2022新高考總復(fù)習(xí)《數(shù)學(xué)》(人教)第六章　數(shù)列6.3　等比數(shù)列

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI6.3等比數(shù)列第六章2022內(nèi)容索引0102必備知識(shí) 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破必備知識(shí) 預(yù)案自診【知識(shí)梳理】 1.等比數(shù)列的定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的,公比通常用字母q表示(顯然q0).2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q,則它的通項(xiàng)公式為an=;通項(xiàng)公式的推廣an=amqn-m.第2項(xiàng) 同一個(gè) 公比 a1qn-1(a10,q0) 3.等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使成等比數(shù)列,那么G叫做a與b

2、的等比中項(xiàng),此時(shí),.4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列an的公比為q(q0),其前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1;a,G,b G2=ab 常用結(jié)論設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.常用結(jié)論【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)滿足an+1=qan(nN* ,q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列.()(2)G為a,b的等比中項(xiàng)G2=ab.()(3)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項(xiàng).()(4)如果an為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n,那么數(shù)列bn也是等比數(shù)列.()(5)如果數(shù)列an為等比數(shù)列,那么數(shù)列l(wèi)n an是等差數(shù)列.()答案 A 3.(2020全國

3、2,理6)數(shù)列an中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+ak+10=215-25,則k=()A.2B.3C.4D.5答案 C 4.若數(shù)列an是等比數(shù)列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,則an=. 答案 4n-1解析 因?yàn)閿?shù)列an是等比數(shù)列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,所以a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以an=4n-1,故答案為4n-1.關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點(diǎn)1等比數(shù)列的基本運(yùn)算【例1】 (1)(2020全國1,文10)設(shè)an是等比數(shù)列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a6+a7+a8=()A.12B.24C.30 D.32(2)

4、(2020全國2,文6)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a5-a3=12,a6-a4=24,則 =()A.2n-1B.2-21-n C.2-2n-1D.21-n-1答案 (1)D(2)B解析 (1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因?yàn)閍1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.解題心得解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思想方法(1)方程思想:等比數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q,問題可迎刃而解.(2)分類討論思想:因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和公式涉

5、及對(duì)公比q的分類討論,所以當(dāng)某一參數(shù)為公比進(jìn)行求和時(shí),就要對(duì)參數(shù)是否為1進(jìn)行分類討論再求和.(3)整體思想:應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),常把qn或 當(dāng)成整體進(jìn)行求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2019全國3,理5)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=()A.16B.8C.4D.2(2)(2019全國1,理14)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若 ,則S5=.考點(diǎn)2等比數(shù)列的判定與證明【例2】已知數(shù)列an和bn滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)證明:an+bn是等比數(shù)列;(2)求an和bn的通項(xiàng)公式.解題

6、心得 1.證明數(shù)列an是等比數(shù)列常用的方法:(3)通項(xiàng)公式法,若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an=cqn-1(c,q均是不為0的常數(shù),nN* ),則an是等比數(shù)列.2.若判斷一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)設(shè)bn=an+1-2an,證明:數(shù)列bn是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)3等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(多考向探究)考向1等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)及應(yīng)用(2)(多選)設(shè)an是等比數(shù)列,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 ()A.若a1=1,a5=4,則a3=-2B.若a1+a30,則a2+a40C.若a2a1,

7、則a3a2D.若a2a10,則a1+a32a2答案 (1)A(2)ABC 解題心得在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí),要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì)減少運(yùn)算量,提高解題速度.注意以下常用性質(zhì):(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=amqn-m;(2)等比中項(xiàng)的推廣與變形: =aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).(2)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1a5=4,則log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.答案 (1)B(2)5 考向2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用【例4】 (1)已知等比數(shù)列an共有2n項(xiàng),其和為-240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,則公比

8、q=.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)在公比為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a1+a2=2,a3+a4=8,則S8等于()A.21B.42 C.135D.170(2)(多選)下列命題中正確的是()A.若數(shù)列an是等差數(shù)列,且am+an=as+at(m,n,s,tN*),則m+n=s+tB.若Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差數(shù)列C.若Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)的和,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列D.若Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)的和,且Sn=Aqn+B(其中A,B是非零常數(shù),nN*),則A+B為零答案 (1)D(2)BD (2)對(duì)于A,取數(shù)列an為常數(shù)列,對(duì)任意m

9、,n,s,tN*,都有am+an=as+at,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,則Sn=a1+a2+an,S2n-Sn=an+1+an+2+a2n=a1+nd+a2+nd+an+nd=Sn+n2d,同理,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+a3n=an+1+an+2+a2n+n2d=S2n-Sn+n2d,2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是等差數(shù)列,故B正確;對(duì)于C,設(shè)an=(-1)n,則S2=0,S4-S2=0,S6-S4=0,此數(shù)列不是等比數(shù)列,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,an=Sn-Sn-1=(Aqn+B)-(Aqn-1+B)

10、=Aqn-Aqn-1=A(q-1)qn-1,此數(shù)列為首項(xiàng)是A(q-1),公比為q的等比數(shù)列,考點(diǎn)4等差、等比數(shù)列的綜合問題【例5】 (1)若公比為2的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a2,9,a5成等差數(shù)列,則S10=()A.245-1B.45-1C.246-1D.46-1(2)已知在等比數(shù)列an中,有a3a11=4a7,數(shù)列bn是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且b7=a7,則S13=()A.26B.52C.78D.104答案 (1)B(2)B 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(1)(2020山東煙臺(tái)高三?？?在等比數(shù)列an中,首項(xiàng)a1=1,且4a3,2a4,a5成等差數(shù)列,若數(shù)列an的前n項(xiàng)之積為Tn,則T9=()A.29-1B.236C.210-1D.245(2)已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,S3,S9,S6成等差數(shù)列,a2+