高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性與周期性

1、第 3 講 函數(shù)的奇偶性與周期性【 2014年高考會(huì)這樣考】 1判斷函數(shù)的奇偶性2利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值 3考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)結(jié)合具體實(shí)例和函數(shù)的圖象，理解函數(shù)的奇偶性、周期性的概念， 明確它們在研究函數(shù)中的作用和功能 重點(diǎn)解決綜合利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問 題基礎(chǔ)梳理1奇、偶函數(shù)的概念一般地，如果對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f( x)f(x)，那么函數(shù) f(x)就叫做偶函數(shù)一般地，如果對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f(x) f(x)，那么函 數(shù) f(x) 就叫做奇函數(shù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；偶函

2、數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱 2奇、偶函數(shù)的性質(zhì)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū) 間上的單調(diào)性相反在公共定義域內(nèi) 兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)； 兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)； 一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)3周期性周期函數(shù)：對于函數(shù) yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù) T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi) 的任何值時(shí)，都有 f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù) yf(x)為周期函數(shù)，稱 T 為這個(gè) 函數(shù)的周期最小正周期：如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做 f(x)的最小正周期一條規(guī)律 奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對

3、稱 函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件兩個(gè)性質(zhì)(1)若奇函數(shù) f(x)在 x0 處有定義，則 f(0)0.(2)設(shè) f(x)， g(x)的定義域分別是 D1，D2，那么在它們的公共定義域上： 奇奇奇，奇 奇偶，偶偶偶，偶 偶偶，奇 偶奇三種方法 判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法： (1)定義法； (2)圖象法； (3)性質(zhì)法 三條結(jié)論(1)若對于 R 上的任意的 x 都有 f(2a x)f(x)或 f(x)f(2ax)，則 yf(x)的圖 象關(guān)于直線 x a 對稱(2)若對于 R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)，且 f(2bx)f(x)(其中 ab)，則： y

4、f(x)是以 2(ba)為周期的周期函數(shù)11若 f(xa)f(x)或f(xa)f x 或 f(xa) f x ，那么函數(shù) f(x)是周期函數(shù)， f x f x其中一個(gè)周期為 T2a；若 f(xa) f(xb)(ab)，那么函數(shù) f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為 T2|ab|.雙基自測51(2011 全國)設(shè) f(x)是周期為 2的奇函數(shù)，當(dāng) 0 x1時(shí)，f(x)2x(1x)，則 f 2()A.12B.14D.12解析 因?yàn)?f(x)是周期為 2 的奇函數(shù)，所以25 f 25 f 21 21.故選 A.答案 A12(2012 福州一中月考 )f(x)x1x的圖象關(guān)于 ()xAy 軸對稱B直線

5、yx 對稱C坐標(biāo)原點(diǎn)對稱D 直線 y x 對稱11解析 f(x)的定義域?yàn)?(，0)(0， )，又 f(x) (x) xx x f(x)，則 f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱答案 C3(2011 廣東)設(shè)函數(shù) f(x)和 g(x)分別是 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒 成立的是 ()Af(x) |g(x)|是偶函數(shù)Bf(x)|g(x)|是奇函數(shù)C |f(x)|g(x)是偶函數(shù)D|f(x)|g(x)是奇函數(shù)解析 由題意知 f(x)與|g(x)|均為偶函數(shù)，A 項(xiàng)：偶偶偶； B 項(xiàng)：偶偶偶，B 錯(cuò)；C項(xiàng)與 D 項(xiàng)：分別為偶奇偶，偶奇奇均不恒成立，故選 A. 答案 A4(2011 福建)對于

6、函數(shù) f(x)asin xbxc(其中，a，bR，cZ)，選取 a，b， c 的一組值計(jì)算 f(1)和 f( 1)，所得出的正確結(jié)果一定不可能是 ()A4 和 6B3和 1C2和 4D1 和 2解析 f(1)asin 1bc，f(1)asin 1bc且 cZ，f(1)f(1)2c 是偶數(shù)，只有 D 項(xiàng)中兩數(shù)和為奇數(shù)，故不可能是 D.答案 D5(2011 浙江)若函數(shù) f(x)x2|xa|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) a.解析 法一 f(x) f(x)對于 xR 恒成立，|xa|xa|對于 x R 恒成立，兩邊平方整理得 ax0 對于 x R 恒成立，故 a0.法二 由 f(1)f(1)，又 f(x)ln(

7、 xx 21）ln1 2x x21得 |a1|a1|，得 a0. 答案 0ln(x x考向一 判斷函數(shù)的奇偶性【例 1】?下列函數(shù)： 1) f(x)，則 f(x) 為奇函數(shù)；3判斷函數(shù)的奇偶性的一般方法是： (1)求函數(shù)的定義域； (2)證明 f( x)f(x)或 f(x) f(x)成立；或者通過舉反例證明以上兩式不成立如果二者皆未做到是不能下任何結(jié)論的，切忌主觀臆斷【訓(xùn)練 1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性： 4x2f(x)|x3|3； 2 f(x)x2|xa|2. 4 x 0， 解 (1)解不等式組 |x3|30， 得 2x0，或 00 得 1x0.審題視點(diǎn) (1)用定義判斷或用特值法否定； (2

8、)由奇偶性知只須求對稱區(qū)間上的函數(shù)值大于 0.解 法一 f(x)的定義域是 (，0)(0， )1 1 x 2x 1 f(x) x 2x12 22x1.x 2x1 x 2x 1 f( x) 2 2x122x 1f(x)故 f(x) 是偶函數(shù)法二 f(x)的定義域是 (， 0)(0， )，)3f(1)2，f(x)不是奇函數(shù)1 1 1 11 2x x 2x112x1f(x) f( x)x 2x 1 2 x 2x12x 21x211 x(11)0，f(x)f(x)，f(x)是偶函數(shù)(2)證明 當(dāng) x0 時(shí)，2x1,2x10，11所以 f(x)x 2x 1 2 0.當(dāng) x0，所以 f( x)0，又 f(

9、x)是偶函數(shù)，f( x)f(x)，所以 f(x)0.綜上，均有 f(x) 0.根據(jù)函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是常用的方法奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同； 偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反 所以對具有奇偶性 的函數(shù)的單調(diào)性的研究，只需研究對稱區(qū)間上的單調(diào)性即可【訓(xùn)練 2】已知奇函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?2,2，且在區(qū)間 2,0內(nèi)遞減，求滿足： f(1m)f(1m2)0 的實(shí)數(shù) m 的取值范圍解 f(x)的定義域?yàn)?2,2，21m2，有 221m22，解得 1 m 3.又 f(x)為奇函數(shù)，且在 2,0上遞減，在 2,2上遞減，f(1m)m21，即2m1.綜合可知， 1 m1.考向三 函數(shù)的奇

10、偶性與周期性【例 3】?已知函數(shù) f(x)是(，)上的奇函數(shù)，且 f(x)的圖象關(guān)于 x1 對稱，當(dāng) x0,1時(shí)， f(x)2x1，(1)求證： f(x)是周期函數(shù)；當(dāng) x1,2 時(shí)，求 f(x)的解析式；計(jì)算 f(0)f(1)f(2) f(2013)的值審題視點(diǎn) (1)只需證明 f(xT)f(x)，即可說明 f(x)為周期函數(shù)；由 f(x)在0,1上的解析式及 f(x)圖象關(guān)于 x1對稱求得 f(x)在1,2上的解析式； (3)由周期性求和的值(1)證明 函數(shù) f(x)為奇函數(shù)，則 f(x) f(x)，函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于 x1 對稱， 則 f(2x)f(x) f(x)，所以 f(4x)

11、f(2x)2f(2x)f(x)，所以 f(x) 是以 4 為周期的周期函數(shù)(2)解 當(dāng) x1,2 時(shí)，2x0,1，又 f(x)的圖象關(guān)于 x1 對稱，則 f(x)f(2x)22x1， x1,2 (3)解 f(0)0，f(1)1，f(2)0， f(3)f(1)f(1)1 又 f(x) 是以 4 為周期的周期函數(shù)f(0)f(1)f(2) f(2013) f(2 012)f(2 013) f(0) f(1)1.判斷函數(shù)的周期只需證明 f(xT) f(x)(T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)， 且周期為 T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點(diǎn)問 題【訓(xùn)練 3】 已知 f(x)是定義在

12、R 上的偶函數(shù)， g(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且 g(x)f(x1)，則 f(2 013)f(2 015)的值為()A 1 B1 C0 D無法計(jì)算解析 由題意，得 g( x)f(x1)，又f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)， g(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)， g( x) g(x)， f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x) f(x2)，f(x)f(x4)， f(x)的周期為 4，f(2 013) f(1)，f(2 015)f(3) f( 1)，又f(1)f(1)g(0)0， f(2 013) f(2 015)0.答案 C規(guī)范解答 3 如何解決奇偶性、單調(diào)性、周期性的交匯問題問題研

13、究】 函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性是函數(shù)的三大性質(zhì)，它們之間既 有區(qū)別又有聯(lián)系， 高考作為考查學(xué)生綜合能力的選拔性考試， 在命題時(shí)， 常常將 它們綜合在一起命制試題 .【解決方案】 根據(jù)奇偶性的定義知，函數(shù)的奇偶性主要體現(xiàn)為 f x 與 f x 的相 等或相反關(guān)系，而根據(jù)周期函數(shù)的定義知，函數(shù)的周期性主要體現(xiàn)為f xT 與f x 的關(guān)系，它們都與 f x 有關(guān)，因此，在一些題目中，函數(shù)的周期性常常通過函 數(shù)的奇偶性得到 .函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的 是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律， 因此，在解題時(shí)， 往往需借助函數(shù)的奇偶 性或周期性來確定函數(shù)在另一區(qū)間上的單調(diào)性，

14、 即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換， 再利用單調(diào) 性來解決相關(guān)問題 .【示例】?（本題滿分 12分）（2011 沈陽模擬 ）設(shè) f（x）是（，）上的奇函數(shù)， f（x 2）f（x），當(dāng) 0 x1 時(shí)， f（x）x.（1）求 f（ 的）值；（2）當(dāng)4x4 時(shí)，求 f（x）的圖象與 x 軸所圍成圖形的面積；（3）寫出（， ）內(nèi)函數(shù) f（x）的單調(diào)增 （或減）區(qū)間第（1）問先求函數(shù) f（x）的周期，再求 f（ ；）第（2）問，推斷函數(shù) yf（x）的圖象關(guān)于直線 x1 對稱，再結(jié)合周期畫出圖象，由 圖象易求面積；第（3）問，由圖象觀察寫出解答示范 （1）由 f（x2）f（x）得， f（x4）f（x2）2f（x2）f（x

15、）， 所以 f（x）是以 4 為周期的周期函數(shù)， （2 分） f（ ）f（14）f（4） f（4 ） （4） 4.（4 分）(2)由 f(x)是奇函數(shù)與 f(x2)f(x)，得： f(x1)2f(x1)f(x1)， 即 f(1 x)f(1 x)故知函數(shù) yf(x)的圖象關(guān)于直線 x1 對稱 (6 分 )又 0 x1時(shí)，f(x)x，且 f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱， 則 f(x)的圖象如圖所 示(8 分)當(dāng) 4x 4 時(shí)，f(x)的圖象與 x軸圍成的圖形面積為 S，則1S4SOAB4 2 2 1 4.(10 分)函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 4k1,4k1(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間 4k1,4k3(k Z)(12分)關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題【試一試】 已知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x4)f(x)，且在區(qū)間 0,2 上是增函數(shù)，則 ()A