三大抽樣分布課件（PPT42頁)

1、5.4 三大抽樣分布1本次課教學(xué)目的： 掌握三大抽樣分布的構(gòu)造性定義并熟悉一些重要結(jié)論重點(diǎn)難點(diǎn): 三大抽樣分布的構(gòu)造及其抽樣分布 一些重要結(jié)論教學(xué)基本內(nèi)容及其時(shí)間分配 三大抽樣分布的構(gòu)造性定義30分鐘 定理及其三個(gè)推論以及證明70分鐘根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)所采取的教學(xué)方法和手段: 啟發(fā)式講授，圖文結(jié)合加深對(duì)三大分布的印象2引 言有許多統(tǒng)計(jì)推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個(gè)著名統(tǒng)計(jì)量在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，這是因?yàn)檫@三個(gè)統(tǒng)計(jì)量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達(dá)式，他們被稱為統(tǒng)計(jì)中的“三大抽樣分布”.若設(shè) 是來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個(gè)相互獨(dú)立的樣本，則此三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)

2、造及其抽樣分布如表5.4.1所示.345.4.1 分布(卡方分布)問題：如何確定 的分布？5圖像：密度函數(shù)的圖像是一個(gè)只取非負(fù)值的偏態(tài)分布 數(shù)字特征：6789當(dāng)隨機(jī)變量時(shí)，對(duì)給定的，稱滿足的是自由度為n的卡方分布的分位數(shù). 10115.4.2 F分布其中m稱為分子自由度，n稱為分母自由度.定義5.4.2 設(shè)獨(dú)立，則稱的分布是自由度為m與n的F分布,記為問題：如何確定 的分布？首先，我們導(dǎo)出的密度函數(shù) 第二步，我們導(dǎo)出 的密度函數(shù) 12首先，我們導(dǎo)出的密度函數(shù) 13Z的密度函數(shù)為 14第二步，我們導(dǎo)出 的密度函數(shù) 這就是自由度為m與n的F分布的密度函數(shù)。） 15161718有F分布的構(gòu)造知，若F

3、F(m,n),則有1/F F(n,m),故對(duì)給定， 19例5.4.1 若取m=10,n=5, =0.05,那么從附表5上查得205.4.3 t 分布定義5.4.3設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立且則稱的分布為自由度為n的t分布，記為問題：如何確定 的分布？由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)的對(duì)稱性知，從而t與-t有相同分布。 21所以在上式兩邊同時(shí)關(guān)于y求導(dǎo)得t分布的密度函數(shù)為：這就是自由度為的分布的密度函數(shù)。 22分布的密度函數(shù)的圖象是一個(gè)關(guān)于縱軸對(duì)稱的分布 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形狀類似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些，尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。 232425自由度為1的分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，它的均值不存在；1時(shí),分

4、布的數(shù)學(xué)期望存在且為0。1時(shí),分布的方差存在，且為/(-2)；當(dāng)自由度較大 時(shí)，分布可以用(0,1)分布近似(見下頁圖)2627N(0，1)和t(4)的尾部概率比較28當(dāng)隨機(jī)變量 時(shí)稱滿足的是自由度為的分布的1-分位數(shù)。由于分布的密度函數(shù)關(guān)于0對(duì)稱，故其分位數(shù)間有如下關(guān)系譬如。那么從附表4 上查到可以從附表4中查到。譬如=10,=0.05,分位數(shù)2930315.4.4 一些重要結(jié)論的樣本，其樣本定理5.4.1 設(shè)是來自正態(tài)總體均值和樣本方差分別為和則有（1）與（2）（3）相互獨(dú)立；32證明 記，則有取一個(gè)n維正交矩陣A，其第一行的每一個(gè)元素均為,如33令Y=AX，則由多維正態(tài)分布的性質(zhì)知Y仍服

5、從n維正態(tài)分布，其均值和方差分別為由此，且都服從正態(tài)的各個(gè)分量相互獨(dú)立，分布，其方差均為 ,而均值不完全相同，34這證明了結(jié)論（1） 這證明了結(jié)論（2） 這證明了結(jié)論（3） 35推論5.4.1 在定理5.4.1的記號(hào)下，有將5.4.4 左端改寫為 由于分子是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，分母的根號(hào)里是自由度為n-1的t變量除以它的自由度，且分子與分母相互獨(dú)立，由t分布定義可知，tt（n-1），推論證完。證明 由定理5.4.1（2）可以推出36推論5.4.2 設(shè)是來自的樣本，是來自的樣本且此兩樣本相互獨(dú)立，記其中則有特別，若，則37證明: 由兩樣本獨(dú)立可知，與相互獨(dú)立且由F分布定義可知FF（m-1，n-1）38推論5.4.3 在推論5.4.2的記號(hào)下，設(shè),并記則39證明 由與獨(dú)立由定理5.4.1知，獨(dú)立，相互獨(dú)立，