高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)集合大小定義的基本要求

1、.*;高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)集合大小定義的根本要求首先，一個(gè)集合的大小只應(yīng)該取決于這個(gè)集合本身。 我們知道一個(gè)集合可以用多種方法來(lái)構(gòu)造和表示，比方說(shuō)， A=小于等于2的正整數(shù) B=1,2 C=x2-3x+2=0的根 其實(shí)都是同一個(gè)集合， D=n|n為自然數(shù)，且方程xn+yn=zn有xyz0的整數(shù)解 又怎么樣呢?2019年英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了費(fèi)爾馬大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一個(gè)集合，它里面有兩個(gè)元素1和2。我們記得，一個(gè)集合由它所含的元素唯一決定，所以它的大小也不能取決于它被表示的方法，或者被構(gòu)造的途徑，它只應(yīng)該取決于它本身。 一個(gè)集合得和自己一樣大，這個(gè)沒(méi)有什么好說(shuō)的; 其次，假

2、如集合A不小于也就是說(shuō)或者大于，或者一樣大集合B，而集合B也不小于集合A，那么它們就必須是一樣大的; 第三，假如集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必須不小于集合C。在數(shù)學(xué)上，我們稱滿足這三個(gè)條件的關(guān)系為“偏序關(guān)系注：嚴(yán)格地說(shuō)，這個(gè)偏序關(guān)系并不定義在集合之間，而是定義在集合按“一樣大這個(gè)等價(jià)關(guān)系定義出的等價(jià)類之間，關(guān)于偏序關(guān)系的嚴(yán)格定義的表達(dá)和上面所說(shuō)的也有區(qū)別，但這些問(wèn)題在這里并不要緊，你假如看不懂這個(gè)注在講什么也不要緊。假如一個(gè)關(guān)于集合大小的定義違背了上面所說(shuō)的三條之一，這個(gè)定義的怪異程度一定會(huì)超過(guò)上面使用一一對(duì)應(yīng)原那么的定義! 舉個(gè)例子，比方說(shuō)我對(duì)某位科幻小說(shuō)作家的喜

3、歡程度就是一個(gè)偏序關(guān)系。假如我喜歡阿西莫夫勝于喜歡凡爾納，而喜歡凡爾納又勝于喜歡克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜歡阿西莫夫。不過(guò)一個(gè)偏序關(guān)系并不要求任意兩個(gè)對(duì)象都能互相比較。比方說(shuō)劉慈欣的程度當(dāng)然不能和克拉克這樣的世界級(jí)科幻大師比，但是“喜歡是一種很個(gè)人的事情，作為一個(gè)中國(guó)人，我對(duì)中國(guó)的科幻創(chuàng)作更感興趣所以似乎不能說(shuō)我更喜歡克拉克，但也不能說(shuō)我更喜歡劉慈欣，而且也不能說(shuō)同樣喜歡，因?yàn)橄矚g的地方不一樣所以更確切地也許應(yīng)該說(shuō)，他們倆之間不能比較。但偏序關(guān)系中存在這樣的可能性，有一個(gè)對(duì)象可以和兩個(gè)不能互相比較的對(duì)象中的每一個(gè)相比較，比方說(shuō)我喜歡阿西莫夫勝過(guò)劉慈欣和克拉克中的任一個(gè)。 不過(guò)作

4、為集合大小的定義，我們希望可以比較任意兩個(gè)集合的大小。所以，對(duì)于任何給定的兩個(gè)集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一樣大，這三種情況必須有一種正確而且只能有一種正確。這樣的偏序關(guān)系被稱為“全序關(guān)系。 最后，新的定義必須保持原來(lái)有限集合間的大小關(guān)系。有限集合間的大小關(guān)系是很清楚的，所謂的“大，也就是集合中的元素更多，有五個(gè)元素的集合要比有四個(gè)元素的集合大，在新的擴(kuò)大了的集合定義中也必須如此。這個(gè)要求是理所當(dāng)然的，否那么我們沒(méi)有理由將新的定義作為老定義的擴(kuò)大。 “整體大于部分原那么的困難和一一對(duì)應(yīng)原那么的優(yōu)點(diǎn) 滿足上面幾條要求的定義，最簡(jiǎn)單的就是認(rèn)為無(wú)限就只有一種，所有的無(wú)限集合都一樣大，

5、而它們都大于有限集合。這其實(shí)是康托爾創(chuàng)立集合論以前數(shù)學(xué)家的看法，所以康托爾把無(wú)限分成許多類的革命性做法使得數(shù)學(xué)家們大吃了一驚。但是這樣的定義未免太粗糙了一點(diǎn)，只不過(guò)是把“無(wú)限集合比有限集合大換了種方法說(shuō)罷了，我們看不出這有什么用處。沒(méi)有用的定義不要也罷再說(shuō)在這種定義中，自然數(shù)和正偶數(shù)也一樣多，因?yàn)樗鶎?duì)應(yīng)的集合都是無(wú)限集合。 假如我們?cè)谏厦鎺讞l要求中，再加上“整體大于部分這條要求會(huì)怎么樣呢? 我們想像平面上有條射線，射線的一端是原點(diǎn)，然后在上面我們每隔一厘米畫一個(gè)點(diǎn)，并在每個(gè)點(diǎn)旁邊標(biāo)上1、2、3等，這樣就有無(wú)窮個(gè)點(diǎn)。那么這個(gè)點(diǎn)集和自然數(shù)集合比較大小的結(jié)果應(yīng)該如何?按照我們前面的要求，任何兩個(gè)集合

6、都應(yīng)該可以比較大小的。我們很容易想像到，這其實(shí)是一條數(shù)軸的正半軸，上面的點(diǎn)就是代表自然數(shù)的那些點(diǎn)，所以這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)該和自然數(shù)的個(gè)數(shù)一樣。而且，按照“整體大于部分的規(guī)定，那些標(biāo)有10、20、30的點(diǎn)的集合比所有點(diǎn)的集合要小。但是“一厘米實(shí)在是非常人為的規(guī)定，假如我們一開場(chǎng)就每隔一分米畫一個(gè)點(diǎn)，順著上面的思路，這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)也該和自然數(shù)一樣多，但是這恰好是按一厘米間隔畫點(diǎn)時(shí)標(biāo)有10、20、30的點(diǎn)啊!那些點(diǎn)始終是一樣的，所以它們的個(gè)數(shù)不應(yīng)該取決于在它們的旁邊標(biāo)記的是“1、2、3還是“10、20、30。 再舉一個(gè)例子。假設(shè)我給你一個(gè)大口袋，里面有無(wú)限多個(gè)小口袋，上面按照自然數(shù)標(biāo)了號(hào)1、2、3。在1號(hào)

7、口袋中有1粒豆子，2號(hào)口袋中有2粒豆子，依次類推。如今我當(dāng)著你的面拿掉1號(hào)小口袋，那么剩下的小口袋數(shù)和原來(lái)的相比方何?假如按照“整體大于部分的觀點(diǎn)，應(yīng)該是少了，少一條。但是假如我當(dāng)初就背著你拿掉1號(hào)口袋，然后從其他每個(gè)小口袋中取出一粒豆子，再把小口袋上的號(hào)碼改掉，2改成1，3改成2，然后再把大口袋給你，你顯然不會(huì)知道我做了手腳，因?yàn)檫@時(shí)大口袋里的東西和原來(lái)沒(méi)有任何區(qū)別，所以小口袋的數(shù)量和原來(lái)一樣多。這就和“少一條矛盾了，從小口袋里拿一粒豆子或者是涂改上面的標(biāo)號(hào)不應(yīng)該改變口袋的數(shù)量。大家明白我是打了一個(gè)比方，大口袋就是一個(gè)集合。按照上面的要求，集合的大小只應(yīng)該取決于集合本身，而不應(yīng)該取決于集合的

8、表示方法或構(gòu)造方法，也就是得到集合的過(guò)程。你拿到了大口袋，也就是就應(yīng)該知道里面小口袋的數(shù)量，而不用知道我是否做過(guò)手腳。 要練說(shuō)，先練膽。說(shuō)話膽小是幼兒語(yǔ)言開展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說(shuō)話時(shí)顯得害怕：有的結(jié)巴重復(fù)，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽；有的低頭不語(yǔ)，扯衣服，扭身子。總之，說(shuō)話時(shí)外部表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個(gè)關(guān)鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語(yǔ)言交流關(guān)系。每當(dāng)和幼兒講話時(shí)，我總是笑臉相迎，聲音親切，動(dòng)作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動(dòng)的、無(wú)拘無(wú)束地和我交談。二是注重培養(yǎng)幼兒敢于當(dāng)眾說(shuō)話的習(xí)慣?；蛟谡n堂教學(xué)中，改變過(guò)去老師講學(xué)生聽的傳統(tǒng)的教學(xué)形式，取消了先舉手后發(fā)言的約束，多采

9、取自由討論和談話的形式，給每個(gè)幼兒較多的當(dāng)眾說(shuō)話的時(shí)機(jī)，培養(yǎng)幼兒愛說(shuō)話敢說(shuō)話的興趣，對(duì)一些說(shuō)話有困難的幼兒，我總是認(rèn)真地耐心地聽，熱情地幫助和鼓勵(lì)他把話說(shuō)完、說(shuō)好，增強(qiáng)其說(shuō)話的勇氣和把話說(shuō)好的信心。三是要提明確的說(shuō)話要求，在說(shuō)話訓(xùn)練中不斷進(jìn)步，我要求每個(gè)幼兒在說(shuō)話時(shí)要儀態(tài)大方，口齒清楚，聲音響亮，學(xué)會(huì)用眼神。對(duì)說(shuō)得好的幼兒，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表?yè)P(yáng)，并要其他幼兒模擬。長(zhǎng)期堅(jiān)持，不斷訓(xùn)練，幼兒說(shuō)話膽量也在不斷進(jìn)步。 這樣的例子可以舉很多。我們發(fā)現(xiàn)，假如堅(jiān)持“整體大于部分的話，固然可以使得某些集合和自己的子集相比較時(shí)，比方比較自然數(shù)和正偶數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，符合“直觀和“常識(shí)。但是更多的非常

10、直觀的東西和常識(shí)卻都會(huì)變成錯(cuò)誤的。比方說(shuō)，x=x+1這樣一個(gè)數(shù)軸上的坐標(biāo)平移，會(huì)將坐標(biāo)上的點(diǎn)集1,2,3變?yōu)?,3,4，一個(gè)坐標(biāo)平移居然可以變動(dòng)點(diǎn)集中元素的個(gè)數(shù)!“元素可以一一對(duì)應(yīng)的兩個(gè)集合大小一樣這條原理的失效，會(huì)使得我們?cè)诒容^兩個(gè)元素很不一樣的集合時(shí)無(wú)所適從：怎樣不使用一一對(duì)應(yīng)的方法來(lái)比較自然數(shù)和數(shù)軸上0,1區(qū)間中點(diǎn)的個(gè)數(shù)? 要練說(shuō)，得練看?？磁c說(shuō)是統(tǒng)一的，看不準(zhǔn)就難以說(shuō)得好。練看，就是訓(xùn)練幼兒的觀察才能，擴(kuò)大幼兒的認(rèn)知范圍，讓幼兒在觀察事物、觀察生活、觀察自然的活動(dòng)中，積累詞匯、理解詞義、開展語(yǔ)言。在運(yùn)用觀察法組織活動(dòng)時(shí)，我著眼觀察于觀察對(duì)象的選擇，著力于觀察過(guò)程的指導(dǎo)，著重于幼兒觀察才

11、能和語(yǔ)言表達(dá)才能的進(jìn)步。 在上面的兩個(gè)例子中我們會(huì)有這樣的感覺，對(duì)于無(wú)限集合來(lái)說(shuō)，從部分中似乎可以“產(chǎn)生出整體來(lái)。比方射線上的每隔一厘米畫一個(gè)點(diǎn)的例子，假如我們把不是10的倍數(shù)的點(diǎn)去掉，然后將平面“收縮到原來(lái)尺度的非常之一，我們就重新得到了原來(lái)的那個(gè)點(diǎn)集。在裝豆子的口袋的例子中，只要從去掉1號(hào)口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我們就又得到了原來(lái)的那個(gè)大口袋。這暗示了無(wú)限集合的一個(gè)重要特點(diǎn)：從某種意義上來(lái)說(shuō)，它和自己的一部分相似。事實(shí)上，無(wú)限集合的一個(gè)定義就是“能和自己的一部分一一對(duì)應(yīng)的集合。所以在無(wú)限集合大小的比較中，違背了“整體大于部分的原那么并不奇怪，因?yàn)檫@恰好就是無(wú)限集合的特征。唐宋或更早之前，針對(duì)“經(jīng)學(xué)“律學(xué)“算學(xué)和“書學(xué)各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士，這與當(dāng)今“博士含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對(duì)那些特別講授“武事或講解“經(jīng)籍者，又稱“講師。“教授和“助教均原為學(xué)官稱謂。前者始于宋，乃“宗學(xué)“律學(xué)“醫(yī)學(xué)