高考一輪復(fù)習(xí)通用版曲線與方程 學(xué)案

1、第八節(jié)曲線與方程最新考綱1了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系2了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用3理解數(shù)形結(jié)合的思想考向預(yù)測(cè)考情分析：求曲線的軌跡方程及利用方程研究軌跡的性質(zhì)仍是高考考查熱點(diǎn)，題型多出現(xiàn)在解答題的第(1)問(wèn)學(xué)科素養(yǎng)：通過(guò)軌跡方程的求解考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)積 累 必備知識(shí)基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1曲線與方程的定義一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)0的實(shí)數(shù)解建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線2求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟3求軌跡方程的四個(gè)常用方法(1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x

2、，y)0.(2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)(3)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程二、必明2個(gè)常用結(jié)論1“曲線C是方程f(x，y)0的曲線”是“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)0的解”的充分不必要條件2曲線的交點(diǎn)與方程組的關(guān)系(1)兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)是兩個(gè)曲線方程的公共解

3、，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；(2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解，兩條曲線就沒(méi)有交點(diǎn)三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)f(x0，y0)0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上的充要條件()(2)方程x2xyx的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線()(3)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一樣的()(4)方程yx與xy2表示同一曲線()(二)教材改編2已知M(2，0)，N(2，0)，|PM|PN|4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A雙曲線 B雙曲線左邊一支C一條射線 D雙曲線右邊一支3和點(diǎn)O(0，0)，A(c，0)距離的平方和為常數(shù)c的點(diǎn)的

4、軌跡方程為_(三)易錯(cuò)易混4(忽視隱含限制條件)方程(2x3y1)(x-31)0表示的曲線是()A兩條直線B兩條射線C.兩條線段D一條直線和一條射線5(忽視P不在x軸上)已知A(2，0)，B(1，0)兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P不在x軸上，且滿足APOBPO，其中O為原點(diǎn)，則P點(diǎn)的軌跡方程是_(四)走進(jìn)高考62021浙江卷已知a，bR，ab0，函數(shù)f(x)ax2b(xR)若f(st)，f(s)，f(st)成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)(s，t)的軌跡是()A直線和圓 B直線和橢圓C直線和雙曲線 D直線和拋物線提 升 關(guān)鍵能力考點(diǎn)突破掌握類題通法考點(diǎn)一直接法求軌跡方程基礎(chǔ)性12022杭州調(diào)研已知點(diǎn)F(0，1)，直線l：

5、y1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且QPQFFPFQ，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為()Ax24y By23xCx22y Dy24x2已知M(2，0)，N(2，0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是()Ax2y22 Bx2y24Cx2y22(x2) Dx2y24(x2)反思感悟直接法求曲線方程的一般步驟(1)建立合理的直角坐標(biāo)系；(2)設(shè)出所求曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，把幾何條件或等量關(guān)系用坐標(biāo)表示為代數(shù)方程；(3)化簡(jiǎn)整理這個(gè)方程，檢驗(yàn)并說(shuō)明所求的方程就是曲線的方程直接法求曲線方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系“翻譯”為代數(shù)方程，要注意“翻譯”的等價(jià)性提醒對(duì)方程化

6、簡(jiǎn)時(shí)，只要前后方程解集相同，證明一步可以省略，必要時(shí)可說(shuō)明x，y的取值范圍考點(diǎn)二定義法求軌跡方程綜合性 例1已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程聽課筆記：一題多變1(變條件)若例1中的條件“動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切”改為“動(dòng)圓P與圓M、圓N都外切”，則圓心P的軌跡方程為_2(變條件)若例1中圓M，N方程分別變?yōu)椤皥AM：(x4)2y22；圓N：(x4)2y22”，其余條件不變，求C的方程反思感悟定義法求軌跡方程的解題策略(1)在利用圓錐曲線的定義法求軌跡方程時(shí)，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)曲線的方

7、程，寫出所求的軌跡方程(2)利用定義法求軌跡方程時(shí)，還要看軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知?jiǎng)訄AP恒過(guò)定點(diǎn)14，0，且與直線x14相切求動(dòng)圓P圓心的軌跡M的方程考點(diǎn)三代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程綜合性 例2設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：x22y21上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足NP2 NM.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x3上，且OPPQ1.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.聽課筆記：反思感悟相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的步驟(1)明確主動(dòng)點(diǎn)(已知曲線上的動(dòng)點(diǎn))P(x0，y0)，被動(dòng)點(diǎn)(要求軌

8、跡的動(dòng)點(diǎn))M(x，y)；(2)尋求關(guān)系式x0f(x，y)，y0g(x，y)；(3)將x0，y0代入已知曲線方程；(4)整理關(guān)于x，y的關(guān)系式得M的軌跡方程【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知點(diǎn)F(4，0)，H418，0，ABC的兩頂點(diǎn)A(2，0)，B-12，0，且點(diǎn)C滿足|CA|2|CB|.(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；(2)設(shè)a(5，0)，b(0，3)，OC(aOC，bOC)，求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程第八節(jié)曲線與方程積累必備知識(shí)三、1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：因?yàn)閨PM|PN|MN|4，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以N(2，0)為端點(diǎn)向右的一條射線答案：C3解析：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由題意知(x-02+y-02)2

9、(x-c2+y-02)2c，即x2y2(xc)2y2c，即2x22y22cxc2c0.答案：2x22y22cxc2c04解析：由(2x3y1)(x-31)0得：2x3y10或x-310.即2x3y10(x3)為一條射線，或x4為一條直線答案：D5解析：因?yàn)锳(2，0)，B(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P不在x軸上，且APOBPO，所以點(diǎn)O在APB的平分線與AB的交線上，故PAPBAOOB2，設(shè)P(x，y)(y0)，則x+22+y2x-12+y22，整理可得點(diǎn)P的軌跡方程為：(x2)2y24(y0)答案：(x2)2y24(y0)6解析：由題意得f(st)f(st)f(s)2，即a(st)2ba(st)2b(a

10、s2b)2，即(as2at22astb)(as2at22astb)(as2b)2，即(as2at2b)2(2ast)2(as2b)20，即(2as2at22b)at24a2s2t20，即2a2s2t2a2t42abt20，所以2as2at22b0(t0)或t0，所以s2ba-t22ba1或t0.當(dāng)t0時(shí)，平面上點(diǎn)(s，t)的軌跡是雙曲線；當(dāng)t0時(shí)，平面上點(diǎn)(s，t)的軌跡是直線答案：C提升關(guān)鍵能力考點(diǎn)一1解析：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(x，1)QPQFFPFQ，(0，y1)(x，2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x24y.答案：A2解析

11、：設(shè)P(x，y)，MPN為直角三角形，|MP|2|NP|2|MN|2，(x2)2y2(x2)2y216，整理得x2y24.M，N，P不共線，x2，軌跡方程為x2y24(x2)答案：D考點(diǎn)二例1解析：由已知得圓M的圓心為M(1，0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1，0)，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左，右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為3的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為x24+y231(x2)一題多變1解析：因?yàn)閳AM與圓N相內(nèi)切，設(shè)其切點(diǎn)為A，又因?yàn)閯?dòng)圓P與圓

12、M、圓N都外切，所以動(dòng)圓P的圓心在MN的連線上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是射線AM的反向延長(zhǎng)線(不含切點(diǎn)A)，其方程為：y0(x2)答案：y0(x2)2解析：設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，|PM|r2，|PN|r2.|PM|PN|22，又M(4，0)，N(4，0)，|MN|8.22|MN|.由雙曲線定義知，P點(diǎn)軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支a2，c4，b2c2a214.方程為x22-y2141(x 2)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練解析：由題意得動(dòng)圓P的圓心到點(diǎn)14，0的距離與它到直線x14的距離相等，圓心P的軌跡是以14，0為焦點(diǎn)，直線x14為準(zhǔn)線的拋物線，且p12，動(dòng)圓P圓心的軌跡M的方程為y2x.考點(diǎn)三例2解析：(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0，0)，NP(xx0，y)，NM(0，y0)由NP2 NM得x0 x，y022y.因?yàn)镸(x0，y0)在C上，所以x22+y221.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2y22.(2)由題意知F(1，0)設(shè)Q(3，t)，P(m，n)，則OQ(3，t)，PF(1m，n)，OQPF33mtn，OP(m，n)，PQ(3m，tn)由OPPQ1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所