同化算法課程

1、同化1.基本概念1.1分析在氣象學(xué)及地球物理的其他分支中確定某時刻的物理系統(tǒng)得真實狀態(tài)的過程稱為分析。 作為分析的基礎(chǔ)的信息包括觀測數(shù)據(jù)以及物理系統(tǒng)及其初邊值條件，還可能有對分析的 約束條件。分析本身對描述物理系統(tǒng)是有用的，它也可以作為研究系統(tǒng)演化的初始狀態(tài)。 例1：經(jīng)典分析方法。在計算機的發(fā)明之前，氣象學(xué)家是用手工做氣象分析的。觀測 是在大致同時（例如在船上報告12UTC（Coordinated Universal Time協(xié)調(diào)世界時）表面 壓力）對溫度，風(fēng)及壓力作記錄。這些手工的分析比僅僅用觀測數(shù)據(jù)作空間的插值得到 的更多，有些人把它用于早期數(shù)值天氣預(yù)報。方法如下：把預(yù)報模型在格點處的首次

2、猜 測場插值到觀測點，把觀測值與插值的差插值回格點作為訂正（隨著格點與觀測點的距 離的增大而減少）。這個方法的重要的一步就是在對觀測值的插值時首次猜測場的引入。 雖然這個早期的工作引出了最優(yōu)插值法，但它仍然是廣泛使用的分析方法。例2：臭氧分析。臭氧是在空間用遙感測量的。一天得到的數(shù)據(jù)覆蓋了大部分地球，如 果用分析的方法來把空缺部分的數(shù)據(jù)補充完整從而得到全球的臭氧圖。但是數(shù)據(jù)是在 24小時的時間區(qū)間上得到的，而臭氧場在某些地方某些時刻可能有很大的變化，所以 我們在空間的插值效果可能很差。一個更好的分析方法是把臭氧的動態(tài)演化和觀測的時 間考慮在內(nèi)。這樣就可以得到符合大氣臭氧演變的全景圖。例3.天氣

3、預(yù)報：分析者的前期準(zhǔn)備工作是：以初始條件為天氣預(yù)報的基礎(chǔ)，加上新得 到的觀測值、把以前分析得到的預(yù)報值作為大氣狀態(tài)的背景場的估計值。在分析的準(zhǔn)備 工作中，一個特別要做的工作通常是用附加的約束條件來衰減重力波。在地球物理系統(tǒng)的時間演化的預(yù)報中一個特別的挑戰(zhàn)就是系統(tǒng)的非線性性及對初始條 件的敏感性。我們熟知，即使對于一個完美的預(yù)報模型，任何預(yù)報在有限時間后就會和 真實狀態(tài)發(fā)生很大的偏離。這個例子就是Duffing方程：假設(shè)真實狀態(tài)是X + 0.05X + X3 = 7.5cos t, x（0） = 3,x （0） 二 4而把分析誤差解釋為初始條件，分析的初始條件為x（0） = 3.01, X （0

4、） = 4.01，則在時間t = 35以后解就發(fā)生越來越大的偏離。1.2 同化如上討論的，一個分析可以很簡單，比如空間的插值。然而，更好的結(jié)果可以通過在分 析中考慮到物理系統(tǒng)的動態(tài)演化。一個結(jié)合了關(guān)于時間分布的觀測值以及動態(tài)模型的分 析方法稱為同化或數(shù)據(jù)同化。同化問題可以從多角度來討論，取決于背景及喜好（比如控制論，估計理論，概率論， 變分分析等等）。在數(shù)值模式中的算法中最常用的是離散方法。然而，在此介紹中要說 明的是不同的同化算法是怎樣從同一個常用來源得到的。并對每種算法給出其近似程度 （特別是最優(yōu)插值，三維變分，四維變分，卡爾曼濾波）。其中最吸引人的方法是從變 分的觀點討論連續(xù)的同化問題。

5、先來看同化問題和熟悉的初值問題的不同之處。同化問題可以看成帶有誤差的初值問題。模式狀態(tài)x的方程帶有模式誤差廣，初始值帶有背景誤差廣，觀測值J帶有觀 mbno,n測誤差8。_初m ，x(0) = x (0) + uVbb其中氣是觀測算子，1.3以概率方式的描述1.3.1概率密度函數(shù)上述同化問題含有未知的誤差，+ M(X) = -_通過模式計算得出格點n處的觀測值yn。y = H (x) + s, n = 1,.,N故顯然其解是統(tǒng)計意義上的。因此需要了解有關(guān)誤差的統(tǒng)計 特點。對于特定系統(tǒng)的觀測誤差和模式誤差的特征的刻畫是數(shù)據(jù)同化的另一個基礎(chǔ)。最理想 的情況是得到誤差的全概率密度函數(shù)P(m，匕,七,

6、t)，但實際上我們對？了解甚少，至多知 道其期望值及協(xié)方差。在大部分情況下，我們假定模式誤差、背景誤差和觀測誤差是互不相關(guān)的。這時，全概 率密度函數(shù)是各密度函數(shù)(模式誤差概率密度函數(shù)Pm，背景誤差概率密度函數(shù)p，觀測誤差概率密度函數(shù)P)的乘積：P = P PP = exp(lnP + lnP + lnP )。om b ombo看起來最佳的分析解對應(yīng)于P的最大值。但實際上不總是這樣的。例：考慮一個一維的概率P，設(shè)在觀測值為y時發(fā)生x的條件概率為P(xly)，對于一個高 斯分布，x的最大似然點和x的均值點是重合的，故選取密度函數(shù)的最大值是最佳的。但對 于一個非高斯分布，x的最大似然點是不同于x的均

7、值點。這時x的最大似然點并不是一個 最好的解。因此我們必須要研究實際的密度函數(shù)以保證最大似然解的確是我們要的分析解。1.3.2 代價函數(shù)概率的最大化常常表示為概率密度的負指數(shù)的最小化：(稱之為代價函數(shù)J)min J = min (- lnP lnP lnP) = min(J + J + J )m b 0m b o例：假設(shè)忽略模式誤差，且P =1exp(-WB-區(qū) /2)，P =1exp(-WR-g /2)，b2兀 | B| b b o：2兀 | R|o o其中B是背景誤差協(xié)方差陣，R是觀測誤差協(xié)方差陣，則忽略不影響結(jié)果的常數(shù)后代價函 數(shù)為J = &B-區(qū) +U，R-區(qū))/2=(X(0)-X (

8、0)而-1(眼(0)-x (0) + (y-H保)R-1(y-H(X)/2bb當(dāng)觀測算子是線性算子時，代價函數(shù)是X的二次函數(shù)，這時有惟一的最小解。而且最小解的 計算是高效的。但在實際問題中，模式和觀測算子都是非線性的。得到的只能保證是局部 最小解，不一定是全局最小解。不過，對于高斯誤差，有很有效的算法，它對代價函數(shù)作局 部的線性化疊代而得到最優(yōu)解。在氣象學(xué)中，高斯分布通常是一個很好的近似分布。2.變分?jǐn)?shù)據(jù)同化2.1誤差協(xié)方差陣與偏差2.1.1協(xié)方差陣模式誤差協(xié)方差陣Q=Q(W t, , t)描述在兩個不同相時點的協(xié)方差，階數(shù)同方程中未知量 的個數(shù)。背景誤差協(xié)方差陣B=B(g,；)描述在兩個不同

9、相點的協(xié)方差觀測誤差協(xié)方差陣R分析誤差協(xié)方差陣A=A0頊)，2.1.2偏差偏差是同化中的一大困難，在協(xié)方差陣中可能會有非零的偏差，而實際上卻很難確定它。比 如不能確定偏差是由觀測還是模型預(yù)報來的。在同化算法中怎樣加入偏差以及如何估計偏差 都是具有挑戰(zhàn)性的工作。一旦知道的偏差，我們可以通過減去這個偏差而得到一個無偏的量，這稱為無偏化。2.2變分同化問題的描述對于誤差是高斯分布的情況，最大似然解就是最佳的解，這時代價函數(shù)是二次型：J(x) = 2芝(；,t)Q-nT (礦tXgdgdtdt+ 2 Jg； (g)B-i% 育)d；d己 + 2廣(如)R- 育,t)dgdM，dtdt 其中關(guān)于時間的積

10、分是在同化窗口0,T 上進行的，E (C,t)=W (C,t)(y H (X)， onn n甲(C,t)是一局部化函數(shù)：m (?,t)d?dt = 1 nn設(shè)X是J(x)的最小解，令X(C,t) = X (C,t) +而(如)，則對于任意數(shù)Y及任意函數(shù) aan&t)，g(Y)：=J(X(如)-J(Xa(如)0,故譬 =0,即Y=0J dgdt*|聽Q-18texJ-i(X (耿0) - x 含,0)d 灑ab-J 竺 1 R-i (y - H(X )dgdgdtdt=0版Jadg(Y)dty=。JiT (；0) B竺 廠所(+M(X &,t，) d?dtJ記兀(?,t) ：=J Q-1成(頊/、版(x (?,t ,)dgdt J分部積分得Jn (& 具)兀(& 具)dgdgdl TOC o 1-5 h z +椅_竺2*血兀(8