第二部分連續(xù)體平面應力有限元分析

1、連續(xù)體平面應力有限元分析1第一部分 虛功原理2第一部分 虛功原理 問題的提出：基于彈簧系統(tǒng)的一些假設條件，并基于那些條件解決了諸如彈簧系統(tǒng)這樣的彈性體的應力分析問題，同時應用以上條件對于形狀簡單的一維連續(xù)彈性體在簡單載荷作用下的應力及應變成功的進行了分析。但是實際研究過程中會存在很多承受復雜受力狀態(tài)的復雜的結構，此時基于以上的條件則不能給出相應的解答。這樣就需要一些其他的條件來完成分析，如基于彈性力學以及勢能理論的部分方法來建立連續(xù)彈性體內(nèi)部的應力與應變關系。 3第一部分 虛功原理 變形體的虛功原理可以敘述如下：變形體中滿足平衡的力系在任意滿足協(xié)調(diào)條件變形狀態(tài)上做得虛功等于零，即體系的外力的虛

2、功與內(nèi)力的虛功之和等于零。虛功原理是虛位移原理和虛力原理的總稱。一般的有限元分析中經(jīng)常采用的是虛位移原理，因而下面提到的虛功原理，在沒有特定說明的情況下指的就是虛位移原理的虛功原理。 4第一部分 虛功原理 P受到了4個力的作用，處于平衡狀態(tài)，由于處于平衡狀態(tài)，那么在任意方向上的這4個力的分量和都應該為零。 5第一部分 虛功原理 力系處于平衡狀態(tài)，所以這4個力在水平方向的分量和為零，即： 6第一部分 虛功原理 假定讓點P在水平方向移動一個非常小的位移u，由于這個位移很小，所以與之相關的四個力不發(fā)生變化。這個非常小的位移u稱之為虛位移。由于發(fā)生這個虛位移的過程中力沒有發(fā)生變化，也就是水平方向的應力

3、分量也沒發(fā)生變化，所以這個過程中做得功為 ：7第一部分 虛功原理 由于發(fā)生這個虛位移的過程中力沒有發(fā)生變化，也就是水平方向的應力分量也沒發(fā)生變化，依舊滿足公式分量的合力為0，因而Vu0。也就是說在平衡力系中，在虛位移條件下，系統(tǒng)做的功為零，實際上這個位移的方向可以是任意的，只不過相應的應力分量也要與之一致而已，那是同樣滿足以上的結果。這個關系也可以表述為：一個點處于力學平衡狀態(tài)的充要條件為該點在任何虛位移下做的功都為零。如果這幾個力中即有內(nèi)力又有外力，則體系的外力的虛功與內(nèi)力的虛功之和等于零。 8第二部分 連續(xù)體的平面應力有限單元分析 92.1 位移與節(jié)點坐標的關系 對于彈簧系統(tǒng)和鉸接的桿系統(tǒng)

4、，有限元分析過程中的主要結果都可以直接獲得，即可以直接從有限元分析中獲得諸如節(jié)點力、節(jié)點位移等信息，這對于分析過程來說已經(jīng)足夠了，但是對于二維或者三維連續(xù)體問題，一般的力學分析是希望獲得連續(xù)體內(nèi)部的應力應變場，此時就需要建立外載荷與結構的應力應變的關系。 102.1 位移與節(jié)點坐標的關系 分析過程也是首先實現(xiàn)連續(xù)體的單元離散，各個單元通過節(jié)點連接在一起，之后我們就需要建立每個單元相關的節(jié)點力與節(jié)點位移之間的單元剛度矩陣，最后再將所有的單元的剛度矩陣組裝到一起形成一個整體剛度矩陣(此過程與彈簧系統(tǒng)的組裝過程類似)。從而建立了整個結構的節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關系，再通過載荷邊界條件、位移邊界條件求

5、解這個矩陣方程，獲得每個節(jié)點的位移。在獲得了節(jié)點位移之后，可以通過力學理論方法獲得單元的彈性應變，進而獲得單元的應力結果。如果實現(xiàn)了上面的整個計算過程，則能夠獲得在外載荷的作用下的結構的應力分布狀態(tài)。 112.1 位移與節(jié)點坐標的關系 網(wǎng)格劃分原則a) 在存在應力應變集中的區(qū)域應該選擇盡量細的單元，這樣能夠使得該區(qū)域的計算結果更接近實際；b) 盡量保證良好的單元的形狀的，一般來說應該控制單元的長寬比，通常建議長寬比在3以內(nèi)，最多不要超過10。因為單元的形狀過于奇異，將導致計算無法收斂。從而無法獲得相關的結果。122.1 位移與節(jié)點坐標的關系 132.1 位移與節(jié)點坐標的關系 節(jié)點的位移也分解成

6、基于該坐標系的位移分量。如i點的位移分量為ui和vi。這樣這個單元是一個有6個位移自由度的三節(jié)點單元。其節(jié)點位移向量為 ：在三個節(jié)點發(fā)生位移的條件下，單元內(nèi)的點也會發(fā)生相應的位移，比如單元內(nèi)的點P，關于這個點的位移在此用(u，v)表示。節(jié)點力也用基于該坐標系的節(jié)點力分量來表示，如j點的節(jié)點力分量分別為Fuj和Fvj。六個節(jié)點力分量共同構成了節(jié)點力向量： 142.1 位移與節(jié)點坐標的關系 假設單元內(nèi)部的位移隨著具體坐標位置發(fā)生變化，如果采用多項式表示這種關系，則多項式的級數(shù)越高，獲得位移與坐標之間的關系越精確。在這里我們的目的只是希望大家能夠明確三角形單元的分析過程，因而在此選擇了最簡單的多項式

7、，即單元內(nèi)部的點的位移與其坐標之間呈線性關系?；谖灰婆c坐標之間呈線性關系的假設，這里將這種關系明確如下： 這里的1到6在這個單元內(nèi)保持為常數(shù)，不同的單元一般這些常數(shù)是不同的。 152.1 位移與節(jié)點坐標的關系 這個單元的三個節(jié)點處也滿足此關系，如對于節(jié)點1滿足這種關系，則獲得了如下的方程：其他兩點也滿足，則 162.1 位移與節(jié)點坐標的關系 逆矩陣表達如下：1718式中Ni、Nj和Nm是坐標的函數(shù)，它們反映單元位移的形態(tài)，故稱為單元形函數(shù)。192.2單元內(nèi)的彈性應變 已知了單元內(nèi)部的位移與坐標之間的關系，則我們可以確定單元內(nèi)部的彈性應變， 再根據(jù)本構關系可確定單元內(nèi)的應力，繼而根據(jù)虛功原理建

8、立節(jié)點力與單元應力之間的關系。這樣就獲得了節(jié)點力與位移之間的關系，依靠邊界條件即可求解。202.2單元內(nèi)的彈性應變 根據(jù)彈性力學的知識，可以獲得如下的關系 ：212.2單元內(nèi)的彈性應變 由于在某一特定的單元內(nèi)部的1到6保持為常數(shù)，所以可以看出在單元內(nèi)部的應變是獨立于具體坐標位置的常數(shù)。所以我們將這類單元稱之為常應變單元。 222.2單元內(nèi)的彈性應變 此時，應變向量可寫為如下形式：簡寫為232.2單元內(nèi)的彈性應變 通過這個公式中的矩陣B建立了單元的應變與單元節(jié)點位移之間的關系通過前面提到的C和A1的矩陣，可以計算出矩陣B 242.3單元內(nèi)的應力 根據(jù)彈性力學的本構方程的相關知識，能夠獲得應力與應

9、變之間的關系。這個矩陣方程給出了平面應力條件下的應力與應變的關系，這個方程可以簡寫為： =DD 矩陣稱之為彈性常數(shù)矩陣 252.3單元內(nèi)的應力 =D=D(Bu)=DBu 這個關系在等應變單元的有限元分析的過程中非常重要，因為它建立了單元應力與節(jié)點位移之間的關系。再通過單元應力與節(jié)點應力之間的關系，能夠導出節(jié)點位移與節(jié)點載荷之間的關系，從而實現(xiàn)求解。 262.4 單元應力與節(jié)點力之間的關系 設單元厚度為t272.4 單元應力與節(jié)點力之間的關系 通過虛功原理可得：K=VBTDB 剛度矩陣282.4 單元應力與節(jié)點力之間的關系 對于等應變?nèi)切螁卧?，K中的所有的數(shù)據(jù)都能夠獲得，所以在已知節(jié)點力的條件

10、下，可以獲得節(jié)點位移。如果能夠建立所有的單元的相應的剛度矩陣方程，則可以通過組裝的方式，獲得整體矩陣，而組裝的方法可以參照彈簧系統(tǒng)的整體矩陣的組裝方式。獲得了整體矩陣之后，我們可以通過矩陣求逆的方法或者高斯消元法解決相關問題。292.5 總結 應用等應變?nèi)切螁卧蠼獾木唧w過程 通過前面的推導可知這里提出的等應變?nèi)切螁卧m用于二維平面應力問題，因而應用這種單元之前首先判斷該問題是否是平面應力問題，如果符合，則對該結構進行有限元網(wǎng)格的劃分，劃分過程中依然要遵循相應的原則，即在應力變化比較劇烈的區(qū)域使用比較細的網(wǎng)格，另外要保證單元的長寬比。單元劃分之后，要對單元進行編號。同時對單元節(jié)點進行編號，單元和節(jié)點編號的基本準則是保證相鄰的單元及節(jié)點編號的差距盡量小，這樣在進行整體剛度矩陣組裝的時候更加容易獲得半帶寬比較小的矩陣。302.5 總結 應用等應變?nèi)切螁卧蠼獾木唧w過程312.5 總結 應用等應變?nèi)切螁卧蠼獾木唧w過程以上是應用等應變?nèi)切螁卧M行結構有限元分析的基本流程，應該說等應變?nèi)切螁卧羌俣▎卧獌?nèi)部的位移在單元內(nèi)呈線性關系，從而導致了單元內(nèi)部的應力與應變?yōu)槌?shù)