2022新高考總復(fù)習(xí)《數(shù)學(xué)》(人教)第十一章　概率11.5　離散型隨機(jī)變量的均值與方差

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI11.5離散型隨機(jī)變量的均值與方差第十一章2022內(nèi)容索引0102必備知識 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破03素養(yǎng)提升微專題10 分不清試驗(yàn)是不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)必備知識 預(yù)案自診【知識梳理】 1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=xi)=pi,i=1,2,n.(1)均值:稱E(X)=為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.x1p1+x2p2+xipi+xnpn 標(biāo)準(zhǔn)差 (3)期望含義:期望是算術(shù)平均值概念的推廣,是概率意義下的平均;E(X)是一個實(shí)數(shù),由X的分布列唯一確定,即作為隨機(jī)變量,X是可變的

2、,可取不同值,而E(X)是不變的,它描述X取值的平均狀態(tài);E(X)=x1p1+x2p2+xnpn直接給出了E(X)的求法,即隨機(jī)變量取值與相應(yīng)概率分別相乘后相加.(4)方差含義:隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動.集中與離散的程度D(X)越大,表明平均偏離程度越大,X的取值越分散.反之,D(X)越小,X的取值越集中在E(X)附近.方差也是一個常數(shù),它不具有隨機(jī)性,方差的值一定是非負(fù).2.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=;(2)E(+)=E()+E();(3)D(aX+b)=.3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值與方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=,D(X)=.(2)若X

3、B(n,p),則E(X)= ,D(X)=.aE(X)+b a2D(X) p p(1-p) np np(1-p) 常用結(jié)論1.若X1,X2相互獨(dú)立,則E(X1X2)=E(X1)E(X2).2.均值與方差的關(guān)系:D(X)=E(X2)-E2(X).3.E(k)=k,D(k)=0,其中k為常數(shù).4.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).5.若XN(,2),則X的均值與方差分別為E(X)=,D(X)=2.6.若Y=aX+b,其中a,b是常數(shù),X是隨機(jī)變量,則E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X).7.超幾何分布的均值:若X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則E(X)= .【考點(diǎn)

4、自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣,與概率無關(guān).()(2)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況,因此它們是一回事.()(3)隨機(jī)變量的均值是常數(shù),樣本的平均值是隨機(jī)變量,它不確定.()(4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離均值的平均程度越小.()(5)正態(tài)分布中的參數(shù)和完全確定了正態(tài)分布,參數(shù)是正態(tài)分布的均值,是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.()2.設(shè)0a3B.E(X)=5,D(X)3C.E(X)3D.E(X)5,D(X)3答案 D 4.已知隨機(jī)變量X滿足E(2X+3)=7,D(2X

5、+3)=16,則下列選項(xiàng)正確的是() 答案 A 關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點(diǎn)1求離散型隨機(jī)變量的均值與方差【例1】 設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間,每天7:30之前到校的概率均為 .假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響,且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中,甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率.解析由(1)于A,B,C,D彼此互斥,且ABCD是一個必然事件,故其事件的關(guān)系可由如圖所示的Venn圖表示,由圖可知,任何一個事件與其余3個

6、事件的和事件必然是對立事件,任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件也是對立事件.故選D.(2)由于成績?yōu)锳的有23人,故抽到C的概率為答案 (1)D (2)A 思考如何簡便地求二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的均值與方差?解題心得求隨機(jī)變量X的均值與方差時,可首先分析X是否服從二項(xiàng)分布,如果XB(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大減少計(jì)算量.對點(diǎn)訓(xùn)練1為了了解校園噪聲情況,學(xué)校環(huán)保協(xié)會對校園噪聲值(單位:分貝)進(jìn)行了50天的監(jiān)測,得到如下統(tǒng)計(jì)表:噪聲值(單位:分貝)55,57(57,59(59,61(61,63(63,65(65,67頻數(shù)14122085(1)根據(jù)

7、該統(tǒng)計(jì)表,求這50天校園噪聲值的樣本平均數(shù)(同一組的數(shù)據(jù)用該組組間的中點(diǎn)值作代表).(2)根據(jù)國家聲環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn):“環(huán)境噪聲值超過65分貝,視為重度噪聲污染;環(huán)境噪聲值不超過59分貝,視為輕度噪聲污染.”如果把由上述統(tǒng)計(jì)表算得的頻率視作概率,回答下列問題:()求周一到周五的五天中恰有兩天校園出現(xiàn)重度噪聲污染而其余三天都是輕度噪聲污染的概率;()學(xué)校要舉行為期3天的“漢字聽寫大賽”校園選拔賽,把這3天校園出現(xiàn)的重度噪聲污染天數(shù)記為X,求X的分布列和方差D(X).考點(diǎn)2二項(xiàng)分布的均值與方差【例2】 從某校參加高一年級期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽出60名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績分成六段40,50),50,60)

8、,90,100后得到如圖部分頻率分布直方圖,觀察圖形的信息,回答下列問題:(1)求分?jǐn)?shù)在70,80)內(nèi)的頻率,并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖;(2)統(tǒng)計(jì)方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表,據(jù)此估計(jì)本次考試的平均分;(3)若從60名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,抽到的學(xué)生成績在40,60)記0分,在60,80)記1分,在80,100記2分,用表示抽取結(jié)束后的總記分,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解 (1)設(shè)分?jǐn)?shù)在70,80)內(nèi)的頻率為x,根據(jù)頻率分布直方圖,有(0.01+0.0152+0.025+0.005)10+x=1,可得x=0.3,所以頻率分布直方圖如圖所示.(2)平均分為 =450.1+550.15

9、+650.15+750.3+850.25+950.05=71.解題心得1.求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟:(1)理解X的意義,寫出X的全部可能取值.(2)求X取每個值的概率.(3)寫出X的分布列.(4)由均值的定義求E(X).(5)由方差的定義求D(X).2.注意性質(zhì)的應(yīng)用:若隨機(jī)變量X的均值為E(X),則對應(yīng)隨機(jī)變量aX+b的均值是aE(X)+b,方差為a2D(X).思考如何求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差? 對點(diǎn)訓(xùn)練2某班50名學(xué)生在一次百米測試中,成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間,將測試結(jié)果按如下方式分成五組:第一組13,14),第二組14,15),第五組17,18,如圖是按上述分組方

10、法得到的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這50名學(xué)生百米測試成績的中位數(shù)和平均數(shù)(精確到0.1).(2)若從第一、五組中隨機(jī)取出三名學(xué)生成績,設(shè)取自第一組的個數(shù)為,求的分布列,期望及方差.考點(diǎn)3均值與方差在決策中的應(yīng)用【例3】 某地區(qū)擬建立一個藝術(shù)博物館,采取競標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司,經(jīng)過層層篩選,甲、乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo).現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請專家設(shè)計(jì)了一個招標(biāo)方案:兩家公司從6個招標(biāo)問題中隨機(jī)抽取3個問題,已知這6個招標(biāo)問題中,甲公司可正確回答其中的4道題目,而乙公司能正確回答每道題目的概率均為 ,甲、乙兩家公司對每題的回答都是相互獨(dú)立,互不影響的.(1)

11、求甲、乙兩家公司共答對2道題目的概率;(2)請從期望和方差的角度分析,甲、乙兩家哪家公司競標(biāo)成功的可能性更大?思考如何利用均值與方差對生活中相關(guān)問題進(jìn)行決策?解題心得利用均值、方差進(jìn)行決策的方法:均值能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”,因此,當(dāng)均值不同時,兩個隨機(jī)變量取值的水平可見分曉,由此可對實(shí)際問題作出決策判斷;若兩個隨機(jī)變量均值相同或相差不大,則可通過分析兩個變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離均值的平均程度越小,進(jìn)而進(jìn)行決策.對點(diǎn)訓(xùn)練3(2018全國1,理20)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不

12、合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0p0;當(dāng)p(0.1,1)時,f(p)400,故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).要點(diǎn)歸納小結(jié)1.求某事件發(fā)生的概率,首先理解題意,分清概率模型,恰當(dāng)選擇概率計(jì)算公式.2.求隨機(jī)變量的均值、方差的基本方法:(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接按定義(公式)求解;(2)已知隨機(jī)變量X的均值、方差,求X的線性函數(shù)Y=aX+b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接用均值、方差的性質(zhì)求解;(3)如能分析所給隨機(jī)變量服從常用的分布(如二項(xiàng)分布),可直接利用它們

13、的均值、方差公式求解.要點(diǎn)歸納小結(jié)要點(diǎn)歸納小結(jié)素養(yǎng)提升微專題10 分不清試驗(yàn)是不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)【例】 某電視臺舉行電視奧運(yùn)知識大獎賽,比賽分初賽和決賽兩部分.為了增加節(jié)目的趣味性,初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行.每位選手最多有5次選題答題的機(jī)會,選手累計(jì)答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽,答對3題者直接進(jìn)入決賽,答錯3題者則被淘汰.已知選手甲答題的正確率為 .(1)求選手甲可進(jìn)入決賽的概率;(2)設(shè)選手甲在初賽中答題的個數(shù)為,試寫出的分布列,并求的均值.錯因分析(1)甲答3題進(jìn)入決賽指的是甲全部答對該3題,甲答4題進(jìn)入決賽指的是前3題中答對2道題,答錯1道題,第4題答對.只有前3次答題事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).同理答5題進(jìn)