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文檔簡介

1、5.4 三大抽樣分布1本次課教學(xué)目的: 掌握三大抽樣分布的構(gòu)造性定義并熟悉一些重要結(jié)論重點難點: 三大抽樣分布的構(gòu)造及其抽樣分布 一些重要結(jié)論教學(xué)基本內(nèi)容及其時間分配 三大抽樣分布的構(gòu)造性定義30分鐘 定理及其三個推論以及證明70分鐘根據(jù)本節(jié)課的特點所采取的教學(xué)方法和手段: 啟發(fā)式講授,圖文結(jié)合加深對三大分布的印象2引 言有許多統(tǒng)計推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的,以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個著名統(tǒng)計量在實際中有廣泛的應(yīng)用,這是因為這三個統(tǒng)計量不僅有明確背景,而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達(dá)式,他們被稱為統(tǒng)計中的“三大抽樣分布”.若設(shè) 是來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個相互獨立的樣本,則此三個統(tǒng)計量的構(gòu)

2、造及其抽樣分布如表5.4.1所示.345.4.1 分布(卡方分布)問題:如何確定 的分布?5圖像:密度函數(shù)的圖像是一個只取非負(fù)值的偏態(tài)分布 數(shù)字特征:6789當(dāng)隨機(jī)變量時,對給定的,稱滿足的是自由度為n的卡方分布的分位數(shù). 10115.4.2 F分布其中m稱為分子自由度,n稱為分母自由度.定義5.4.2 設(shè)獨立,則稱的分布是自由度為m與n的F分布,記為問題:如何確定 的分布?首先,我們導(dǎo)出的密度函數(shù) 第二步,我們導(dǎo)出 的密度函數(shù) 12首先,我們導(dǎo)出的密度函數(shù) 13Z的密度函數(shù)為 14第二步,我們導(dǎo)出 的密度函數(shù) 這就是自由度為m與n的F分布的密度函數(shù)。) 15161718有F分布的構(gòu)造知,若F

3、F(m,n),則有1/F F(n,m),故對給定, 19例5.4.1 若取m=10,n=5, =0.05,那么從附表5上查得205.4.3 t 分布定義5.4.3設(shè)隨機(jī)變量獨立且則稱的分布為自由度為n的t分布,記為問題:如何確定 的分布?由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)的對稱性知,從而t與-t有相同分布。 21所以在上式兩邊同時關(guān)于y求導(dǎo)得t分布的密度函數(shù)為:這就是自由度為的分布的密度函數(shù)。 22分布的密度函數(shù)的圖象是一個關(guān)于縱軸對稱的分布 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形狀類似,只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些,尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。 232425自由度為1的分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布,它的均值不存在;1時,分

4、布的數(shù)學(xué)期望存在且為0。1時,分布的方差存在,且為/(-2);當(dāng)自由度較大 時,分布可以用(0,1)分布近似(見下頁圖)2627N(0,1)和t(4)的尾部概率比較28當(dāng)隨機(jī)變量 時稱滿足的是自由度為的分布的1-分位數(shù)。由于分布的密度函數(shù)關(guān)于0對稱,故其分位數(shù)間有如下關(guān)系譬如。那么從附表4 上查到可以從附表4中查到。譬如=10,=0.05,分位數(shù)2930315.4.4 一些重要結(jié)論的樣本,其樣本定理5.4.1 設(shè)是來自正態(tài)總體均值和樣本方差分別為和則有(1)與(2)(3)相互獨立;32證明 記,則有取一個n維正交矩陣A,其第一行的每一個元素均為,如33令Y=AX,則由多維正態(tài)分布的性質(zhì)知Y仍服

5、從n維正態(tài)分布,其均值和方差分別為由此,且都服從正態(tài)的各個分量相互獨立,分布,其方差均為 ,而均值不完全相同,34這證明了結(jié)論(1) 這證明了結(jié)論(2) 這證明了結(jié)論(3) 35推論5.4.1 在定理5.4.1的記號下,有將5.4.4 左端改寫為 由于分子是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量,分母的根號里是自由度為n-1的t變量除以它的自由度,且分子與分母相互獨立,由t分布定義可知,tt(n-1),推論證完。證明 由定理5.4.1(2)可以推出36推論5.4.2 設(shè)是來自的樣本,是來自的樣本且此兩樣本相互獨立,記其中則有特別,若,則37證明: 由兩樣本獨立可知,與相互獨立且由F分布定義可知FF(m-1,n-1)38推論5.4.3 在推論5.4.2的記號下,設(shè),并記則39證明 由與獨立由定理5.4.1知,獨立,相互獨立,

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