《現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算》課件3.2 正交多項(xiàng)式

1、 總結(jié)2 連續(xù)區(qū)間上的正交多項(xiàng)式1 離散點(diǎn)集上的正交多項(xiàng)式3.2 正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近 3.2 正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近正交多項(xiàng)式是數(shù)值計(jì)算中的重要工具，這里只介紹正交多項(xiàng)式的基本概念、某些性質(zhì)和構(gòu)造方法。離散情形的正交多項(xiàng)式用于下節(jié)的數(shù)據(jù)擬合，連續(xù)情形的正交多項(xiàng)式用于生成最佳平方逼近多項(xiàng)式和下章的高斯型求積公式的構(gòu)造。它們?cè)跀?shù)值分析的其他領(lǐng)域中也有不少應(yīng)用。定義3.1 設(shè)有點(diǎn)集 xi i=0,1,m ,函數(shù) f (x) 和 g (x) 在離散意義下的內(nèi)積定義為 (1)其中i0為給定的權(quán)數(shù)。在離散意義下，函數(shù)f (x)的2-范數(shù)定義為(2)有了內(nèi)積，就可以定義正交性。若函數(shù) f (x) 和

2、 g (x) 的內(nèi)積 (f , g)=0，則稱兩者正交。1 離散點(diǎn)集上的正交多項(xiàng)式若多項(xiàng)式組k(x)k=0,n 在離散意義下的內(nèi)積滿足(3)則稱多項(xiàng)式組k(x)k=0,n為在離散點(diǎn)集 xii=0,1,m 上的帶權(quán) ii=0,m的正交多項(xiàng)式序列.下面給出離散點(diǎn)集上正交多項(xiàng)式的構(gòu)造方法 . 給定點(diǎn)集xi i=0,1,m和權(quán)數(shù) ii=0,m ，并且點(diǎn)集 xi i=0,1,m中至少有n+1個(gè)互異，則由下列三項(xiàng)遞推公式 （4）給出的多項(xiàng)式序列 是正交多項(xiàng)式序列，其中（5） 三項(xiàng)遞推公式（4）是構(gòu)造正交多項(xiàng)式的簡(jiǎn)單公式，此外，還有其他的特殊的情形，這里，不進(jìn)一步討論。 例3.3 已知點(diǎn)集 xi i=0,1

3、,4 =0,0.25,0.5,0.75,1 和 權(quán)數(shù) ii=0,4 =1,1,1,1,1.試用三項(xiàng)遞推公式求關(guān)于該點(diǎn)集的正交多項(xiàng)式 解 先令 P0(x)=1 ，由此得由此得從而有2 連續(xù)區(qū)間上正交多項(xiàng)式 連續(xù)區(qū)間上的正交多項(xiàng)式的概念與離散點(diǎn)集上的正交多項(xiàng)式概念相似，只要將內(nèi)積的定義作相應(yīng)的改變 。定義3.2 函數(shù)f (x)和 g (x)在連續(xù)意義下的內(nèi)積定義為 （6）其中的 (x)0為給定的權(quán)函數(shù)。 按連續(xù)意義下的內(nèi)積，若多項(xiàng)式組k(x)k=0,n 滿足條件(7),則稱它為在區(qū)間a,b 上的帶權(quán) (x)的正交多項(xiàng)式序列。事實(shí)上，例3.4 三角函數(shù)組上是關(guān)于權(quán)函數(shù)1的正交組。正交多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞推

4、公式: 是首項(xiàng)系數(shù)為1的i次多項(xiàng)式，則 滿足遞推公式:下面給出幾種常用的正交多項(xiàng)式. (1) 勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式.正交多項(xiàng)式記為 ，由三項(xiàng)遞推公式得(8)它們是在區(qū)間 -1,1上的帶權(quán) (x)=1的正交多項(xiàng)式.它們的根都是在開區(qū)間 (-1,1)上的單根,并且與原點(diǎn)對(duì)稱. (2)第一類Chebyshev多項(xiàng)式. 第一類Chebyshev多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式給出.它們是在區(qū)間-1,1上的帶權(quán) 的正交多項(xiàng)式.(9)它們的根都在開區(qū)間（-1，1）上的單根，并且與原點(diǎn)對(duì)稱。前幾個(gè)第一類Chebyshev多項(xiàng)式如下:（3）拉蓋爾(Laguerre)多項(xiàng)式。 Laguerre多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式給出。它們是在區(qū)間0,+)上帶權(quán) 的正交多項(xiàng)式。前幾個(gè)Laguerre多項(xiàng)式如下: 它們的根都是在區(qū)間（0，+）上的單根。(4) Hermite 多項(xiàng)式Hermite多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推