40,COA=50.又CAO=90,OCA=40.晷針與點A處的水平面所成角為40,故選B.5.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué)生喜歡足球,82%的學(xué)生喜歡游泳,則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是

4、()A.62%B.56%C.46%D.42%答案C解析設(shè)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生比例數(shù)為x.由維恩圖可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故選C.6.基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:I(t)=er t描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln 20.69)()A

5、.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案B解析由R0=3.28,T=6,R0=1+rT得3.28=1+6r,r=2.286=0.38,e0.38t=2,即0.38t=ln 2,0.38t0.69,t0.690.381.8(天),故選B.【知識拓展】 解決與實際問題有關(guān)的數(shù)學(xué)問題,特別需要注意的是提煉題意,并對數(shù)學(xué)知識加以應(yīng)用.7.已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點,則APAB的取值范圍是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)答案A解析如圖,以AB所在的直線為x軸,AE所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1

6、,3),C(3,3).設(shè)P(x,y),則AP=(x,y),AB=(2,0),APAB=2x+0y=2x.-1xn0,則C是橢圓,其焦點在y軸上B.若m=n0,則C是圓,其半徑為nC.若mn0,則C是兩條直線答案ACD解析mx2+ny2=1,x21m+y21n=1.mn0,1n1m0,C是焦點在y軸上的橢圓,A正確;m=n0,x2+y2=1n,即C是圓,r=nn,B錯誤;由mx2+ny2=1,得x21m+y21n=1,mn0時,有ny2=1,得y2=1n,即y=nn,表示兩條直線,D正確,故選ACD.10.右圖是函數(shù)y=sin(x+)的部分圖像,則sin(x+)=()A.sinx+3B.sin3

7、-2xC.cos2x+6D.cos56-2x答案BC解析由題圖可知,T2=23-6=2,T=,2=,=2,A錯誤;y=sin(2x+).又過點23,0,sin223+=0,即43+=2,=23.y=sin2x+23=sin-2x+23=sin3-2x,故B正確;y=sin3-2x=sin2-6+2x=cos2x+6,C正確;cos56-2x=cos-2x+6=-cos2x+6,D錯誤,故選BC.11.已知a0,b0,且a+b=1,則()A.a2+b212B.2a-b12C.log2a+log2b-2D.a+b2答案ABD解析a+b=1,(a+b)2=1=a2+b2+2ab2(a2+b2),a2

8、+b212,故A正確;a+b=1,a0,b0,a+1=2a+bb,a-b-1,2a-b2-1=12,故B正確;a+b=12ab,ab14,log2a+log2b=log2ablog214=-2,故C錯誤;a+b=12ab,2ab1,(a+b)2=a+b+2ab2,a+b2,故D正確,故選ABD.12.信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機變量X所有可能的取值為1,2,n,且P(X=i)=pi0(i=1,2,n),i=1npi=1,定義X的信息熵H(X)=-i=1npilog2pi.()A.若n=1,則H(X)=0B.若n=2,則H(X)隨著p1的增大而增大C.若pi=1n(i=1,2,n),則

9、H(X)隨著n的增大而增大D.若n=2m,隨機變量Y所有可能的取值為1,2,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,m),則H(X)H(Y)答案AC解析若n=1,則p1=1,H(X)=-p1log2p1=-log21=0,A正確;若n=2,令p1=13,p2=23或p1=23,p2=13,均有H(X)=-13log213+23log223,B錯誤;H(X)=-i=1n1nlog21n=-1nlog21n+1nlog21nn個=-n1nlog21n=-log21n=log2n,H(X)隨n的增大而增大,C正確;H(X)=-i=12mpilog2pi=-i=1m(pilog2pi+p

10、2m+1-ilog2p2m+1-i),H(Y)=-i=1m(pi+p2m+1-i)log2(pi+p2m+1-i).因為(pi+p2m+1-i)log2(pi+p2m+1-i)=pilog2(pi+p2m+1-i)+p2m+1-ilog2(pi+p2m+1-i)pilog2pi+p2m+1-ilog2p2m+1-i,所以H(X)H(Y),故D錯誤.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.斜率為3的直線過拋物線C:y2=4x的焦點,且與C交于A,B兩點,則|AB|=.答案163解析如圖所示,直線與拋物線交于A,B兩點,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),準(zhǔn)線方程為x

11、=-1,作AA,BB垂直于準(zhǔn)線,交準(zhǔn)線于點A,B,由拋物線的定義知|AA|=|AF|,|BB|=|BF|.|AB|=|AF|+|BF|=|AA|+|BB|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p.由y=3(x-1),y2=4x,得3x2-10 x+3=0,x1+x2=103,|AB|=103+2=163.14.將數(shù)列2n-1與3n-2的公共項從小到大排列得到數(shù)列an,則an的前n項和為.答案3n2-2n解析數(shù)列2n-1的項均為奇數(shù),數(shù)列3n-2的所有奇數(shù)項均為奇數(shù),所有偶數(shù)項均為偶數(shù).并且顯然3n-2中的所有奇數(shù)均能在2n-1中找到,所以2n-1與3n-2的所有公共項就是3n-2的所有奇數(shù)項,

12、這些項從小到大排列式的新數(shù)列an為以1為首項,以6為公差的等差數(shù)列.所以an的前n項和為Sn=n1+n(n-1)26=3n2-2n.15.某中學(xué)開展勞動實習(xí),學(xué)生加工制作零件,零件的截面如圖所示.O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心,A是圓弧AB與直線AG的切點,B是圓弧AB與直線BC的切點,四邊形DEFG為矩形,BCDG,垂足為C,tanODC=35,BHDG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直線DE和EF的距離均為7 cm,圓孔半徑為1 cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.答案52+4解析作OMCG交CG于點M,APOH交OH于點P,AQCG交CG于點Q,圖略.設(shè)OM=3x,則DM=5

13、x,OP=MQ=7-5x,AP=7-2-3x=5-3x,tanAOP=APOP=5-3x7-5x.又AOP=HAP,tanHAP=QGAQ=12-77-2=1=tanAOP,5-3x7-5x=1,解得x=1.AOP=4,AP=2,OA=22,S陰=S扇AOB+SAOH-1212=12-4(22)2+122222-12=3+4-2=52+4.16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2,BAD=60.以D1為球心,5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為.答案22解析如圖所示,B1C1D1=B1A1D1=BAD=60且B1C1=C1D1,B1C1D1為等邊三角形.B1D1=2.設(shè)點

14、O1是B1C1的中點,則O1D1=3,易證D1O1平面BCC1B1,設(shè)P是球面與側(cè)面BCC1B1交線上任意一點,連接O1P,則O1D1O1P,D1P2=D1O12+O1P2,即5=3+O1P2,O1P=2.即P在以O(shè)1為圓心,以2為半徑的圓上.取BB1,CC1的中點分別為E,F,則B1E=C1F=O1B1=O1C1=1,EF=2,O1E=O1F=2,O1E2+O1F2=EF2=4,EO1F=90,交線EPF=1422=22.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)在ac=3,csin A=3,c=3b這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,若

15、問題中的三角形存在,求c的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.問題:是否存在ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sin A=3sin B,C=6,?注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.解方案一:選條件.由C=6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理,得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由ac=3,解得a=3,b=c=1.因此,選條件時,問題中的三角形存在,此時c=1.方案二:選條件.由C=6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理,得a=3b.于是3b2

16、+b2-c223b2=32,由此可得b=c.所以B=C=6.由A+B+C=,得A=-6-6=23.由csin A=3,即csin23=3,所以c=b=23,a=6.因此,選條件時,問題中的三角形存在,此時c=23.方案三:選條件.由C=6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理,得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由c=3b,與b=c矛盾.因此,選條件時,問題中的三角形不存在.18.(12分)已知公比大于1的等比數(shù)列an滿足a2+a4=20,a3=8.(1)求an的通項公式;(2)記bm為an在區(qū)間(0,m(mN*)中的項的

17、個數(shù),求數(shù)列bm的前100項和S100.解(1)設(shè)an的公比為q.由題設(shè)得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),q=2.因為a1q2=8,所以a1=2.所以an的通項公式為an=2n.(2)由題設(shè)及(1)知b1=0,且當(dāng)2nm6.635,故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān).20.(12分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:l平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點,求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.解(1)因為PD底面ABCD,所以PDAD.又底面ABC

18、D為正方形,所以ADDC.所以AD平面PDC.因為ADBC,AD不在平面PBC中,所以AD平面PBC,又因為AD平面PAD,平面PAD平面PBC=l,所以lAD.所以l平面PDC.(2)以D為坐標(biāo)原點,分別以DA,DC,DP的方向為x軸,y軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.由PD=AD=1,得D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),則DC=(0,1,0),PB=(1,1,-1).由(1)可設(shè)Q(a,0,1),則DQ=(a,0,1).設(shè)n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,則nDQ=0,nDC=0,即ax+z=0,y=0.可取n=(-1,

19、0,a).所以cos=nPB|n|PB|=-1-a31+a2.設(shè)PB與平面QCD所成角為,則sin =33|a+1|1+a2=331+2aa2+1.因為331+2aa2+163,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時,等號成立,所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為63.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)當(dāng)a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;(2)若f(x)1,求a的取值范圍.解f(x)的定義域為(0,+),f(x)=aex-1-1x.(1)當(dāng)a=e時,f(x)=ex-ln x+1,f(1)=e-1,曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直線y=(e-1)x+2在x軸,y軸上的截距分別為-2e-1,2.因此所求三角形的面積為2e-1.(2)由題意a0,當(dāng)0a1時,f(1)=a+ln a1.當(dāng)a=1時,f(x)=ex-1-ln x,f(x)=ex-1-1x.當(dāng)x(0,1)時,f(x)0.所以當(dāng)x=1時,f(x)取得最小值,最小值為f(1)=1,從而f(x)1.當(dāng)a1時,f(x)=aex-1-ln x+ln aex-1-ln x1.綜上,a的取值范圍是1,+).22.(12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2