現(xiàn)代控制理論：第1章_控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式

1、第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 1.1 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式1.2 模擬結(jié)構(gòu)圖1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立（一）1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立（二）1.5 狀態(tài)向量的線性變換1.6 從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣1.7 離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1.8 時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1.1 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式經(jīng)典控制理論：對(duì)線性定常系統(tǒng)，用輸入輸出關(guān)系的常微分方程或傳遞函數(shù)描述外部描述；實(shí)際系統(tǒng)還包含其它獨(dú)立的變量，無(wú)法描述。現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間分析法：用一組狀態(tài)變量所構(gòu)成的一階微分方程組來(lái)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，能反映全部獨(dú)立變量變化內(nèi)部描述；且可方便處理初始條件；可應(yīng)用于非

2、線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)、多輸入多輸出系統(tǒng)及隨機(jī)過(guò)程。本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容及目標(biāo)學(xué)習(xí)、理解和掌握狀態(tài)空間方法的基本概念狀態(tài)變量(狀態(tài)向量)狀態(tài)空間狀態(tài)方程輸出方程狀態(tài)空間表達(dá)式掌握狀態(tài)空間表達(dá)式的書寫形式(特別是向量矩陣形式）輸入輸出關(guān)系不同的兩類系統(tǒng) 動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)：能夠儲(chǔ)存輸入信息的系統(tǒng)。一類系統(tǒng)只要知道輸入信息即可獲得輸出信息(系統(tǒng)的輸出和輸入之間是簡(jiǎn)單的代數(shù)方程的關(guān)系）；另一類系統(tǒng)除了輸入信息外，還必須知道系統(tǒng)的一組初始信息才可獲得確定的輸出信息(輸出和輸入之間的關(guān)系通常用微分方程描述)，這組初始信息是初始時(shí)刻以前系統(tǒng)所存儲(chǔ)的輸入信息的體現(xiàn)。1、動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)、狀態(tài)變量 所謂動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)，是指完全

3、地描述(表征)系統(tǒng)時(shí)域行為的一個(gè)最小變量組，該變量組中的每個(gè)獨(dú)立的變量稱為狀態(tài)變量，通常用 xi(t) (i=1, 2, 3, .）來(lái)表示(簡(jiǎn)寫為 xi ) 。該變量組寫成向量形式時(shí)稱為狀態(tài)向量。所謂完全描述，是指如果給定這組狀態(tài)變量在初始時(shí)刻t = t0時(shí)的值，以及輸入在t t0時(shí)的時(shí)間函數(shù)u(t)，那么系統(tǒng)狀態(tài)在tt0的任意時(shí)刻的時(shí)域行為 xi(t) 都能夠完全確定。所謂最小變量組，是指可完整描述系統(tǒng)時(shí)域行為的這個(gè)變量組中的變量最少，即變量之間相互獨(dú)立(滿足線性無(wú)關(guān)條件：任一變量不能被其它變量線性表示)。系統(tǒng)建模時(shí)如何確定獨(dú)立狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)？對(duì)于n階微分方程描述的系統(tǒng)，通常只需n個(gè)獨(dú)立變量

4、即可完整描述系統(tǒng)。即：當(dāng)該組變量t = t0初始條件已知時(shí)，在給定tt0時(shí)刻的輸入作用下，便能完全確定系統(tǒng)在任何tt0時(shí)刻的行為。這n個(gè)獨(dú)立變量可選為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。(單輸入單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)存在零極點(diǎn)相消時(shí)，獨(dú)立變量少于n個(gè)，屬于特殊情況)對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其微分方程階數(shù)由獨(dú)立儲(chǔ)能元件個(gè)數(shù)決定，則：獨(dú)立狀態(tài)變量個(gè)數(shù) = 獨(dú)立儲(chǔ)能元件個(gè)數(shù)。關(guān)于最小變量組：系統(tǒng)獨(dú)立狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)若系統(tǒng)狀態(tài)包含n個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量 x1(t), ., xn(t)，將這些狀態(tài)變量作為分量寫成向量形式 x(t)，則稱為狀態(tài)向量(或狀態(tài)矢量)；2、狀態(tài)向量(狀態(tài)矢量)、狀態(tài)空間、狀態(tài)軌線狀態(tài)空間中的任一點(diǎn)代表各個(gè)狀態(tài)變量在某

5、特定時(shí)刻下的一組特定值，即系統(tǒng)在某時(shí)刻t的特定瞬時(shí)狀態(tài)x(t) 。隨著時(shí)間推移，各瞬時(shí)狀態(tài)在狀態(tài)空間中可連成一條軌跡，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)軌線，也稱為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡。以n個(gè)狀態(tài)變量 x1、x2、.、xn為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的n維空間稱為狀態(tài)空間。狀態(tài)方程是指由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組，體現(xiàn)狀態(tài)向量變化率與狀態(tài)向量x及輸入向量u的函數(shù)關(guān)系：輸出方程：體現(xiàn)系統(tǒng)輸出y與狀態(tài)向量x及輸入向量u的函數(shù)關(guān)系：狀態(tài)方程與輸出方程綜合起來(lái)即為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。3、狀態(tài)方程、輸出方程和狀態(tài)空間表達(dá)式若用 u(t) 表示系統(tǒng)輸入(信息)，用 y(t) 表示輸出(信息)，則： 狀態(tài)空間表達(dá)式是現(xiàn)代控制理論中用于描

6、述控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的重要手段，也是狀態(tài)空間分析法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 輸入u和輸出y均為標(biāo)量；各個(gè)狀態(tài)變量(分量)為x1, x2, ., xn，則狀態(tài)空間表達(dá)式可寫為（aij、bi、ci均為常系數(shù)）：A：nn維方陣，b：n1維，c：1n維，d：11維(標(biāo)量)(1)單輸入單輸出定常系統(tǒng)(SISO)狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)方程輸出方程(2)多輸入-多輸出定常系統(tǒng)（r個(gè)輸入，m個(gè)輸出）“狀態(tài)空間表達(dá)式”向量矩陣形式書寫練習(xí)：關(guān)于狀態(tài)空間表達(dá)式的幾點(diǎn)說(shuō)明系統(tǒng)的狀態(tài)與系統(tǒng)的輸出：兩者在概念上不同，前者是完全描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的一組變量信息，后者是人們希望從系統(tǒng)中獲得的結(jié)果信息。通常，輸出是關(guān)于狀態(tài)的函數(shù)(在線性系統(tǒng)中，

7、輸出常常是狀態(tài)向量中某一個(gè)分量或幾個(gè)分量以及輸入量的線性組合）。對(duì)于系統(tǒng)輸出，通常要求是物理上可以測(cè)取的，而狀態(tài)變量則不要求一定是可以測(cè)取的(而且通常是不能完全測(cè)取的)；但在工程實(shí)踐中，為便于構(gòu)造狀態(tài)反饋，應(yīng)盡量選擇物理上易于測(cè)取的變量作為狀態(tài)變量。對(duì)于僅描述輸出與輸入關(guān)系的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(以微分方程或傳遞函數(shù)描述)，其狀態(tài)變量的選取具有非唯一性。這種非唯一性是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的未知性或不確定性造成的。對(duì)同一系統(tǒng)，狀態(tài)變量選取不同，狀態(tài)空間表達(dá)式也會(huì)不同(實(shí)現(xiàn)的非唯一性)。 4、狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)框圖單輸入單輸出系統(tǒng)多輸入多輸出系統(tǒng) 信號(hào)傳遞：?jiǎn)尉€箭頭：標(biāo)量雙線箭頭：向量1.2 狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)

8、構(gòu)圖 在狀態(tài)空間分析中，采用模擬結(jié)構(gòu)圖來(lái)反映系統(tǒng)中各個(gè)狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系；模擬結(jié)構(gòu)圖是一種以方塊圖形式簡(jiǎn)化表示的系統(tǒng)框圖，可用于描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、理解模擬結(jié)構(gòu)圖的作用；2、學(xué)習(xí)和掌握模擬結(jié)構(gòu)圖的繪制方法(三種情形：根據(jù)系統(tǒng)的微分方程、狀態(tài)空間表達(dá)式或傳遞函數(shù)繪制模擬結(jié)構(gòu)圖)。積分器加法器比例器 模擬結(jié)構(gòu)圖：用于反映系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間信息傳遞關(guān)系的框圖。 系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖由積分器、加法器、比例器這三種基本部件組成。 模擬結(jié)構(gòu)圖不僅可直觀反映狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系，也是一種建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的有效方法。 單輸入系統(tǒng)(u) 一個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量(因其

9、為一階系統(tǒng)) 若取狀態(tài)變量 x1 = x，則右圖為描述系統(tǒng)狀態(tài)變量傳遞關(guān)系的一個(gè)模擬結(jié)構(gòu)圖。系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖11.根據(jù)系統(tǒng)的微分方程繪制模擬結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖2x1x2x3例2：已知系統(tǒng)高階微分方程 單輸入系統(tǒng)(u) 3個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量(3階系統(tǒng))變換為：選擇狀態(tài)變量系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖其它模擬結(jié)構(gòu)圖形式？例3：已知單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如右所示：系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖2.根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式繪制模擬結(jié)構(gòu)圖單輸入：u單輸出：y狀態(tài)變量： x1 ， x2 ， x3例4：已知某個(gè)多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如右所示：系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖兩輸入：u1，u2兩輸出：y1，y2狀態(tài)變量： x1 ， x2關(guān)于

10、模擬結(jié)構(gòu)圖的繪制方法總結(jié) 根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式或微分方程(組)繪制模擬結(jié)構(gòu)圖的步驟： (1)確定系統(tǒng)的輸入、輸出以及各個(gè)狀態(tài)變量； (2)確定積分器的數(shù)量(通常由狀態(tài)變量個(gè)數(shù)或高階微分方程的階數(shù)決定)； (3)繪制積分器，并確定各狀態(tài)變量在積分器后的位置； (4)根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式或微分方程(組)，完成其它部分(加法器、比例器、信號(hào)流等)。 微分方程模擬結(jié)構(gòu)圖：不唯一(同一系統(tǒng)，狀態(tài)變量選取方法不唯一不同選取方法下的模擬結(jié)構(gòu)圖可能不同)； 狀態(tài)空間表達(dá)式模擬結(jié)構(gòu)圖：唯一(狀態(tài)變量已確定，故模擬結(jié)構(gòu)圖只有唯一形式)。 如何根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)繪制模擬結(jié)構(gòu)圖？對(duì)于一維標(biāo)量微分方程：若取系統(tǒng)

11、輸出為x，則上述微分方程所描述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：因此，對(duì)于該傳遞函數(shù)所描述系統(tǒng)，可用上述模擬結(jié)構(gòu)圖表示其狀態(tài)變量的信息傳遞關(guān)系(此時(shí)所選的狀態(tài)變量x恰為系統(tǒng)輸出)。按前述方法，若取 x 為狀態(tài)變量，則其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖所示：推導(dǎo)基礎(chǔ)：模擬結(jié)構(gòu)圖所體現(xiàn)的系統(tǒng)輸出與輸入之間關(guān)系能夠反映原傳遞函數(shù)！利用前述分析結(jié)果：(1)對(duì)于積分環(huán)節(jié)(傳遞函數(shù)如下)，可用如右所示模擬結(jié)構(gòu)圖描述(系統(tǒng)的輸出為狀態(tài)變量x)：微分方程為：(2)對(duì)于一階慣性環(huán)節(jié)(傳遞函數(shù)如下)，可用如右所示模擬結(jié)構(gòu)圖描述(系統(tǒng)的輸出為狀態(tài)變量x)：微分方程為：注意：由傳遞函數(shù)繪制模擬結(jié)構(gòu)圖，結(jié)果同樣不是唯一的。負(fù)號(hào)也可移出三種途徑:1、由系

12、統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖寫出(即根據(jù)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的連接情況通過(guò)結(jié)構(gòu)圖的等效變換建立狀態(tài)空間表達(dá)式);2、根據(jù)系統(tǒng)的物理或電路機(jī)理進(jìn)行推導(dǎo)得到;3、由描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程或傳遞函數(shù)推導(dǎo)得到(主要針對(duì)單輸入單輸出系統(tǒng))1.3/1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)習(xí)目標(biāo): 理解與掌握上述三種建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的方法。途徑1：結(jié)構(gòu)圖等效模擬結(jié)構(gòu)圖選擇每個(gè)積分器的輸出作為狀態(tài)變量(積分器的輸入即是該狀態(tài)變量的變化率)寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。各環(huán)節(jié)等效變換分別選擇三個(gè)積分器的輸出作為狀態(tài)變量x1, x2, x3教材例1-1例1例1-1 根據(jù)結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式分別選擇三個(gè)積分器的輸出作為狀態(tài)變量

13、x1, x2, x3，則有：例1對(duì)于含零點(diǎn)的環(huán)節(jié),先將其展開為部分分式之和：分別選擇三個(gè)積分器的輸出作為狀態(tài)變量x1, x2, x3教材例1-2例2例1-2 根據(jù)結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式分別選擇三個(gè)積分器的輸出作為狀態(tài)變量x1, x2, x3，則有：例2 根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖或模擬結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式的基本步驟： (1)利用合理方法(如將復(fù)雜環(huán)節(jié)分解為簡(jiǎn)單環(huán)節(jié)的和式或乘式)，先將結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)換為等效的模擬結(jié)構(gòu)圖(由積分器、加法器、比例器等組件構(gòu)成)； (2)選擇積分器的輸出作為狀態(tài)變量，再根據(jù)模擬結(jié)構(gòu)圖中狀態(tài)變量間的信息傳遞關(guān)系寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。 注意：必須先在模擬結(jié)構(gòu)圖中標(biāo)注出各個(gè)狀態(tài)變

14、量(x1, x2, ., xn)的位置(即確定各個(gè)積分器后的狀態(tài)變量)后再書寫狀態(tài)空間表達(dá)式；因?yàn)闋顟B(tài)變量選取的位置不同，得到的狀態(tài)空間表達(dá)式的系數(shù)矩陣(A、B、C、D)也可能不同。小結(jié)尤昌德教材例1-5途徑2：從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式(KVL)(KVL)(KCL)整理得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式例1若選i1、i2分別為輸出y1、y2 ？尤昌德教材例1-7(牛二定律) 系統(tǒng)輸入u=f，選擇彈簧拉伸量y和質(zhì)量塊速度v為狀態(tài)變量，即：x1=y，x2=v；設(shè)輸出為彈簧拉伸量y，則：fKfB例2v教材例1-3整理得：分析系統(tǒng)，得：K2的拉伸量=？作用于B2的速度=？例3教材例1-3(續(xù)）系統(tǒng)狀態(tài)方

15、程寫成向量矩陣形式：若指定x1(M1位移)和x2(M2位移)分別為輸出y1和y2，則輸出方程：若指定x2 (M2位移)和x4 (M2速度)分別為輸出y1和y2，則輸出方程：例3教材例1-4向量矩陣形式： J為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量; T為外部作用力矩; K為扭轉(zhuǎn)軸彈性系數(shù); B為粘性阻尼系數(shù);例4教材例1-5R為電樞回路電阻；e為電機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)；Ka和Kb分別為電機(jī)的轉(zhuǎn)矩常數(shù)和反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)；B為粘性摩擦系數(shù)；J為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；為剛體的轉(zhuǎn)速。整理得：即：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式例5教材例1-5(續(xù))例5若指定剛體旋轉(zhuǎn)角度為輸出？尤昌德教材例1-6例6即：指定v1和v2為輸出，則：尤昌德教材例1-6(續(xù))例6

16、根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式的一般步驟： 1.合理選擇相關(guān)物理量作為狀態(tài)變量。經(jīng)驗(yàn)做法：選擇儲(chǔ)能元件上的物理量，如電感上的電流、電容兩端電壓、質(zhì)量塊的速度、彈簧的位移、剛體的旋轉(zhuǎn)速度、扭轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)角度等，因?yàn)榭梢暂^容易建立這些物理量的一階微分方程(從而建立狀態(tài)方程)。 2.確定輸入，并建立狀態(tài)變量的一階微分方程組：目的是找出各狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)與各狀態(tài)變量和輸入間的函數(shù)關(guān)系。小結(jié) 注意：對(duì)于某些特殊情形，獨(dú)立狀態(tài)變量的數(shù)量不一定等于儲(chǔ)能元件數(shù)量，需具體問(wèn)題具體分析。途徑3：由系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系(微分方程或傳遞函數(shù))建立狀態(tài)空間表達(dá)式注意：并非任意微分方程或傳遞函數(shù)都能建立其實(shí)現(xiàn)。對(duì)給定傳遞函數(shù)W

17、(s)，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)存在的充要條件為mn： (1) 當(dāng)m狀態(tài)空間表達(dá)式/實(shí)現(xiàn)(不唯一) 傳遞函數(shù)無(wú)零點(diǎn)的情形：兩種實(shí)現(xiàn)的推導(dǎo)及具體結(jié)論(教材中只給出一種實(shí)現(xiàn)的結(jié)論，本課件補(bǔ)充一種) 傳遞函數(shù)有零點(diǎn)的情形：兩種實(shí)現(xiàn)的推導(dǎo)及具體結(jié)論(與教材結(jié)論相同) 多輸入或多輸出系統(tǒng)(本節(jié)僅討論簡(jiǎn)單系統(tǒng)推導(dǎo))： 微分方程組/傳遞函數(shù)陣狀態(tài)空間表達(dá)式/實(shí)現(xiàn)(不唯一) 簡(jiǎn)單系統(tǒng)的推導(dǎo)（本節(jié)內(nèi)容） 多輸入或多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式建立(相關(guān)結(jié)論)在第三章學(xué)習(xí)基于系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間表達(dá)式(1)傳遞函數(shù)無(wú)零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)(第1個(gè)結(jié)論，教材):模擬結(jié)構(gòu)圖推導(dǎo)xnxn-1x3x2x1若取 y/b0 及其各階導(dǎo)數(shù)（1 n

18、-1階）作為各個(gè)積分器的輸出，由系統(tǒng)微分方程可繪制系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：可取各個(gè)積分器的輸出為狀態(tài)變量，如圖所示。寫成向量矩陣形式:寫成矩陣形式:(1)傳遞函數(shù)無(wú)零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)(第1個(gè)結(jié)論，教材)：數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)(n-1)(n-1)單位陣 友矩陣(2)傳遞函數(shù)無(wú)零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)(第2個(gè)結(jié)論:補(bǔ)充)：模擬結(jié)構(gòu)圖推導(dǎo)xnxn-1x3x2x1若取輸出y及其各階導(dǎo)數(shù)（1n-1階）作為各個(gè)積分器的輸出，可得系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：可取各個(gè)積分器的輸出為狀態(tài)變量，如圖所示。寫成向量矩陣形式:(2)傳遞函數(shù)無(wú)零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)(第2個(gè)結(jié)論：補(bǔ)充)：數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)小結(jié)I：傳遞函數(shù)無(wú)零點(diǎn)時(shí)，建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的兩個(gè)結(jié)論第2個(gè)

19、結(jié)論:第1個(gè)結(jié)論:關(guān)于d陣： d = 0前提：分母多項(xiàng)式為首一多項(xiàng)式(3)傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)：教材第1個(gè)結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程為分析方便，又不失一般性，先從三階微分方程著手研究：教材P26：圖1-14(3)傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)(三階系統(tǒng))：教材第1個(gè)結(jié)論推導(dǎo)(續(xù))(3)傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)(三階系統(tǒng))：教材第1個(gè)結(jié)論選擇各個(gè)積分器輸出作為狀態(tài)變量，則有：傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)(推廣到高階系統(tǒng)) ：教材第1個(gè)結(jié)論可化為bn與嚴(yán)格真分式之和(后者可確定C陣元素)傳遞函數(shù)有零點(diǎn)的實(shí)現(xiàn):2階系統(tǒng)推導(dǎo)過(guò)程,尤昌德教材(自學(xué)內(nèi)容)傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn):2階系統(tǒng)推導(dǎo)過(guò)程(續(xù),自學(xué))傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn):

20、2階系統(tǒng)結(jié)論(自學(xué)內(nèi)容)寫成矩陣形式:傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn):高階系統(tǒng)結(jié)論(分母多項(xiàng)式不須首一)(自學(xué)內(nèi)容)(4)傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)：教材第2個(gè)結(jié)論(模擬結(jié)構(gòu)圖推導(dǎo))(4)傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)：教材第2個(gè)結(jié)論的推導(dǎo)(續(xù))i=?(4)傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)：教材第2個(gè)結(jié)論推導(dǎo)(續(xù))由圖(b)得：i的推導(dǎo)(根據(jù)圖1-16b)方框圖等效變換(4)傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)：教材第2個(gè)結(jié)論(續(xù))比較同類項(xiàng)，可得：的推導(dǎo)(根據(jù)圖1-16b)或(4)傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)(3階系統(tǒng)結(jié)論)：教材第2個(gè)結(jié)論補(bǔ)充內(nèi)容：利用圖1.16 a)推導(dǎo)待定系數(shù)的求解公式(自學(xué)內(nèi)容)以上微分方程整理可得：補(bǔ)充內(nèi)容：利用圖

21、1.16 a)推導(dǎo)待定系數(shù)的求解公式(自學(xué)內(nèi)容)(4)傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)(高階系統(tǒng)結(jié)論)：教材第2個(gè)結(jié)論式中，i與bi 的關(guān)系為：傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)，建立狀態(tài)空間表達(dá)式有兩種結(jié)論可用：小結(jié)II第1種結(jié)論:第2種結(jié)論:關(guān)于d陣： 若bn0，則d0； 若bn0，則dbn。應(yīng)用結(jié)論時(shí)傳函需滿足前提條件：分母多項(xiàng)式化為首一多項(xiàng)式。無(wú)零點(diǎn)是有零點(diǎn)的特例x2x1x3(1)模擬結(jié)構(gòu)圖推導(dǎo)方法2、多輸入-多輸出系統(tǒng)微分方程的實(shí)現(xiàn)例:教材3032頁(yè)選擇各積分器的輸出作為狀態(tài)變量x1，x2，x3，易寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式多輸入-多輸出系統(tǒng)微分方程的實(shí)現(xiàn)(續(xù))(1)模擬結(jié)構(gòu)圖推導(dǎo)方法(續(xù))即：(2)多輸入-多輸

22、出系統(tǒng)微分方程的實(shí)現(xiàn)(數(shù)學(xué)推導(dǎo)方法)(2)多入多出系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)(數(shù)學(xué)推導(dǎo)方法):續(xù) 根據(jù)多入多出線性定常系統(tǒng)的微分方程組建立狀態(tài)空間表達(dá)式的基本方法： (1)將各輸出的最高階導(dǎo)數(shù)寫在等號(hào)左邊，其余項(xiàng)移到等號(hào)右邊，并將右邊的項(xiàng)按導(dǎo)數(shù)的階次分別歸類； (2)對(duì)等式兩邊取積分(積分次數(shù)與等式右邊的最高階導(dǎo)數(shù)的階次相同),使等式左邊的項(xiàng)變?yōu)檩敵龅脑瘮?shù)； (3)整理等號(hào)右邊的多重積分形式，將所有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)變?yōu)樵瘮?shù)形式或原函數(shù)的積分形式； (4)考察各重積分項(xiàng)，按積分重?cái)?shù)從高到低順序，逐個(gè)將不同重?cái)?shù)的積分選為狀態(tài)變量，則可寫出各個(gè)狀態(tài)變量的一階微分方程，以及各個(gè)輸出分量的方程，從而可得到系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)空間表

23、達(dá)式。小結(jié)III1.5 狀態(tài)向量的線性變換(坐標(biāo)變換)本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、理解和掌握有關(guān)的概念：線性變換(非奇異變換)；系統(tǒng)的特征值、特征多項(xiàng)式、特征方程及系統(tǒng)的不變量；系統(tǒng)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量；約當(dāng)塊、約當(dāng)矩陣、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。2、掌握求取系統(tǒng)特征值及特征值所對(duì)應(yīng)特征向量的方法；3、學(xué)習(xí)和掌握建立具有約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間表達(dá)式的兩種方法：(1)構(gòu)造合適的變換陣，對(duì)原狀態(tài)空間表達(dá)式進(jìn)行線性變換，從而獲得約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型；(2)根據(jù)傳遞函數(shù)特點(diǎn)，采用并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)，從而獲得約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型(也是一種建立實(shí)現(xiàn)的方法)。一.系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性：對(duì)一給定的線性定常系統(tǒng)，通過(guò)選取不同的狀態(tài)變量，系統(tǒng)的狀態(tài)

24、空間表達(dá)式有多種形式。不同狀態(tài)空間表達(dá)式的狀態(tài)向量之間實(shí)際為線性變換關(guān)系。如何求？二.系統(tǒng)的特征值、系統(tǒng)的不變量及特征向量1.系統(tǒng)的特征值：即系統(tǒng)矩陣A的特征值，也即特征方程det(IA)=0的根；det(IA)為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式.2.系統(tǒng)特征值的不變性:線性非奇異變換不改變系統(tǒng)特征值 特征多項(xiàng)式的系數(shù)a0, a1, ., an-1稱為系統(tǒng)的不變量。3.矩陣的特征向量(與矩陣的特征值有關(guān)) 對(duì)同一特征值i ，滿足上述定義的特征向量pi不唯一；在這些特征向量構(gòu)成的特征向量組中，特征向量個(gè)數(shù)最多且滿足線性無(wú)關(guān)條件的一組特征向量，稱其為i的獨(dú)立特征向量組。 對(duì)于給定特征值i ，其最多有K= n -

25、Rank(i I - A)個(gè)獨(dú)立特征向量能夠構(gòu)成一個(gè)獨(dú)立特征向量組。為便于敘述，有時(shí)將獨(dú)立特征向量組中的特征向量的個(gè)數(shù)K簡(jiǎn)稱為該特征值的獨(dú)立特征向量個(gè)數(shù)，或簡(jiǎn)稱該特征值只對(duì)應(yīng)K個(gè)獨(dú)立特征向量。 若i為單重根，則其獨(dú)立特征向量個(gè)數(shù)必為1；若為重根(設(shè)為q重)，則其獨(dú)立特征向量個(gè)數(shù)可能范圍為1q，由前式?jīng)Q定。例1-9續(xù)注：特征向量pi 不唯一！但獨(dú)立特征向量組的最大向量個(gè)數(shù)是確定的.三.狀態(tài)空間表達(dá)式的約當(dāng)(約旦，Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形約當(dāng)矩陣：由一個(gè)或若干個(gè)約當(dāng)塊組成的(準(zhǔn))對(duì)角線矩陣。約當(dāng)塊：具有如下形式的矩陣約當(dāng)矩陣：具有如下形式的矩陣其中Ji (i=1,.,m)為約當(dāng)塊如：如：約當(dāng)矩陣范例(

26、兩種形式：對(duì)角線形式和準(zhǔn)對(duì)角線形式)(1)是否為約當(dāng)矩陣？約當(dāng)塊數(shù)量？矩陣的特征值？各特征值對(duì)應(yīng)的獨(dú)立特征向量的數(shù)量？矩陣所有獨(dú)立特征向量總數(shù)？可從約當(dāng)矩陣中直接觀察得出！ 若A陣為約當(dāng)矩陣，則有如下結(jié)論：A陣的特征值即為主對(duì)角線上元素(部分特征值可能有重根)；A陣各個(gè)特征值的獨(dú)立特征向量個(gè)數(shù)等于該特征值在A陣中對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊數(shù)量；A陣的獨(dú)立特征向量總數(shù)等于A陣中的約當(dāng)塊總數(shù)。三.將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型(對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型)(1)當(dāng)A陣的特征值1, 2, ., n互異時(shí)，必存在一個(gè)非奇異陣T，使得線性變換后的系統(tǒng)矩陣J為對(duì)角線矩陣：約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：系統(tǒng)矩陣A具有約當(dāng)矩陣形式的狀態(tài)空間表達(dá)式。通過(guò)

27、選擇合適的非奇異變換陣可將非約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。對(duì)角線矩陣J的主對(duì)角線上的元素即為系統(tǒng)的特征值1, 2, ., n。(2)當(dāng)A陣的特征值有重根，且每個(gè)重特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量時(shí)，必存在一個(gè)非奇異變換陣，使得線性變換后的系統(tǒng)矩陣J具有約當(dāng)矩陣形式。例：若系統(tǒng)的特征值1為q重(且對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量)，其他n-q個(gè)特征值q+1, q+2,., n為單重 (互異)，則其約當(dāng)陣形式為：qq維J主對(duì)角線元素為各特征值；q重特征值i 對(duì)應(yīng)一個(gè)qq維的約當(dāng)塊；若存在多個(gè)重特征值且它們都只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量，則這些特征值在J陣中都只對(duì)應(yīng)一個(gè)約當(dāng)塊(約當(dāng)塊維數(shù)與該特征值重?cái)?shù)相當(dāng))。狀態(tài)空間表達(dá)式

28、變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的方法：1、A陣為任意形式時(shí)(1) 若A陣的各特征值互異特征向量在T中的順序決定其對(duì)應(yīng)特征值在J陣對(duì)角線上的位置關(guān)鍵在求取非奇異變換陣T！pi不唯一，且順序任意，故T不唯一，故變換后的A,B,C可有多種！例1-9,例1-10直接寫出，無(wú)需計(jì)算例1-10續(xù)若改變T陣中特征向量pi的順序，線性變換結(jié)果有何變化？pi不唯一，若選另一pi ，對(duì)變換后的A,B,C的影響？(2) A陣存在重特征值時(shí)(且重特征值只有一個(gè)獨(dú)立特征向量情形)注意：T陣中各特征向量順序與變換后J陣在形式上的對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)應(yīng)于重根1的q個(gè)特征向量對(duì)應(yīng)于單根q+1,., n的n-q個(gè)特征向量T不唯一！例1-11p1、p

29、2、p3不唯一！例1-11(續(xù))(1)若令T=p3 p1 p2，可否得到約當(dāng)陣J？(2)若令T=p1 p3 p2，可否得到約當(dāng)陣？尤教材p46例變換陣T的求法(續(xù)):2.A陣為友矩陣時(shí)：(1)若系統(tǒng)特征值兩兩互異，可選如下變換陣:稱為范德蒙陣線性變換后的J陣為：各特征值在J陣對(duì)角線上的位置與其在范德蒙陣中的位置有關(guān)！例1-10求導(dǎo)后除以階乘.變換陣T的求法(續(xù)):2.A陣為友矩陣時(shí)：(2)若A有重特征值:設(shè)1為q重特征值且對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量，其余特征值q+1, q+2,., n為單重根，則變換陣T為：各特征值在J陣對(duì)角線上的位置與其在范德蒙陣中的位置有關(guān)！線性變換后的J陣為：例1-11四.系

30、統(tǒng)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)：約當(dāng)型實(shí)現(xiàn)1.當(dāng)系統(tǒng)的n個(gè)極點(diǎn)(特征根)互異時(shí)：(1)并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)之一根據(jù)實(shí)現(xiàn)一的模擬結(jié)構(gòu)圖等效變換1.當(dāng)系統(tǒng)的n個(gè)極點(diǎn)(特征根)互異時(shí)：(1)并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)之二尤教材例1-152.系統(tǒng)極點(diǎn)(特征根)有重根時(shí)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)教材圖1.192.系統(tǒng)極點(diǎn)(特征根)有重根時(shí)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)1.6 從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)(陣)本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、學(xué)習(xí)和理解傳遞函數(shù)陣的概念。2、學(xué)習(xí)和掌握根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)(陣)的方法；3、學(xué)習(xí)和掌握根據(jù)子系統(tǒng)聯(lián)接情況求取組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(陣)的方法；多輸入多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣：0 ，1 n均為mr矩陣尤教材例1-24兩子系統(tǒng)輸入維數(shù)相同、輸出維數(shù)相同二、 兩子系統(tǒng)聯(lián)接時(shí)的傳遞函數(shù)陣 1.并聯(lián)聯(lián)接W1(s)W2(s)1.兩子系統(tǒng)并聯(lián)聯(lián)接(續(xù))W1(s)W2(s)組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：2.兩子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)接W1(s)W2(s)組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：子系統(tǒng)W1輸出維數(shù)與子系統(tǒng)W2輸入維數(shù)相同2.