空間向量與立體幾何2課時教案

1、第二講 空間向量與立體幾何(2課時)主備人：張金舟、高考重點1、空間向量證明平行、垂直，求空間角。2、空間直角坐標系的建立及學(xué)生的運算能力。二、主干知識整合1.空間向量(1)加減法和線性運算;(2)共線向量定理;(3)共面向量定理；即 0w a, b v 兀;(4)空間向量基本定理;(5)空間兩個向量的夾角；空間兩向量夾角的范圍是0,兀(6)向量的數(shù)量積;(7)空間向量的坐標運算.2.夾角計算公式(1)線線角：直線與直線所成的角為a, b |;(2)線面角：直線與平面所成的角為sin 0= |cosa, n |;(3)面面角：兩相交平面所成的角為0,如兩直線的方向向量分別為a, b,則cos0

2、= |cos依如直線的方向向量為a,平面的法向量為 n,則為兩平面的法向量分別為m和n2,則cos 0= |cosm, n2|,其特殊情況是兩個半平面所成的角即二面角，也可以用這個公式解決，但要判定二面角的平面角是銳角還是鈍角的情況以決定cos0= |cos n1, n2還是cos 0= |cos m, n2 |.3.距離公式(1)點點距：點與點的距離，以這兩點為起點和終點的向量的模；(2)點線距：點 M到直線a的距離，如直線的方向向量為a,直線上任一點為 N,則點 .M到直線a的距離d=|MN|sinMN, a；(3)線線距：兩平行線間的距離，轉(zhuǎn)化為點線距離；兩異面直線間的距離，轉(zhuǎn)化為點面距

3、離或者直接求公垂線段的長度；點面距：點 M到平面a的距離：如平面 a的法向量為n,平面a內(nèi)任一點為 N,則點M到平面a的距離d = |MN|cos mn , n|“n 1nl(5)線面距：直線和與它平行的平面間的距離，轉(zhuǎn)化為點面距離;(6)面面距：兩平行平面間的距離，轉(zhuǎn)化為點面距離三、例題講解例12011湖北卷如圖，已知正三棱柱 ABC A1B1C1的各棱長都是 4, E是BC的中點，動點 F在側(cè)棱 CCi上，且不與點 C重合.(1)當 CF = 1 時，求證：EFXA1C;(2)設(shè)二面角C-AF-E的大小為。，求tan。的最小值.ABC，側(cè)面 A1C,【解答】 解法1:過E作ENLAC于N,

4、連接EF.(1)如圖，連接NF、AC1,由直棱柱的性質(zhì)知，底面又底面ABC n側(cè)面A1C = AC,且EN?底面ABC,所以ENL側(cè)面A1C, NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影，在 RtCNE 中,CN=CEcos60 =1,則由CN = -,彳導(dǎo) NF / AC1CA 4又 ACAC,故 NFXA1C, 由三垂線定理知 EFXA1C.(2)如圖，連接 AF,過N作NMXAF于M,連接 ME, 由(1)知ENL側(cè)面AC,根據(jù)三垂線定理得 EM XAF,所以/ EMN是二面角CAFE的平面角，即/ EMN = 0,在 RtAMN 中，MN=ANsin“= 3sin a,NEtan 0=T7T； =

5、MN上33sin a,又 045, 1- 0sin 乎，故當 sin a=乎，即當a= 45時，tan。達到最小值,tan 0=乎，此時F與Ci重合.設(shè)/ FAC= ，則 0 45.在 RtCNE 中，NE= EC sin60 =木,解法2: (1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則由已知可得 A(0,0,0), B(2j3, 2,0),C(0,4,0), Ai(0,0,4), E(3, 3,0), F(0,4,1),于是 cAi=(0, 4,4), EF = (一胃，1,1),則CAiEF=(0, -4,4) (-3, 1,1) = 0 4+ 4=0,故 EFAiC.(2)設(shè) CF= ?(0/

6、5.(1)求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角 A-A1C1-B1的正弦值；(3)設(shè)N為棱B1C1的中點，點 M在平面 AA1B1B內(nèi)，且 MN，平面A1B1C1,求線段BM的長.【解答】方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點B 為坐標原點.依題意得 A(2V2, 0,0), B(0,0,0), C(V2, -V2, 市)，A1(20 2V2, 0), B1(0,2亞 0), C1(V2,花，V5).(1)易得 AC=(V2, -V2, 5), A7B1=(-2V2,4=&3X27230,0),日 /、 AC A1B1ZE cosAC, A1B1= 二|扁而1|所以異面直線 AC與A1B1所成角的余弦值為：23 .m A1C1 = 0,m AA1= 0.(2)易知 AA1=(0,22, 0), A1C1 = (-V2, -2, m n 2|m| In1幣幣2從而 sinm,n3,57所以二面角 A- AiCi Bi的正弦值為3.51由N為棱BiCi的中點，得N尊3.2.52 2不妨令y=g可得n=(0,g2)2)