彈塑性本構(gòu)關(guān)系(1)

1、第三章 彈塑性本構(gòu)關(guān)系 3.1塑性位勢(shì)理論3.2硬化規(guī)律3.3 彈塑性本構(gòu)關(guān)系教師：徐平 下載：1:2007 TEL:137331890573.1 塑性位勢(shì)理論流動(dòng)法則模型三要素屈服條件流動(dòng)法則硬化規(guī)律判斷何時(shí)達(dá)到屈服屈服后塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较?，也即各分量的比值決定給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變?cè)隽看笮”竟?jié)內(nèi)容屈服后塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较颍布锤鞣至康谋戎?.1.1 加載與卸載準(zhǔn)則 1 加載曲面(后繼屈服面) 由單向拉伸試驗(yàn)知道，對(duì)理想塑性材料，一旦屈服以后，其應(yīng)力保持常值(屈服應(yīng)力)，卸載后再重新加載時(shí)其屈服應(yīng)力的大小也不改變(沒(méi)有強(qiáng)化現(xiàn)象)。對(duì)于強(qiáng)化材料則不同，在開(kāi)始屈服之后，隨著塑性變形的發(fā)展其

2、應(yīng)力值繼續(xù)增加。卸載后再重新加載至開(kāi)始屈服的應(yīng)力時(shí)材料并不屈服，要加到原來(lái)卸載開(kāi)始時(shí)的應(yīng)力，材料才再次屈服，因此重新加載時(shí)的屈服應(yīng)力要高于原始加載時(shí)的屈服應(yīng)力，這就是強(qiáng)化現(xiàn)象。 與簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)相同，當(dāng)材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下進(jìn)入塑性后卸載，然后再次加載時(shí)，屈服函數(shù)也會(huì)隨著發(fā)生過(guò)的塑性變形歷史而有所改變。當(dāng)應(yīng)力分量滿足某種關(guān)系時(shí)，材料將重新進(jìn)入塑性狀態(tài)而產(chǎn)生新的塑性變形。這種現(xiàn)象稱為強(qiáng)化。材料在初始屈服后再次進(jìn)入塑性狀態(tài)時(shí)，應(yīng)力分量間所必須滿足的函數(shù)關(guān)系稱為后繼屈服條件或加載條件。該條件在應(yīng)力空間中的圖形稱為后繼屈服曲面或加載曲面。 Oij0dij后繼屈服曲面(加載曲面)初始屈服曲面2 簡(jiǎn)單加載和復(fù)

3、雜加載 其中 分別為某一定值，t為由零開(kāi)始的單調(diào)增函數(shù)。此時(shí)顯然Lode應(yīng)力參數(shù) 保持不變，從而使應(yīng)力張量（應(yīng)力偏張量）的主方向保持不變，這種加載方式稱為簡(jiǎn)單加載或比例加載。在簡(jiǎn)單加載過(guò)程中，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在應(yīng)力空間中將沿矢徑 移動(dòng)，如圖所示。 在復(fù)雜加載時(shí)，一點(diǎn)的應(yīng)力張量各分量不按比例增加， 在改變，應(yīng)力張量和應(yīng)力偏張量的主方向也隨之改變。一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)在應(yīng)力空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡就不再是從原點(diǎn)開(kāi)始的射線，如圖所示。(1) 理想彈塑性材料的加載和卸載準(zhǔn)則 理想彈塑性材料在應(yīng)力空間中的屈服面位置和形狀是不變的，當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)保持在屈服面上時(shí)稱之為加載，這時(shí)塑性變形可任意增長(zhǎng)(后面將證明，各塑性應(yīng)變分量之間的

4、比例不是任意的，需要滿足一定的關(guān)系)；當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)從屈服面上改變屈服面之內(nèi)時(shí)稱之為卸載。如果以F(ij)=0表示屈服面，則可以把上述加載和卸載準(zhǔn)則用數(shù)學(xué)形式表示如下：(2) 加工硬化材料的加載和卸載準(zhǔn)則 加工硬化材料的屈服面隨著塑性變形的發(fā)展而不斷地變化，加工硬化材料的加載和卸載準(zhǔn)則與理想彈塑性材料不同，對(duì)加工硬化材料，當(dāng)d指向屈服面之外時(shí)才算加載，而當(dāng)d正好沿著屈服面變化時(shí)，屈服面不會(huì)發(fā)生變化，這種變化過(guò)程叫做中性變載。它對(duì)應(yīng)于應(yīng)力狀態(tài)從一個(gè)塑性狀態(tài)過(guò)渡到另一個(gè)塑性狀態(tài)，但不會(huì)引起新的塑性變形。對(duì)單向應(yīng)力狀態(tài)或理想彈塑性材料沒(méi)有這個(gè)過(guò)程，當(dāng)d向著屈服面內(nèi)部變化時(shí)，稱之為卸載過(guò)程，如果用 (ij,

5、H)=0表示后繼屈服條件，則：應(yīng)力空間(3) 加工軟化材料的加載和卸載準(zhǔn)則 軟化材料，應(yīng)力變化矢量指向屈服面內(nèi)部，須在應(yīng)變空間中判斷加卸載應(yīng)變空間3.1.2 德魯克塑性公設(shè)穩(wěn)定材料與非穩(wěn)定材料德魯克塑性公設(shè)的表述德魯克公設(shè)的重要推論德魯克塑性公設(shè)的評(píng)述依留申塑性公設(shè)的表述附加應(yīng)力對(duì)附加應(yīng)變負(fù)做功，即附加應(yīng)力對(duì)附加應(yīng)變做功為非負(fù)，即有(1) 穩(wěn)定材料與非穩(wěn)定材料穩(wěn)定材料非穩(wěn)定材料（應(yīng)變硬化和理想塑性材料）（應(yīng)變軟化材料）德魯克公設(shè)和依留申公設(shè)是傳統(tǒng)塑性力學(xué)的基礎(chǔ)，它把塑性勢(shì)函數(shù)與屈服函數(shù)緊密聯(lián)系在一起。德魯克公設(shè)只適用于穩(wěn)定材料，而依留申既適用于穩(wěn)定材料，又適用于不穩(wěn)定材料。(2) 德魯克塑性公

6、設(shè)的表述 德魯克公設(shè)可陳述為：對(duì)于處在某一狀態(tài)下的穩(wěn)定材料的質(zhì)點(diǎn)(試件)，借助于一個(gè)外部作用在其原有應(yīng)力狀態(tài)之上，緩慢地施加并卸除一組附加壓力，在附加應(yīng)力的施加和卸除循環(huán)內(nèi)，外部作用所作之功是非負(fù)的。 設(shè)材料單元體經(jīng)歷任意應(yīng)力歷史后，在應(yīng)力ij0下處于平衡，即開(kāi)始應(yīng)力ij0在加載面內(nèi)，然后在單元體上緩慢地施加一個(gè)附加力，使ij0達(dá)到ij，剛好在屈服面上，再繼續(xù)加載到ij+dij，在這一階段，將產(chǎn)生塑性應(yīng)變dijp，最后應(yīng)力又卸回到ij0。若整個(gè)應(yīng)力循環(huán)過(guò)程中，附加應(yīng)力dij所作的塑性功不小于零，即附加應(yīng)力的塑性功不出現(xiàn)負(fù)值，則這種材料就是穩(wěn)定的，這就是德魯克公設(shè)。在應(yīng)力循環(huán)中，外載所作的功為：

7、不論材料是不是穩(wěn)定，上述總功不可能是負(fù)的，不然，我們可通過(guò)應(yīng)力循環(huán)不斷從材料中吸取能量，這是不可能的。要判斷材料穩(wěn)定必須依據(jù)德魯克公設(shè)，即附加應(yīng)力所作的塑性功不小零得出由于彈性應(yīng)變ije在應(yīng)力循環(huán)中是可逆的，因而于是有：(3) 德魯克塑性公設(shè)的重要推論屈服面的外凸性塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚺c加載曲面正交1 屈服曲面的外凸性此式限制了屈服面的形狀： 對(duì)于任意應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力增量方向與塑性應(yīng)變向量之間所成的夾角不應(yīng)該大于90穩(wěn)定材料的屈服面必須是凸的.(a)滿足穩(wěn)定材料的屈服面(b) 不滿足穩(wěn)定材料的屈服面2 塑性應(yīng)變?cè)隽肯蛄颗c屈服面法向平行加載面切平面必與加載面的外法線重合，否則總可以找到A0使A0Adp

8、0不成立(如右圖)。標(biāo)量d，稱為塑性因子表明，塑性應(yīng)變分量ij之間的比例可由在加載面上的位置確定。加載準(zhǔn)則意義：只有當(dāng)應(yīng)力增量指向加載面的外部時(shí)才能產(chǎn)生塑性變形。3德魯克塑性公設(shè)的評(píng)述德魯克公設(shè)的適用條件：（1）應(yīng)力循環(huán)中外載所作的真實(shí)功與ij0起點(diǎn)無(wú)關(guān)；應(yīng)力循環(huán)中外載所作真實(shí)功與附加應(yīng)力功(2)附加應(yīng)力功不符合功的定義，并非真實(shí)功（4）德魯克公設(shè)的適用條件： ij0在塑性勢(shì)面與屈服面之內(nèi)時(shí)，德魯克公設(shè)成立； ij0在塑性勢(shì)面與屈服面之間時(shí)，德魯克公設(shè)不成立；附加應(yīng)力功為非負(fù)的條件（3）非真實(shí)物理功不能引用熱力學(xué)定律；勢(shì)面線屈服面（5）金屬材料的塑性勢(shì)面與屈服面基本一致。3.1.3 依留申塑性

9、公設(shè)的表述 依留申塑性公設(shè)：在彈塑性材料的一個(gè)應(yīng)變循環(huán)內(nèi)，外部作用做功是非負(fù)的，如果做功是正的，表示有塑性變形，如果做功為零，只有彈性變形發(fā)生。 設(shè)材料單元體經(jīng)歷任意應(yīng)力歷史后，在應(yīng)力ij0下處于平衡，即初始的應(yīng)變ij0在加載面內(nèi)，然后在單元體上緩慢地施加荷載，使ij達(dá)到屈服面，再繼續(xù)加載達(dá)到應(yīng)變點(diǎn)ij+dij，此時(shí)產(chǎn)生塑性應(yīng)變dijp 。然后卸載使應(yīng)變又回到原先的應(yīng)變狀態(tài)ij0，并產(chǎn)生了與塑性變量所對(duì)應(yīng)的殘余應(yīng)力增量dijp。殘余應(yīng)力增量與塑性應(yīng)變?cè)隽看嬖陉P(guān)系：式中，D為彈性矩陣。根據(jù)依留申公設(shè)，在完成上述應(yīng)變循環(huán)中，外部功不為負(fù)，即只有在彈性應(yīng)變時(shí)，上述WI=0。根據(jù)Druker塑性公設(shè)可

10、將Druker塑性公設(shè)改寫成：由圖(a)可知，對(duì)于彈性性質(zhì)不隨加載面改變的非耦合情況，外部作用在應(yīng)變循環(huán)內(nèi)做功WI和應(yīng)力循環(huán)所作的外部功之間僅差一個(gè)正的附加項(xiàng)：因此可將應(yīng)變循環(huán)所作的外部功，寫成上式表明，如果德魯克塑性公設(shè)成立，WD0，則依留申塑性公設(shè)也一定成立，反之，依留申塑性公設(shè)成立，并不要求WD0，也就是說(shuō)，德魯克塑性公設(shè)是依留申塑性公設(shè)的充分條件，而不是必要條件。ABCD當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)由A到B時(shí)，d0,塑性變形dp0，總變形d0應(yīng)變空間加載面外凸加載準(zhǔn)則(取大于號(hào)表示有新的塑性變形發(fā)生)塑性勢(shì)面與屈服面相同根據(jù) 關(guān)于 的正交法則，可得： 由應(yīng)力空間中的屈服與應(yīng)變空間中屈服面的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得：

11、結(jié)合可得：3.1.4 塑性位勢(shì)理論與流動(dòng)法則 與彈性位勢(shì)理論相類似，Mises于1928年提出塑性位勢(shì)理論。他假設(shè)經(jīng)過(guò)應(yīng)力空間的任何一點(diǎn)M，必有一塑性位勢(shì)等勢(shì)面存在，其數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為塑性位勢(shì)函數(shù)，記為：或式中，為硬化參數(shù)。塑性應(yīng)變?cè)隽靠梢杂盟苄晕粍?shì)函數(shù)對(duì)應(yīng)力微分的表達(dá)式來(lái)表示，即： 上式就稱為塑性位勢(shì)理論。它表明一點(diǎn)的塑性應(yīng)變?cè)隽颗c通過(guò)該點(diǎn)的塑性勢(shì)面存在著正交關(guān)系，這就確定了應(yīng)變?cè)隽康姆较?，也就確定了塑性應(yīng)變?cè)隽扛鞣至康谋戎怠?流動(dòng)規(guī)則也稱為正交定律，是確定塑性應(yīng)變?cè)隽扛鞣至康谋戎?，也即塑性增量方向的一條規(guī)定。上式是流動(dòng)規(guī)則的一種表示形式，另外還有另一種表示形式： 它表明塑性應(yīng)變?cè)隽颗c通過(guò)該點(diǎn)

12、的屈服曲面成正交關(guān)系。 與德魯克公設(shè)表達(dá)式比較，可以看出，服從于德魯克公設(shè)的材料，塑性勢(shì)函數(shù)g就是屈服函數(shù)。即g=，由此得到的塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系通常稱為與加載條件相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則。如果g ，即屈服面與塑性應(yīng)變?cè)隽坎徽唬瑒t其相應(yīng)的塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則。 在應(yīng)變空間，流動(dòng)規(guī)則可用下式表示：和都為非負(fù)的比例系數(shù)。3.2 硬化規(guī)律塑性模型三要素屈服條件流動(dòng)法則硬化規(guī)律判斷何時(shí)達(dá)到屈服屈服后塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较?，也即各分量的比值決定給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變?cè)隽看笮”竟?jié)內(nèi)容硬化規(guī)律：加載面在應(yīng)力空間中的位置、大小和形狀的變化規(guī)律。（確定加載面依據(jù)哪些具體的硬化參量而產(chǎn)生硬化的規(guī)律稱為硬化定

13、律）硬化模型：實(shí)際土體硬化規(guī)律+簡(jiǎn)化假設(shè)（如采用等值面硬化理論，主應(yīng)力方向不旋轉(zhuǎn)，加載面形狀不變等）金屬材料：采用等向強(qiáng)化和隨動(dòng)強(qiáng)化；巖土材料：靜力問(wèn)題采用等向強(qiáng)化；循環(huán)荷載 和動(dòng)力問(wèn)題采用隨動(dòng)強(qiáng)化或混合強(qiáng)化常用模型3.2.1 等向強(qiáng)化模型這種模型無(wú)論在哪個(gè)方向加載拉伸和壓縮強(qiáng)化總是相等地產(chǎn)生和開(kāi)展；在復(fù)雜加載條件下，即表示應(yīng)力空間中作形狀相似的擴(kuò)大，如圖中OABDDE代表等向強(qiáng)化，圖中B與D點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值均為s(指絕對(duì)值)，在這種情況下，壓縮屈服應(yīng)力和彈性區(qū)間都隨著材料強(qiáng)化而增大。 在應(yīng)力空間中，這種后繼屈服面的大小 只與最大的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而與中間的加載路徑無(wú)關(guān)。在右圖中，路徑1與路徑2

14、的最終應(yīng)力 狀態(tài)都剛好對(duì)應(yīng)于加載過(guò)程中最大應(yīng)力狀態(tài)，因此兩者的最終后繼屈服是一樣的；而路徑3的最終后繼屈服面由加載路徑中最大應(yīng)力狀態(tài)來(lái)定。3.2.2 隨動(dòng)強(qiáng)化模型 圖中OABCDE代表隨動(dòng)強(qiáng)化模型，彈性卸載區(qū)間是襯始屈服應(yīng)力s的兩倍。根據(jù)這種模型，材料的彈性區(qū)間保持不變，但是由于拉伸時(shí)的強(qiáng)化而使壓縮屈服應(yīng)力幅值減小。 與等向強(qiáng)化模型不同，隨動(dòng)強(qiáng)化模型是考慮包辛格效應(yīng)的。在單向拉壓情況下，隨動(dòng)強(qiáng)化模型可以用下式表示：包辛格逆效應(yīng)（Bauschinger）分直接包辛格效應(yīng)及包辛格逆效應(yīng)。直接包辛格效應(yīng)指拉伸后鋼材縱向壓縮屈服強(qiáng)度小于縱向拉伸屈服強(qiáng)度，如圖1所示；包辛格逆效應(yīng)在相反的方向產(chǎn)生相反的結(jié)

15、果，如圖2所示。 普拉格將隨動(dòng)強(qiáng)化模型推廣到復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)中，他假定在塑性變形過(guò)程中，屈服面形狀和大小都不改變，只是在應(yīng)力空間內(nèi)作剛體平移。3.2.3 混合強(qiáng)化模型 運(yùn)動(dòng)硬化和等向硬化的組合，可以構(gòu)成更一般的硬化模型，稱為混合強(qiáng)化模型這時(shí)，后繼屈服面既有位置的改變，也產(chǎn)生均勻的膨脹。等向強(qiáng)化混合強(qiáng)化隨動(dòng)強(qiáng)化(運(yùn)動(dòng)強(qiáng)化)初始屈服面3.2.4 加工硬化規(guī)律 加工硬化規(guī)律是決定一個(gè)給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變?cè)隽康囊粭l規(guī)則，在流動(dòng)規(guī)律中，d這個(gè)因素可以假定為：式中，A為硬化參數(shù)H的函數(shù)。 不同的學(xué)者曾建議不同的硬化規(guī)律來(lái)計(jì)算A的數(shù)值，常用的硬化規(guī)律有下列幾種：塑性功Wp硬化定律：矩陣形式：由得：塑性應(yīng)

16、變ijp硬化定律：進(jìn)一步有：由得： 塑性體應(yīng)變vp 硬化定律設(shè)廣義塑性力學(xué)中，如果取于是：矩陣形式：由則有：3.3 彈塑性本構(gòu)關(guān)系屈服條件流動(dòng)法則硬化規(guī)律判斷何時(shí)達(dá)到屈服屈服后塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较颍布锤鞣至康谋戎禌Q定給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變?cè)隽看笮”竟?jié)內(nèi)容塑性本構(gòu)關(guān)系彈性本構(gòu)關(guān)系彈塑性本構(gòu)關(guān)系 塑性增量理論又稱為塑性流動(dòng)理論，它把塑性變形看成非線性流動(dòng)。塑性增量理論把應(yīng)變?cè)隽糠譃閺椥詰?yīng)變?cè)隽亢退苄詰?yīng)變?cè)隽績(jī)刹糠?，即式中，彈性?yīng)變?cè)隽繎?yīng)用廣義虎克定律 計(jì)算，塑性應(yīng)變?cè)隽扛鶕?jù)塑性增量理論計(jì)算。塑性增量理論主包括三個(gè)部分：關(guān)于屈服面理論，關(guān)于流動(dòng)規(guī)則理論，關(guān)于加工硬化(或軟化)理論。應(yīng)用彈塑性增

17、量理論計(jì)算塑性應(yīng)變：首先，要確定材料的屈服條件，對(duì)加工硬化材料，需要確定材料是否服從 相關(guān)聯(lián)流動(dòng)規(guī)則。若材料服從不相聯(lián)流動(dòng)規(guī)則，沿需確定材料的塑性勢(shì)函數(shù)。然后，還需要確定材料的硬化或軟化規(guī)律。最后可運(yùn)用流動(dòng)規(guī)則理論確定塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较?，根?jù)硬化規(guī)律計(jì)算塑性應(yīng)變?cè)隽康拇笮　?.3.1 塑性增量理論3.3.2 一個(gè)普遍的彈塑性模量張量表達(dá)式 加工硬化規(guī)律是決定一個(gè)給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變?cè)隽康囊粭l規(guī)則，在流動(dòng)規(guī)律中，d這個(gè)因素可以假定為：廣義虎克定律用增量形式表示：根據(jù)塑性勢(shì)函數(shù)：以及進(jìn)一步有：(b)(a)將(b)代入(a)得：再代入(b)得：彈塑性模量張量彈性狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)彈性應(yīng)變塑性狀態(tài)當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài)、加卸載狀態(tài)、加載歷史、加載路徑、微觀結(jié)構(gòu)塑性應(yīng)變沿加載路徑積分應(yīng)力應(yīng)變?nèi)筷P(guān)系應(yīng)力應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系彈塑性本構(gòu)關(guān)系的建立3.3.3 廣義虎克定律基本方程增量表達(dá)式于是：于是代入引入側(cè)限變形模量M彈性常數(shù)關(guān)系表3.3.4 無(wú)靜水壓力影響的理想彈塑性材料本構(gòu)關(guān)系理想塑性材料，適用于金屬材料。采用相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則 由于某屈服單元周圍材料仍處于彈性狀態(tài)，限制了 其塑性應(yīng)變的發(fā)展，其d值不會(huì)任意發(fā)展，而將依靠問(wèn)題的整體來(lái)定。屈服函數(shù)記為：塑性應(yīng)變?cè)隽?/p>