語音信號數(shù)字處理：5 語音信號的同態(tài)分析

1、第5章語音信號的同態(tài)分析5.2廣義疊加原理5.1概述 5.4復(fù)倒譜和倒譜5.3卷積同態(tài)系統(tǒng) 5.5類語音信號的復(fù)倒譜分析5.6復(fù)倒譜的計算方法5.7語音信號的倒譜分析第5章語音信號的同態(tài)分析5.1概述語音的數(shù)學(xué)模型：由準(zhǔn)周期脈沖（濁音）或白噪聲（清音） 激勵一個線性時變系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出。時變性：在一幀內(nèi)認(rèn)為是不變的。一幀語音信號 = 激勵源 (卷積) 線性時不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)語音分析的目的：將激勵源與線性時不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)分 開來分別進(jìn)行研究（即解卷積問題）。 激勵源：區(qū)分清音和濁音（濁音時還應(yīng)確定基音頻率）。 線性時不變系統(tǒng)：了解聲道 特性、諧振參數(shù)。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.1概述兩類

2、解卷積算法： 參數(shù)解卷：為線性系統(tǒng)建立模型，用估計的模型參數(shù)表示 。 線性預(yù)測分析就屬于參數(shù)解卷算法。 非參數(shù)解卷：無需建立線性系統(tǒng)模型的一類方法。 同態(tài)濾波就是其中的一種技術(shù)。同態(tài)濾波是一種非線性濾波，服從廣義疊加原理。分離非加性組合信號（如乘性、卷積性組合），常采用同態(tài)濾波技術(shù)。本章內(nèi)容：廣義疊加原理、卷積同態(tài)系統(tǒng)， 復(fù)倒譜分析及其應(yīng)用第5章語音信號的同態(tài)分析 5.1概述第5章語音信號的同態(tài)分析5.2廣義疊加原理線性系統(tǒng)：是由疊加原理定義的，同態(tài)系統(tǒng)：由廣義疊加原理來定義。 疊加原理是廣義疊加原理的特例。廣義疊加原理： H ：系統(tǒng)變換； ：系統(tǒng)的輸入矢量之間的運(yùn)算，（加法、乘法、卷積等）

3、： 標(biāo)量與輸入矢量之間的運(yùn)算，（乘法、冪、開方等） 和：系統(tǒng)的輸出矢量空間中系統(tǒng)的相應(yīng)運(yùn)算。 若下式成立，稱系統(tǒng)H 滿足廣義疊加原理。定義：滿足廣義疊加原理的系統(tǒng)為同態(tài)系統(tǒng)。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.2廣義疊加原理分類：同態(tài)系統(tǒng)以輸入、輸出矢量空間中的運(yùn)算來分類。 例：輸入運(yùn)算、輸出運(yùn)算的同態(tài)系統(tǒng)稱為,同態(tài)系統(tǒng)本章只討論輸入和輸出運(yùn)算相同的同態(tài)系統(tǒng)， 例：卷積同態(tài)系統(tǒng)，輸入和輸出運(yùn)算都為卷積運(yùn)算。線性系統(tǒng)：同態(tài)系統(tǒng)的特例。 ,為矢量加法運(yùn)算， ,為標(biāo)量與矢量乘。圖5.1：輸入運(yùn)算,、輸出運(yùn)算,的同態(tài)系統(tǒng)框圖。系統(tǒng)變換H ：從輸入到輸出的矢量空間的代數(shù)線性變換。線性矢量空間理論應(yīng)用于同態(tài)系統(tǒng)

4、，輸入、輸出運(yùn)算需滿足矢量加法和標(biāo)量乘法的代數(shù)公設(shè)。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.2廣義疊加原理圖 5.1同態(tài)系統(tǒng)的一般表示x(n) y(n) H 圖5.2：同態(tài)系統(tǒng)的規(guī)范形式。同態(tài)系統(tǒng)表示成三個子系統(tǒng)（皆同態(tài)系統(tǒng)）級聯(lián)。服從下列的廣義疊加原理：式中， 第5章語音信號的同態(tài)分析 5.2廣義疊加原理圖 5.2同態(tài)系統(tǒng)的規(guī)范形式x(n) y(n) + + + + D L D-1 運(yùn)算的特征系統(tǒng)運(yùn)算的特征系統(tǒng)的逆系統(tǒng) 線性系統(tǒng)，決定該同態(tài)系統(tǒng)的特性.設(shè)計的重點 第5章語音信號的同態(tài)分析5.3卷積同態(tài)系統(tǒng)卷積同態(tài)系統(tǒng)：運(yùn)算和為卷積運(yùn)算的同態(tài)系統(tǒng)。圖5.3：卷積同態(tài)系統(tǒng)的規(guī)范形式。將卷積組合信號分離，分

5、別處理后，再組合成卷積運(yùn)算。組成：卷積特征系統(tǒng)（固定特性） 線性系統(tǒng)（與系統(tǒng)性能有關(guān)） 卷積特征系統(tǒng)的逆系統(tǒng)（固定特性）第5章語音信號的同態(tài)分析 5.3卷積同態(tài)系統(tǒng) 圖5.3卷積同態(tài)系統(tǒng)的規(guī)范形式x(n) y(n) + + + + D L D-1 卷積特征系統(tǒng)（固定特性）（圖5.4a）：將卷積運(yùn)算變?yōu)榧臃ㄟ\(yùn)算，即：式中， X1(z), X2(z) 分別為x1(n), x2(n)的z變換； 分別為 ln X1(z), ln X2(z)的反z變換。作用：將卷積運(yùn)算組合信號轉(zhuǎn)換成它們的復(fù)倒譜之和。 （復(fù)倒譜的定義見下節(jié)）第5章語音信號的同態(tài)分析 5.3卷積同態(tài)系統(tǒng) 圖5.4a卷積特征系統(tǒng)構(gòu)成圖x(n

6、) * + + + Z ln Z-1 線性系統(tǒng) L ：依應(yīng)用領(lǐng)域的不同要求和復(fù)倒譜 的特點設(shè)計： 或加強(qiáng)其中之一，削弱另一個信號； 或取出其中之一同時濾掉另一個信號。對 進(jìn)行線性濾波，即：式中， 經(jīng)線性系統(tǒng)L 濾波后的輸出。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.3卷積同態(tài)系統(tǒng) 卷積特征系統(tǒng)的逆系統(tǒng)（固定特性） （圖5.4b）：將加法運(yùn)算變?yōu)榫矸e運(yùn)算，即：式中， 為 的z變換； 為 的反z變換。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.3卷積同態(tài)系統(tǒng) 圖5.4b卷積逆特征系統(tǒng)的構(gòu)成圖 x(n)+ + + *Z exp Z-1 介紹兩種卷積同態(tài)系統(tǒng)的典型應(yīng)用實例： 語音信號分析 解混響。語音信號分析 語音等于激勵源與

7、聲道沖激響應(yīng)的卷積（數(shù)字模型）： 分析目的：由語音信號估計激勵源和聲道沖激響應(yīng)參數(shù)。 卷積同態(tài)系統(tǒng)適于這種分析。 解混響 混響環(huán)境中錄音，記錄下有用信號和若干回波信號，即： 式中，nk 第 k 個回波相對于有用信號 s(n) 的時延； ak 第 k 個反射系數(shù)； 回響特性。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.3卷積同態(tài)系統(tǒng) 僅討論疊加一個回波信號的簡單情況， 相關(guān)表達(dá)式： 若 n1 小于 s(n) 的持續(xù)時間，采用卷積同態(tài)濾波器去掉回波。 將上式代人模型式，然后兩邊求 z 變換后再取對數(shù)，得： 兩邊再求反 z 變換，最后得： 式中， 濾除回波，設(shè)計梳形濾波器（特性如圖5.5所示）經(jīng)梳形濾波器過濾，留

8、下信號 ；經(jīng)圖5.4的卷積特征系統(tǒng)的逆系統(tǒng)處理，得到有用信號s(n) 。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.3卷積同態(tài)系統(tǒng) 幅度迅速衰減的沖激序列，相鄰沖激之間相隔為n1 。圖5.5梳形濾波器特性 h(n) 0 n1 2n1 3n1 n第5章語音信號的同態(tài)分析5.4復(fù)倒譜和倒譜定義： x(n) 的復(fù)倒譜（Cepstrurn）為： 時間序列的復(fù)倒譜是時間序列。實序列的復(fù)倒譜是一個實的時間序列。復(fù)倒譜：也稱為復(fù)倒頻譜或?qū)?shù)復(fù)倒譜。復(fù)倒譜的英文原文為Complex Cepstrum，Cepstrurn是詞，由Spectrum的前四個字母倒置而成。有時，稱 所處的時域為“復(fù)倒譜域”。定義： x(n) 的倒頻

9、譜（對數(shù)倒頻譜）為 復(fù)倒譜：復(fù)對數(shù)運(yùn)算；倒譜：實對數(shù)運(yùn)算。倒譜（復(fù)倒譜）量綱：quefrency（倒頻），新詞。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.4復(fù)倒譜和倒譜注意比較復(fù)倒譜和倒譜的異同: 定義式：復(fù)倒譜 倒 譜 關(guān)系式：設(shè) 則 一個信號序列經(jīng)正、反兩個特征系統(tǒng)變換后， 復(fù)倒譜時，能還原信號序列； 倒譜時，不能還原信號序列。因計算時，丟失相位信息。復(fù)倒譜涉及兩個待解 決的理論問題， 復(fù)對數(shù)的多值性； 復(fù)對數(shù)的解析性。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.4復(fù)倒譜和倒譜復(fù)對數(shù)的多值性和解析性： x(n) 的 z 變換表示為： 因 ( k 為整數(shù))是周期函數(shù)，故有： 即：X(z) 對應(yīng)于無窮多個 。不滿足變換

10、的唯一性。解決辦法：取主值，將幅角對取模得到主值相位，即 式中， 表示對求模運(yùn)算。復(fù)倒譜式可改寫為： 上式滿足唯一性，但單位圓上不是的連續(xù)函數(shù)， 與 的解析性相違復(fù)對數(shù)的。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.4復(fù)倒譜和倒譜關(guān)于 的連續(xù)性：為使 是的連續(xù)函數(shù)，要求 X(z) 在單位圓上無零、極點。為了避免復(fù)對數(shù)的多值性，采用了主值相位ARG X(ej)，致使的連續(xù)性得不到保證?？稍诶杪嫔?，重新定義復(fù)對數(shù)，幅角在（-,+ ）范圍內(nèi)可以連續(xù)取值而無間斷點。（細(xì)節(jié)參見數(shù)學(xué)教科書）第5章語音信號的同態(tài)分析 5.4復(fù)倒譜和倒譜第5章語音信號的同態(tài)分析5.5類語音信號的復(fù)倒譜分析兩類序列的復(fù)倒譜：有理 z 變

11、換序列、周期脈沖序列。5.5.1有理 z 變換序列一類序列的有理 z 變換： 在單位圓上無零極點。 A 系數(shù)，假定為正。 z-r 序列相對于時間原點的延時，假定該項可估計并去掉將上式求復(fù)對數(shù)，得：（見下頁）第5章語音信號的同態(tài)分析 5.5類語音信號的復(fù)倒譜分析單位圓內(nèi)的零點， 單位圓外的零點， 單位圓內(nèi)的極點， 單位圓外的極點， 取對數(shù)：對數(shù)展開式：利用對數(shù)展開式，改寫上式為 z 的冪級數(shù)的形式， 其系數(shù)為逆 z 變換。因此，可得與有理 X(z) 有關(guān)的復(fù)倒譜：（見下頁）第5章語音信號的同態(tài)分析 5.5類語音信號的復(fù)倒譜分析有理 z 變換序列的復(fù)倒譜： 的結(jié)論：雙邊序列，定義(-,+)。 衰減

12、序列， 隨 的增大而減小。衰減的速度至少比 快。 故， 比 更集中于原點附近（更具短時性）。用短時窗提取聲道響應(yīng)序列的復(fù)倒譜是很有效的。 最小相位序列的復(fù)倒譜是因果序列。 若 x(n) 是最小相位序列（零極點均在 z 平面單位圓內(nèi)）。此時，n0，有值（因果序列）。最大相位序列的復(fù)倒譜是反因果序列。若x(n) 是最大相位序列，（零極點均在 z 平面單位圓外）。此時， n 0，有值（反因果序列）第5章語音信號的同態(tài)分析 5.5類語音信號的復(fù)倒譜分析5.5.2脈沖序列脈沖序列:加權(quán)值變化的等間距單位抽樣脈沖串 式中，m，k，N正整數(shù)，k幅度因子；求 p(n) 的復(fù)倒譜：先進(jìn)行 z 變換若 p(n)

13、是最小相位，假定，利用對數(shù)展開式 ，上式改寫為：第5章語音信號的同態(tài)分析 5.5類語音信號的復(fù)倒譜分析對上式進(jìn)行逆 z 變換，得到復(fù)倒譜：上式是間隔 N 個樣點的單位抽樣無限長右邊序列?？勺C：非最小相位序列，其復(fù)倒譜是均勻間隔的雙邊脈沖串。結(jié)論：間隔 N 的沖激序列的復(fù)倒譜是間隔為 N 的沖激序列。 第5章語音信號的同態(tài)分析 5.5類語音信號的復(fù)倒譜分析第5章語音信號的同態(tài)分析5.6復(fù)倒譜的計算方法計算復(fù)倒譜的方法：按定義計算、最小相位序列計算、導(dǎo)數(shù)計算、遞推計算等。5.6.1按復(fù)倒譜定義計算圖5.6：用復(fù)倒譜定義計算的方框圖。 用DFT代替 z 變換。 x(n)是 N 長時間序列， X(k)

14、x(n)的N 點DFT， N 長序列， 由于 是 在一個周期內(nèi) N 個等間隔頻點的樣本， 其逆DFT（IDFT）是 以 N 為周期的延拓序列， 用 表示：第5章語音信號的同態(tài)分析 5.6復(fù)倒譜的計算方法圖5.6根據(jù)定義計算復(fù)倒譜的方框圖DFTln IDFTx(n) X(k) 由于 是 在一個周期內(nèi) N 個等間隔頻點的樣本， 其逆DFT（IDFT）是 以 N 為周期的延拓序列， 用 表示：圖5.6：計算得不到真正的復(fù)倒譜，是復(fù)倒譜周期延拓。 有混疊失真。 由于 的幅度衰減很快（至少以 的速度衰減）， 當(dāng) N 值較大時混疊失真很小。 若 N 值不夠大，可在序列后面添加零樣本， 以使 能夠較好地逼近

15、 。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.6復(fù)倒譜的計算方法按定義計算復(fù)倒譜時需注意問題： (1) DFT、IDFT常用FFT算法，以提高速度。 (2)相位展開。設(shè) 則： 幅角主值間斷，需恢復(fù)瞬時相位 （相位展開），相位展開方法很多； 瞬時相位是的連續(xù)函數(shù)， 圖5.7：主值相位疊加校正相位法。 簡單分析，可得下頁的校正方法， 推導(dǎo)過程（略）。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.6復(fù)倒譜的計算方法圖5.7相位展開原理圖 arg X(k) 0 N/2 k-3 ARG X(k) 0 N/2 k- COR (k) 0 N/2 k-2-4相位展開公式： (3)符號校正。計算復(fù)倒譜時，需判明 A 的符號。 計算式為：

16、推導(dǎo)過程（略）。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.6復(fù)倒譜的計算方法 (4)線性相位的貢獻(xiàn)有規(guī)律，為簡化計算，常將其移去。 方法：得到 X(k) 后乘以 ，即 需確定 r 值，經(jīng)推導(dǎo)可得（過程略）：綜上，按定義 計算復(fù)倒譜的 方框圖如圖5.8。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.6復(fù)倒譜的計算方法圖5.8按定義計算復(fù)倒譜的原理性框圖x(n) X(k) ARG Xr(k)DFT0.5ln IDFTXr(0)符號相位展開相位校正-2r/N確定r5.6.2最小相位序列的復(fù)倒譜的計算信號為最小相位序列時，按定義計算復(fù)倒譜法可簡化。 設(shè) x(n) 是實最小相位序列，則其復(fù)倒譜必為實因果序列。將序列 表示成偶序列和

17、奇序列之和，即：式中，由于 是因果的，即 ；因此，可得 ，式中 可由其偶序列或奇序列（包含 在內(nèi)）恢復(fù)出。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.6復(fù)倒譜的計算方法設(shè) 的Fourier變換用 表示，顯然有： 由Fourier變換性質(zhì)知， 與 構(gòu)成Fourier變換對。圖5.9：給出最小相位序列時的復(fù)倒譜計算方法。 各計算式為：式中， 第5章語音信號的同態(tài)分析 5.6復(fù)倒譜的計算方法圖5.9最小相位序列的復(fù)倒譜的計算方法x(n) X(ej) u+(n)DFTln IDFT 注：用DFT計算， 不同于 ， 因而 不同于 。差別： 由連續(xù)函數(shù)變換得到， 是由離散序列 求IDFT得到的， 是在等間隔頻率點上對

18、取樣得到， 所以， 是 以周期 N 進(jìn)行延拓結(jié)果，即 必產(chǎn)生混疊失真。由于 隨 n 值增加而迅速衰減，只要 N 值選擇得足夠大， 則混疊失真可忽略。 是近似解。 第5章語音信號的同態(tài)分析 5.6復(fù)倒譜的計算方法5.6.3復(fù)對數(shù)求導(dǎo)數(shù)計算法對定義式 的兩端求導(dǎo)數(shù)并乘以 z，得： 由時域序列的線性加權(quán)與 z 域?qū)?shù)的關(guān)系及對上式右邊用圍線積分法求逆 z 變換，得：于是有： 式中，c 是收斂域中的閉合曲線。若收斂域包括單位圓，則有：第5章語音信號的同態(tài)分析 5.6復(fù)倒譜的計算方法由于 ，令n = 0，得：綜上，計算復(fù)倒譜的步驟歸納如下：(1) 計算(2) 計算 (3) 計算 第5章語音信號的同態(tài)分析

19、 5.6復(fù)倒譜的計算方法在應(yīng)用中，x(n) 是有限長序列，要用DFT代替Fourier變換。 設(shè)x(n)是長為 N 的序列，上面的計算步驟改變?nèi)缦拢?1) 計算(2) 計算 (3) 計算算法避免了計算復(fù)對數(shù)，代價是產(chǎn)生了更嚴(yán)重的混疊失真。 可證，這種方法的計算結(jié)果是： 結(jié)論：若精確計算相位特性，用定義法計算復(fù)倒譜，性能好。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.6復(fù)倒譜的計算方法5.6.4遞推計算方法上節(jié)式 改寫成：考慮到 z 變換的關(guān)系式 及 z 域乘等于時域卷積的性質(zhì)，對上式兩邊取逆 z 變換，得：由上式可導(dǎo)出遞推計算方法。分： 最小相位序列的復(fù)倒譜遞推計算； 最大相位序列的復(fù)倒譜遞推計算 。第5章語音信號的同態(tài)分析 5.6復(fù)倒譜的計算方法最小相位序列的復(fù)倒譜遞推計算 最小相位序列為因果序列，則 代入上頁遞推式，得 結(jié)合式 ，由上式可解出：第5章語音信號的同態(tài)分析 5.6復(fù)倒譜的計算方法最大相位序列的復(fù)倒譜遞推計算 采用與最小相位的類似推導(dǎo)方法，可得最大相位的 遞推公式： 第5章語音信號的同態(tài)分析 5.6復(fù)倒譜的計算方法mi+mo+1長的有限長序列，其 z 變換為：采用類似的推導(dǎo)方法，可得遞推公式