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1、梁的彎曲問題的強(qiáng)度計(jì)算內(nèi)容提要 主要介紹彎曲變形的基本概念和彎曲變形的內(nèi)力,以及內(nèi)力圖的繪制和等截面直梁平面彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力的計(jì)算。重點(diǎn)是內(nèi)力圖的繪制和梁的彎曲強(qiáng)度條件及其計(jì)算。1 平面彎曲的概念工程實(shí)例1.1 平面彎曲的概念 建筑結(jié)構(gòu)中很多桿件承受的荷載,是一組作用線垂直于桿件軸線的力(我們稱這種力為橫向力),或者是通過桿件軸線平面內(nèi)的外力偶。在這些外力的作用下,桿件的橫截面要發(fā)生相對(duì)的轉(zhuǎn)動(dòng),桿件的軸線也要變彎,這種變形稱為彎曲變形。凡是以彎曲變形為主要變形的構(gòu)件,通常稱為梁。 梁的軸線方向稱為縱向,垂直于軸線的方向稱為橫向。梁的橫截面是指垂直于梁軸線的截面,一般都具有對(duì)稱性,存在著至少一
2、個(gè)對(duì)稱軸。常見的橫截面形狀有圓形、矩形、工字形和T形等。梁的縱平面是指通過梁軸線的平面,有無窮多個(gè)。我們?cè)谶@里只討論有縱向?qū)ΨQ面的梁。所謂縱向?qū)ΨQ面,是指梁的橫截面的對(duì)稱軸與梁的軸線這兩條正交直線所構(gòu)成的平面。如果梁的外力和外力偶都作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi),那么梁的軸線變形后所形成的曲線仍在該平面(即縱向?qū)ΨQ面)內(nèi)。這樣的彎曲變形,我們稱之為平面彎曲,如圖8-1所示。產(chǎn)生平面彎曲變形的梁,稱為平面彎曲梁。本章只討論平面彎曲梁 如果梁只受集中力的作用,不受集中力偶的作用,且集中力的作用線都垂直于梁的軸線,這些外力稱為橫向外力。平面彎曲梁在橫向外力作用下發(fā)生的彎曲變形稱為橫力彎曲,如圖8-2(a)所
3、示。如果平面彎曲梁只受平面力偶的作用,且平面力偶都作用在梁的縱平面內(nèi),這時(shí)梁的變形稱為純彎曲,如圖8-2(b)所示。 (a) (b)圖8-21.2 工程實(shí)例梁是在工程結(jié)構(gòu)中應(yīng)用的非常廣泛的一種構(gòu)件。例如圖8-3(a)、(b)、(c)所示的梁式橋的主梁、火車車軸、房屋建筑中的梁等。它們的主要變形就是彎曲變形。1.3 梁的計(jì)算簡圖 在進(jìn)行梁的工程分析和受力計(jì)算時(shí),不必把梁的復(fù)雜工程圖按實(shí)際畫出來,而是以能夠代表梁的結(jié)構(gòu)、荷載情況及作用效果的簡化的圖形來代替,這種簡化后的圖形稱為梁的計(jì)算簡圖。 梁的計(jì)算簡圖也可稱為梁的受力圖。在計(jì)算簡圖上應(yīng)包括梁的本身、梁的荷載、支座或支座反力。梁的本身可用其軸線來
4、表示,但要在圖上標(biāo)明梁的結(jié)構(gòu)尺寸數(shù)據(jù),有時(shí)也需要把梁的截面尺寸表示出來。梁上的荷載因其作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi),可以認(rèn)為就作用在軸線上,因而可以直接畫在軸線上,并標(biāo)明荷載的性質(zhì)和大小。一般來講,梁的荷載有均布荷載、集中力和集中力偶,分別用q、F、Me表示,如圖8-4所示。梁的支座最常見的有三種,即固定端支座、固定鉸支座和活動(dòng)鉸支座。 圖8-4 圖8-5(a)、(b)就是圖8-3(a)、(b)所示的的梁式橋的主梁、火車車軸的計(jì)算簡圖。圖8-5(a)表示的公路橋梁,用軸線代表梁體。支座為典型的固定鉸支座和活動(dòng)鉸支座,梁的自重簡化為均布荷載,汽車前后輪給路面的作用力簡化為集中力。圖8-5(b)表示的火
5、車車軸,因主要承受橫向荷載,當(dāng)作梁看,用軸線代表車軸。為了反映鋼軌能對(duì)車軸產(chǎn)生橫向約束和軸向約束,梁的支座用一個(gè)固定鉸支座和一個(gè)活動(dòng)鉸支座表示。q圖 8-5 1.4 靜定梁的基本形式 作為工程中主要承受彎曲的構(gòu)件,梁具有多種形式。如果只從梁的支座反力(即約束)的個(gè)數(shù)與梁的靜力平衡方程的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系上來劃分梁,梁可以分為靜定梁和超靜定梁。 1靜定與超靜定的基本概念 一般來講,梁上的荷載和支座反力構(gòu)成的是一個(gè)平面一般力系,至多有三個(gè)靜力平衡方程(如果梁上的荷載和支座反力構(gòu)成了平面平行力系或平面匯交力系,則只有兩個(gè)靜力平衡方程)。如果梁的支座反力的數(shù)目等于梁的靜力平衡方程的數(shù)目,就可以由靜力平衡方
6、程來完全確定支座反力,這樣的梁稱為靜定梁,如圖8-6(a)所示。反之,如果梁的支座反力的數(shù)目多于梁的靜力平衡方程的數(shù)目,就不能用靜力平衡方程來完全確定支座反力,這樣的梁稱為超靜定梁,如圖8-6(b)所示。本章所討論的主要是靜定的平面彎曲梁。 (a) (b) 圖 8-62靜定梁的三種基本形式工程上常用的梁按支座對(duì)其約束情況可分為三種結(jié)構(gòu)形式:簡支梁、外伸梁和懸臂梁,其計(jì)算簡圖如圖8-7(a)、(b)、(c)所示。 (a) (b) (c) 圖 8-72 梁的彎曲內(nèi)力2.1 剪力與彎矩1.剪力與彎矩的概念 梁在橫向荷載作用下,將同時(shí)產(chǎn)生變形和內(nèi)力。梁橫截面處的內(nèi)力是指橫截面以左、以右梁段的相互作用,
7、內(nèi)力專指橫截面上分布內(nèi)力的合力。當(dāng)作用在梁上的外力(荷載和支座反力)已知時(shí),可用截面法求梁某截面處的內(nèi)力。以圖8-8(a)所示簡支梁為例,梁上作用有集中力荷載,現(xiàn)利用截面法求任意截面mm的內(nèi)力。2 梁的彎曲內(nèi)力2.1 剪力與彎矩 第一步,取梁整體為截離體,求出兩端支座的約束反力和。 第二步,用mm截?cái)鄺U件,取左半部分或右半部分為截離 體,并在截離體上以正的方向標(biāo)出截面的內(nèi)力,如圖8-8(b)、(c)所示。 第三步,在截離體上建立平衡方程,根據(jù)靜力平衡條件求出截面的內(nèi)力。 稱為剪力,是作用在截離體相應(yīng)截面上分布內(nèi)力向截面形心簡化的主矢。 得 得 力偶矩稱為彎矩,是作用在截離體相應(yīng)截面上分布內(nèi)力向
8、截面形心簡化的主矩。取右半部分為截離體,可求得:取左半部分為截離體,可求得: 從上述的計(jì)算中可以看出,無論是取截面的左半部分還是右半部分為截離體,截面內(nèi)力的計(jì)算結(jié)果都是一致的。但圖8-8中取左、右截離體為研究對(duì)象求得的剪力和彎矩是大小相等、方向相反的作用力與反作用力。為使同一截面的剪力和彎矩不僅大小相等,而且正負(fù)號(hào)一致。根據(jù)變形規(guī)定剪力和彎矩的正負(fù)號(hào),如圖8-9所示。圖 8-9 剪力使截離體產(chǎn)生順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)為正,反之為負(fù);彎矩使截離體產(chǎn)生上側(cè)纖維受壓、下側(cè)纖維受拉,即截離體的軸線產(chǎn)生上凹下凸的變形時(shí)為正,反之為負(fù)。【例8-1】求圖8-10(a)所示簡支梁C、D截面的剪力和彎矩。 (b) (
9、c) 圖 8-10解:(1)求支座反力 取梁整體為截離體,建立靜力平衡方程。(2)求C截面的剪力和彎矩假想沿C截面把梁截成兩段,取受力較簡單的左段為研究對(duì)象,如圖8-10(b)所示。 計(jì)算結(jié)果表明,截面的剪力和彎矩為正值,與圖中所畫的方向相同。 (3)求D截面的剪力和彎矩 假想沿D截面把梁截成兩段,取受力較簡單的右段為研究對(duì)象,如圖8-10(c)所示。 計(jì)算結(jié)果表明,截面的彎矩為正值,與圖中所畫的方向相同,截面的剪力為負(fù)值,與圖中所畫的方向相反?!纠?-2】求圖8-11(a)所示簡支梁1-1、2-2截面的剪力和彎矩。解:(1)求支座反力 取梁整體為截離體,建立靜力平衡方程。 計(jì)算結(jié)果表明,截面
10、的剪力和彎矩為正值,與圖中所畫的方向相同。(3)求2-2截面的剪力和彎矩 假想沿2-2截面把梁截成兩段,取受力較簡單的右段為研究對(duì)象,如圖8-11(c)所示。 計(jì)算結(jié)果表明,截面的彎矩為正值,與圖中所畫的方向相同,截面的剪力為負(fù)值,與圖中所畫的方向相反。 綜上所述可知:1.橫截面上的剪力在數(shù)值上等于截面左側(cè)或右側(cè)梁段上外力的代數(shù)和。左側(cè)梁段上向上的外力或右側(cè)梁段上向下的外力將引起正值的剪力;反之,則引起負(fù)值的剪力。2.橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于截面左側(cè)或右側(cè)梁段上外力對(duì)該截面形心的力矩之代數(shù)和。1)不論在左側(cè)梁段上或右側(cè)梁段上,向上的外力均將引起正值的彎矩,而向下的外力則引起負(fù)值的彎矩。2)截
11、面左側(cè)梁段上順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩,而逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶則引起負(fù)值的彎矩;截面右側(cè)梁段上的外力偶引起的彎矩其正負(fù)與之相反。2.2 剪力圖和彎矩圖 梁在外力作用下,各截面上的剪力和彎矩沿軸線方向是變化的。如果用橫坐標(biāo)x (其方向可以向左也可以向右)表示橫截面沿梁軸線的位置,則剪力和彎矩都可以表示為坐標(biāo)x的函數(shù),即這兩個(gè)方程分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程。與繪制軸力圖或扭矩圖一樣,可用圖線表示梁的各橫截面上剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況,稱為剪力圖和彎矩圖。剪力圖的繪制與前面章節(jié)中所講的軸力圖和扭矩圖的繪制方法基本相同,正剪力畫在x軸的上方,負(fù)剪力畫在x軸的下方,并標(biāo)明正負(fù)號(hào)。彎矩圖繪制的
12、規(guī)定和彎矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定,彎矩畫在梁的受拉側(cè),即正彎矩畫在x軸的下方,負(fù)彎矩卻畫在了x軸的上方,而不須標(biāo)明正負(fù)號(hào)。下面舉例說明建立剪力方程、彎矩方程以及繪制剪力圖、彎矩圖的方法。【例8-3】 作圖8-12(a)所示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。解:(1)求支座反力(3)畫剪力圖和彎矩圖 由剪力方程和彎矩方程中可以看出,C點(diǎn)是分段函數(shù)的分界點(diǎn),也是剪力圖和彎矩圖的分界點(diǎn)。剪力圖是兩條水平線,在集中力F作用點(diǎn)C處剪力圖產(chǎn)生突變,突變值等于集中力的大小,彎矩圖是兩條斜率不同的斜直線,在集中力F的作用點(diǎn)C處相交,形成向下凸的尖角。梁剪力圖和彎矩圖分別如圖8-12(b)、(c)所示。 如果 ,最大剪力發(fā)生在的集
13、中力F的左側(cè)一段梁內(nèi), ;最大彎矩發(fā)生在集中力F的作用點(diǎn)C處, 。 根據(jù)求出的各值,畫出梁剪力圖和彎矩圖分別如圖8-13(b)、(c)所示。 最大剪力發(fā)生在A、B兩支座的內(nèi)側(cè)截面上, , 而該處的彎矩為0; 最大彎矩發(fā)生在梁的中點(diǎn)截面上, , 而該處的剪力為0。【例8-5】 作圖8-14(a)所示懸臂梁的剪力圖和彎矩圖。 解:此題是懸臂梁承受端部集中荷載的問題。懸臂梁問題的求解有一定的特殊性,這是因?yàn)閼冶哿河凶杂啥舜嬖冢谶M(jìn)行受力分析時(shí),可以不求支座反力,而從自由端直接計(jì)算。(1)取如圖所示的B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以x為坐標(biāo)軸,取x的右側(cè)截面為截離體,列出剪力方程和彎矩方程 (2)畫剪力圖和彎矩圖從
14、內(nèi)力方程可以看出,剪力圖是一條水平線,彎矩圖是一條斜線。梁的剪力圖和彎矩圖分別如圖8-14(b)、(c)所示。 最大剪力和最大彎矩發(fā)生在懸臂端(a)的右側(cè)截面上,分別為 和 ?!纠?-6】 作圖8-15(a)所示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。解: (1)求支座反力 (2)列剪力方程和彎矩方程取圖中的A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立x坐標(biāo)軸。因?yàn)锳C、CB段的內(nèi)力方程不同,所以應(yīng)分別列出。兩段的內(nèi)力方程分別為: AC段:CB段:(3)畫剪力圖和彎矩圖 從剪力方程中可以看出,剪力圖是一條與x軸平行的直線。從彎矩方程中可以看出,C點(diǎn)是分段函數(shù)的分界點(diǎn),也是彎矩圖的分界點(diǎn),彎矩圖是兩條互相平行的斜直線,C點(diǎn)處彎矩出現(xiàn)突
15、變,突變值等于力偶矩的大小。梁剪力圖和彎矩圖分別如圖8-15(b)、(c)所示。 如果,最大彎矩發(fā)生在集中力偶Me的作用處稍右的截面上, 。不管集中力偶Me作用在梁的任何截面上,梁的剪力都與8-15(b)一樣, 。 由以上例題可總結(jié)出彎矩、剪力和荷載集度之間的關(guān)系,從而得出剪力圖和彎矩圖的分布規(guī)律:(1)梁上無均布荷載作用的區(qū)段,即q(x)=0的區(qū)段,F(xiàn)S圖為一條平行于梁軸線的水平直線,M圖為一斜直線,當(dāng)FS(x)=0時(shí),彎矩圖為水平直線;當(dāng)FS(x)0時(shí),彎矩圖為向右下傾斜的直線;當(dāng)FS(x)0(荷載向上)時(shí),剪力圖為向右上傾斜的直線,彎矩圖為向上凸的拋物線;當(dāng)q(x)t的材料,例如鑄鐵,如
16、果采用對(duì)稱于中性軸的橫截面,則由于彎曲拉應(yīng)力達(dá)到材料容許拉應(yīng)力t時(shí),彎曲壓應(yīng)力沒有達(dá)到容許壓應(yīng)力c,在受壓一側(cè)材料沒有充分利用。因此,應(yīng)采用不對(duì)稱于中性軸的截面,并使中性軸偏向受拉的一側(cè),即使得最大拉壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到材料的允許應(yīng)力值。3.采用等強(qiáng)度梁 按正應(yīng)力設(shè)計(jì)梁的截面時(shí),是以梁的最大彎矩為依據(jù)的。對(duì)于等截面梁,當(dāng)梁危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力值達(dá)到容許應(yīng)力時(shí),其余彎矩小的截面上的材料沒有充分利用。為提高材料的利用率、提高梁的強(qiáng)度,可以設(shè)計(jì)成各截面應(yīng)力值均同時(shí)達(dá)到容許應(yīng)力值的“等強(qiáng)度梁”。其彎曲截面系數(shù)WZ,可按下式確定: 工程中為了加工方便和滿足結(jié)構(gòu)上的需要,常用階梯狀的變截面梁(階梯軸)來代替理論
17、上實(shí)等強(qiáng)度梁。 3.3 梁的彎曲切應(yīng)力及切應(yīng)力強(qiáng)度條件 梁在橫力彎曲時(shí),梁的橫截面上同時(shí)有彎矩M和剪力FS。因此,橫截面上不僅有彎矩M對(duì)應(yīng)的,還有剪力FS對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力。本節(jié)主要研究等截面直梁切應(yīng)力的計(jì)算及切應(yīng)力強(qiáng)度條件。1.矩形截面梁的切應(yīng)力(1)公式推導(dǎo)圖8-33所示的矩形截面梁高度為h,寬度為b,沿截面的對(duì)稱軸y截面上有剪力FS。因?yàn)榱旱膫?cè)面沒有切應(yīng)力,根據(jù)切應(yīng)力互等定理,在橫截面上靠近兩側(cè)面邊緣的切應(yīng)力方向一定平行于橫截面的側(cè)邊。一般矩形截面梁的寬度相對(duì)于高度是比較窄的,可以認(rèn)為沿截面寬度方向切應(yīng)力的大小和方向都不會(huì)有明顯變化。所以對(duì)橫截面上切應(yīng)力分布作如下的假設(shè):橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力
18、都平行于橫截面上的剪力FS ,沿截面寬度均勻分布。 用相距dx的兩個(gè)橫截面mm和nn從梁中切一微段(圖8-33(a)。為研究方便,設(shè)在微段上無橫向外力作用,則由彎矩、剪力和荷載集度間的關(guān)系可知:橫截面mm上和nn上剪力相等,均為FS。但彎矩不同,分別為M和MFSdx(圖8-33(b)。由平衡方程FX=0,導(dǎo)出(過程從略)矩形截面梁橫截面上切應(yīng)力公式 ( 8-8) 式中: 橫截面上的剪力; 整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性據(jù); 橫截面上求切應(yīng)力處的水平線以下(以上)部分面積對(duì)中性軸的靜矩; 矩形截面寬度。(2)切應(yīng)力分布規(guī)律及最大應(yīng)力2.其它形狀截面的切應(yīng)力(1)工字形截面梁 工字形梁的橫截面由上、下翼緣
19、和中間腹板組成(圖8-35)。腹板是矩形截面,所以腹板上切應(yīng)力計(jì)算可按(8-8)式進(jìn)行,翼板上的切應(yīng)力的數(shù)值比腹板上切應(yīng)力的數(shù)值小許多,一般忽略不計(jì)。其切應(yīng)力分布如圖8-35所示。 最大切應(yīng)力仍然發(fā)生在中性軸處。在腹板與翼板交接處,由于翼板面積對(duì)中性軸的靜矩仍然有一定值,所以切應(yīng)力較大。式中: 半個(gè)截面對(duì)中性軸的靜矩。 (2)圓形截面梁和圓環(huán)形截面梁圓形截面梁和和圓環(huán)形截面梁如圖8-36所示,它們的最大切應(yīng)力均發(fā)生在中性軸處,沿中性軸均勻分布,計(jì)算公式分別為圖 8-36【例8-13】 如圖56 a號(hào)工字鋼制成的簡支梁,試求梁的橫截面上的最大切應(yīng)力和同一橫截面上腹板a點(diǎn)處(圖(b)的切應(yīng)力。梁的
20、自重不計(jì)。解(1)繪制剪力圖如圖8-37所示。 存在于除兩個(gè)端截面A,B和集中荷載F 的作用點(diǎn)處C 以外的所有橫截面上。 (2)計(jì)算最大彎曲切應(yīng)力 由型鋼表查得56a號(hào)工字鋼截面的尺寸如圖8-37(b)所示,根據(jù)型鋼表有Ix=65586 cm4和 。前者就是前面一些公式中Iz,而后者就是我們求 公式中的 ,則最大彎曲切應(yīng)力為對(duì)于一般的跨度與橫截面高度的比值較大的梁,其主要應(yīng)力是彎曲正應(yīng)力(見例8-14),因此只需進(jìn)行梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算。但是,對(duì)于薄壁截面梁,例如自行焊接的工字形截面梁、或者彎矩較小而剪力較大的梁、跨度與橫截面高度比值較小的短粗梁和集中荷載作用在支座附近的梁等,應(yīng)該進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算?!纠?-15】 圖8-39所示工字形截面外伸梁,已知材料的許用應(yīng)力=160MPa,=100Pa,截面為20a號(hào)工字鋼型號(hào),試校核該梁的強(qiáng)度。 小 結(jié)(1)梁橫向彎曲時(shí)橫截面上有兩個(gè)內(nèi)力分量剪力和彎矩。剪力位于梁的橫截面內(nèi),對(duì)梁有剪切作用。彎矩位于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi),由于它的作用而使梁發(fā)生彎曲變形。(2)彎矩和剪力正、負(fù)規(guī)定。剪力使截離體產(chǎn)生順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)為正,反之為負(fù);彎矩使截離體產(chǎn)生上側(cè)纖維受壓、下側(cè)纖維受拉,即截離體的軸線產(chǎn)生上凹下凸的變形時(shí)為正,反之為負(fù)。(3)截面法是確定橫截面上的剪力和彎矩的基本方法。掌握截面法的基礎(chǔ)上列出梁的剪力方程和彎矩方程,從而繪
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