第三章光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性課件

1、光學(xué)信息技術(shù)原理及應(yīng)用光學(xué)透鏡的變換(十)光學(xué)成像系統(tǒng)是一種最基本的光信息處理系統(tǒng)，它用于傳遞二維的光學(xué)圖像信息。光波攜帶輸入圖像信息（圖像的細(xì)節(jié)、對(duì)比等）從光學(xué)系統(tǒng)物面?zhèn)鞑サ较衩?，輸出的圖像信息取決于光學(xué)系統(tǒng)的傳遞特性。對(duì)于相干與非相干照明的成像系統(tǒng)可以分別給出其本征函數(shù)，把輸入信息分解為由本征函數(shù)構(gòu)成的頻率分量，考察這些空間頻率分量在系統(tǒng)傳遞過程中，衰減、相移等等變化，研究系統(tǒng)空間頻率特性即傳遞函數(shù)。這是一種全面評(píng)價(jià)光學(xué)系統(tǒng)傳遞光學(xué)信息的能力的方法，也是一種評(píng)價(jià)光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的方法。 光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性透鏡是光學(xué)系統(tǒng)的最基本的元件，具有成象和光學(xué)傅里葉變換的基本功能，本章將首先討論透

2、鏡的成像和光學(xué)傅里葉變換性質(zhì) 透鏡可以用來實(shí)現(xiàn)透過物體的光場(chǎng)分布的夫瑯和費(fèi)衍射，而透鏡之所以可以實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的原因是它具有位相變換的作用 無像差的正薄透鏡對(duì)點(diǎn)光源的成像過程是點(diǎn)物成點(diǎn)像，從波面變換的觀點(diǎn)看，透鏡將一個(gè)發(fā)散球面波變換成一個(gè)會(huì)聚球面波發(fā)散球面波和會(huì)聚球面波在透鏡平面上都具有球面波的二次位相因子，因此透鏡的功能就是改變二次位相因子的大小，實(shí)際上也就是具有附加的二次位相因子透鏡的位相變換作用 透鏡的位相變換作用示意圖 透鏡的復(fù)振幅透過率定義為 和 分別是 和 平面上的光場(chǎng)復(fù)振幅分布。 傍軸近似下單色點(diǎn)光源的發(fā)散球面波在平面上造成的光場(chǎng)分布為 球面波經(jīng)透鏡變換后向點(diǎn)會(huì)聚，在平面上造成的

3、復(fù)振幅分布為透鏡的復(fù)振幅透過率或相位變換因子為 透鏡的復(fù)振幅透過率即位相變換作用 由透鏡成像的高斯公式可知 透鏡的相位變換因子可表為 如果考慮透鏡孔徑的有限大小，用表示孔徑函數(shù)（或稱光瞳函數(shù)），其定義為于是透鏡的相位變換因子可寫做透鏡的二次位相因子 透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 透鏡除了具有成像性質(zhì)外，還能作傅里葉變換，正因如此，傅里葉分析方法在光學(xué)中得到廣泛而成功的應(yīng)用。前面已經(jīng)說明，單位振幅平面波垂直照明衍射屏，在透鏡的后焦面（無窮遠(yuǎn)照明光源的共軛面）上觀察的夫瑯和費(fèi)衍射，恰好是衍射屏透過率函數(shù)的傅里葉變換另外，在會(huì)聚光照明下的菲涅耳衍射，通過會(huì)聚中心的觀察屏上的菲涅耳衍射場(chǎng)分布，也是衍射屏透過率

4、函數(shù)的傅里葉變換，因此可在照明光源的共軛面上觀察屏函數(shù)的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣。下面進(jìn)行具體討論 物在透鏡之前的變換 由于是薄透鏡，平面 、 和 重合在一起要變換的透明片置于透鏡前方，其復(fù)振幅透過率為在傍軸近似下，由單色點(diǎn)光源發(fā)出的球面波在物的前表面上造成的場(chǎng)分布為 透過物體，從輸入面上出射的光場(chǎng)為從輸入平面出射的光場(chǎng)菲涅耳衍射到透鏡平面，復(fù)振輻分布為 物在透鏡之前的變換性質(zhì)證明（1）物在透鏡之前的變換性質(zhì)證明（2）通過透鏡后的場(chǎng)分布為 式中 為光瞳函數(shù)。再一次經(jīng)過菲涅耳衍射，在輸出面上，即光源的共軛面上的光場(chǎng)分布為 經(jīng)過大量的代數(shù)運(yùn)算和化簡(jiǎn)可得，輸入平面位于透鏡前，計(jì)算光源共軛面上場(chǎng)分布的一般公式

5、為兩個(gè)特殊位置的討論 照明光源和觀察平面的位置始終保持共軛關(guān)系，因此觀察平面位置由照明光源位置決定（當(dāng)照明光源位于光軸上無窮遠(yuǎn)，即平面波垂直照明時(shí)，這時(shí)觀察平面位于透鏡后焦面上） 輸入平面位于透鏡前焦面，由于 ，衍射物體的復(fù)振幅透過率與衍射場(chǎng)的復(fù)振幅分布存在準(zhǔn)確的傅里葉變換關(guān)系，而且只要照明光源和觀察平面滿足共軛關(guān)系，與照明光源的具體位置無關(guān)。也就是說，不管照明光源位于何處，均不影響觀察面上空間頻率與位置坐標(biāo)的關(guān)系 輸入面緊貼透鏡，這時(shí) ，衍射物體的復(fù)振幅透過率與觀察面上的場(chǎng)分布，不是準(zhǔn)確的傅里葉變換關(guān)系，有一個(gè)二次相位因子。觀察面上的頻譜的空間尺度上能按一定的比例縮放 物在透鏡之后的變換 入

6、射到透鏡前表面的場(chǎng)為 從透鏡出射的場(chǎng)為 從透鏡的后表面出射的場(chǎng)到達(dá)物的前表面造成的場(chǎng)分布為 通過物體后的出射光場(chǎng)為 物在透鏡之后的變換性質(zhì)證明（1）這個(gè)光場(chǎng)傳輸?shù)接^察平面上造成的場(chǎng)分布為 經(jīng)過一系列的代數(shù)演算得到：可以看出，不管衍射物體位于何種位置，只要觀察面是照明光源的共軛面，則物面（輸入面）和觀察面（輸出面）之間的關(guān)系都是傅里葉變換關(guān)系，即觀察面上的衍射場(chǎng)都是夫瑯和費(fèi)型。 物在透鏡之后的變換性質(zhì)證明（2）在上一節(jié)中，照明光源和觀察面是一對(duì)成物像關(guān)系的共軛面，物透明片無論是放在透鏡前或透鏡后，除一常數(shù)相位因子外，觀察面總是物的頻譜面下面討論一種任意情況，物面（輸入面）和觀察面（輸出面）的位置

7、是任意的，將導(dǎo)出此時(shí)的輸入輸出關(guān)系式透鏡的一般變換特性透鏡焦距為 ，物面 位于透鏡前處 ，觀察面 位于透鏡后 處， 和 是任意的。用振幅為1的單色平面波垂直照明物平面，設(shè)物面上的場(chǎng)分布為 ，觀察上的場(chǎng)分布為 ，并假設(shè)光場(chǎng)在 和 距離上的傳播滿足菲涅耳近似條件，則透鏡前表面上的場(chǎng) 可表為 透鏡前表面上的場(chǎng)分布 考慮到透鏡的相位變換因子，則透鏡后表面上的場(chǎng)分布為 于是觀察平面上的場(chǎng)分布為 透鏡后表面和觀察平面上場(chǎng)分布觀察平面上場(chǎng)分布可以簡(jiǎn)化為 其中觀察平面上場(chǎng)分布的簡(jiǎn)化(1)根據(jù)積分公式 對(duì)于0的情況可得 又因?yàn)橛^察平面上場(chǎng)分布的簡(jiǎn)化(2)得到 觀察平面上場(chǎng)分布的簡(jiǎn)化(3)常用特殊情況之一：后焦面

8、作為觀察平面 當(dāng) ，即后焦面作為觀察平面時(shí)，則上式簡(jiǎn)化成除一相位因子外， 是 的傅里葉變換 當(dāng) 時(shí)，式中的二次位相因子被消去 這時(shí) 是 的準(zhǔn)確傅里葉變換（常數(shù)相位因子無關(guān)緊要）一般情況下， 和 與 并不相等，可以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)傅里葉變換，請(qǐng)讀者自行證明 常用特殊情況之二：前焦面作為輸入平面當(dāng) 時(shí)，即輸入和輸出滿足物像共軛關(guān)系，得 將這兩式代入得在輸出平面得到放大 倍的像，回到了幾何光學(xué)的結(jié)果 常用特殊情況之三：物像共軛平面方法之一：基本的成像過程分析方法是直接用衍射公式例：物體緊靠透鏡分析光學(xué)系統(tǒng)的四種常用方法 物緊靠透鏡之前（直接用菲涅耳衍射積分公式），振幅為 的平行單色照明光透過物體，從輸入面上

9、出射的光場(chǎng)為通過透鏡后的場(chǎng)分布為在透鏡后焦面上的場(chǎng)振幅分布可用菲涅耳衍射積分公式直接計(jì)算代入通過透鏡后的場(chǎng)分布消去積分內(nèi)的二次位相因子得直接用菲涅耳衍射公式方法之二：用角譜傳播公式可以簡(jiǎn)化分析過程例：物體位于透鏡之前用角譜傳播公式物緊在透鏡之前，透過物體的光場(chǎng)的角譜 ，與投射到透鏡上的光場(chǎng)的角譜 之間關(guān)系為 在透鏡后焦面上的場(chǎng)振幅分布公式改寫成角譜形式為式中已忽略了透鏡有限孔徑的作用，進(jìn)一步寫成積分形式為物在透鏡之前的另一種證明方法之三：用會(huì)聚光照明可以直接簡(jiǎn)化成夫瑯和費(fèi)衍射例：物體位于透鏡之前用會(huì)聚光照明來分析會(huì)聚光照明時(shí)，透鏡光欄的作用簡(jiǎn)化為會(huì)聚光照明區(qū)域的不斷變化。只要物體被完全照明，投

10、影光瞳可以完全略去，物體透過的光場(chǎng)可以表示為代入菲涅耳衍射積分公式，消去積分內(nèi)的二次位相因子得第四種方法就是前面已經(jīng)提到的，幾何透影方法，在光瞳比波長(zhǎng)大很多，而且與物體大小可以比較的時(shí)候，光瞳中均勻照明的邊界，即光欄的衍射問題可以忽略不計(jì)，從而簡(jiǎn)化分析的問題物在透鏡之后的另一種證明如下圖所示的楔形薄棱鏡，楔角為 ，折射率為 ，底邊厚度為 。求其位相變換函數(shù)，并利用位相變換函數(shù)來確定平行光束小角度入射時(shí)的偏向角 。關(guān)于位相變換的例題 楔形薄棱鏡與薄透鏡同樣，在光路中可以不考慮其厚度引起的入射點(diǎn)高度變化只考慮產(chǎn)生的位相即光程變化，而且楔角可以認(rèn)為是小角度，一般楔形薄棱鏡都在光線垂直于入射面的狀態(tài)放置。因此可以在入射面內(nèi)建立 坐標(biāo)系，取 軸垂直于入射面。以光楔頂點(diǎn)為原點(diǎn)，在圖面內(nèi)向下為 的正方向無論入射角如何，入射到 面上的平面波光場(chǎng)，出射時(shí)的坐標(biāo)都是不變的。因此入射到光楔頂點(diǎn)的光仍然由原點(diǎn)出射，而入射到光楔底部的光仍然由仍然由出射。過光楔的出射面的另一個(gè)底角交點(diǎn)做一平行于 的平面，該平面與平面之間的距離可以看做為零。但是其位相變化仍然要由光楔的厚度變化來確定。