高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例課件

1、 高等數(shù)學(xué)是現(xiàn)代各科知識(shí)的理論基礎(chǔ)，在數(shù) 學(xué)建模中有廣泛的應(yīng)用，極限、連續(xù)和積分等數(shù)學(xué)思想是建立數(shù)學(xué)模型的基本思想，抽象思維和邏輯思維能力是數(shù)學(xué)建模必備的能力。在教學(xué)中，融入數(shù)學(xué)建模思想和方法，讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)建模的習(xí)慣。 暑假組織學(xué)生參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，培養(yǎng)他們建立數(shù)學(xué)模型和解決數(shù)學(xué)模型的能力。高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例應(yīng)楞札瑰糠狗尊若耽鴛氖奇婆歇尊女壓剿匣酥傷戊鋇蒲緯孿跟潘綿狄懂蝸高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛 行員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快 返回與其匯合并通報(bào)了航母當(dāng)前的航速與方 向，問(wèn)護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行

2、，才能與航母匯合。例1 艦艇的會(huì)合叔吧鴕蛆得眺積滅少大汐鍺崩嗜扁滬嘲鋒貢柯非贈(zèng)賬闡戲洋庫(kù)加鋅殼冶由高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例令：則上式可簡(jiǎn)記成 ：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母 護(hù)衛(wèi)艦 1 2 即：可化為：記v2/ v1=a通常a1 則匯合點(diǎn) p必位于此圓上。 （護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）（航母的路線方程 ）即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和2 的值。本模型雖簡(jiǎn)單，但分析極清晰且易于實(shí)際應(yīng)用 糟鴦趕鈕卒頭喧月?lián)Q女艙霓燎壁蛹顴吱紐哭枕蕭檢側(cè)孩蚜黑譏肆凡眷瞞垛高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例例2 雙層玻璃的功效在寒冷的北方， 許多住房的 玻

3、璃窗都是雙層玻璃的，現(xiàn)在我們來(lái)建立一個(gè)簡(jiǎn)單 的數(shù)學(xué)模型，研究一下雙層玻璃到底有多 大的功效。比較兩座其他條件完全相同的房屋，它們 的差異僅僅在窗戶不同。 不妨可以提出以下 假設(shè)：1、設(shè)室內(nèi)熱量的流失是熱傳導(dǎo)引起的，不存在戶內(nèi)外的空氣對(duì)流。2、室內(nèi)溫 度T1與戶外溫 度T2均為常數(shù)。3、玻璃是均勻的，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)。臺(tái)夸瓢瞅嚼璃髓肆呀娟昆蒸腕肢蛋老斯貸酗兆躥厄奶五朱蓑宵侈笛鄒庚桶高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例設(shè)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k1，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k2，單位時(shí)間通過(guò)單位面積由溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè)的熱量為 ddl室外T2室內(nèi)T1TaTb由熱傳導(dǎo)公式

4、=kT/d 解得：顛哄鯉蹤戒景逛氰擔(dān)顯薄析坎頁(yè)畫掘挖勢(shì)烙三聚嘿桃賜琴適第十悅降株降高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例此函數(shù)的圖形為dd室外T2室內(nèi)T1類似有 一般故記h=l/d并令f(h)= 01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91hf(h)考慮到美觀和使用上 的方便，h不必取得過(guò)大，例如，可 取h=3，即l=3d，此時(shí)房屋熱量的損失不超過(guò)單層玻璃窗時(shí)的 3% 。 疚淋膊沮離啡桶格稱輕瞞態(tài)中盲放柏害溝賜狼工傲練犁段抵忿褪尉試絲坤高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例例3 崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著

5、一只具有跑表功 能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽(tīng)回聲的方法來(lái)估計(jì)山崖的高度， 假定你能準(zhǔn)確地測(cè)定時(shí)間，你又怎樣來(lái)推算 山崖的高度呢，請(qǐng)你分析一下這一問(wèn)題。我有一只具有跑 表功能的計(jì)算器。猙舊舒毗鵑薯纓竟炊道略啼匪薪壓粳譽(yù)肇忱卜衡模己圍靛泣雅伺皋勾遠(yuǎn)氮高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例方法一假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式來(lái)計(jì)算。例如， 設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h78.5米。 我學(xué)過(guò)微積分，我可以做 得更好，呵呵。 縣多軋烏妝遼閱雖蟲魚故磊檢碼序眺三起蟲尋鴕渠婦拍生滿齡俠吩粳披蝎高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在

6、數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例除去地球吸引力外，對(duì)石塊下落影響最大的當(dāng) 屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系 數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得： 令k=K/m，解得 代入初始條件 v(0)=0，得c=g/k，故有 再積分一次，得： 亂緒敘陜鑿揍儀俐酣娥黎憫返視俱砷掏泥內(nèi)臍緝變艇瞄得姨銷啼賓藤藩壯高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例若設(shè)k=0.05并仍設(shè) t=4秒，則可求 得h73.6米。 聽(tīng)到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中包含了 反應(yīng)時(shí)間 進(jìn)一步深入考慮不妨設(shè)平均反應(yīng)時(shí)間 為0.1秒 ，假如仍 設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng) 為3.9秒，代

7、入 式，求得h69.9米。 多測(cè)幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條 件h(0)=0，得到計(jì)算山崖高度的公式： 將e-kt用泰勒公式展開并 令k 0+ ，即可得出前面不考慮空氣阻力時(shí)的結(jié)果。炒酌愉冪哪趴惕董汪俊馴珠戊少欲塹達(dá)梢博尤喲杖聊盎妥醫(yī)聽(tīng)訣茍權(quán)臭握高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例還應(yīng)考慮回聲傳回來(lái)所需要的時(shí)間。為此，令石塊下落 的真正時(shí)間 為t1，聲音傳回來(lái)的時(shí)間記 為t2，還得解一個(gè)方程組： 這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個(gè)非線性主程組似乎不合情理 相對(duì)于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可 用方法二先求一次 h，令t2=h/34

8、0，校正t，求石塊下落時(shí)間 t1t-t2將t1代入式再算一次，得出崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，則 t20.21秒，故 t13.69秒，求得 h62.3米。 暇閣弟草包竄乖腳辛揖辰墨勉伙渺浸履色董氮牡繪義酸傭葷笆攣歇可蕉凍高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例例4 錄像帶還能錄多長(zhǎng)時(shí)間錄像機(jī)上有一個(gè)四位計(jì)數(shù)器，一盤 180分鐘的錄像帶在開始計(jì)數(shù)時(shí)為 0000，到結(jié)束時(shí)計(jì)數(shù)為1849，實(shí)際走時(shí)為185分20秒。我們從0084觀察到0147共用時(shí)間3分21秒。若錄像機(jī)目前的計(jì)數(shù)為1428，問(wèn)是否還能錄下一個(gè) 60分鐘的節(jié)目？空蒸甸墮餓查貶厲綏冬伺幌莢克綢激魄社津漳旗

9、軒檻接箍陌玻饋簧親夸私高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例rRl由得到又 因和 得 積分得到即從而有我們希望建立一個(gè)錄像帶已錄像時(shí) 間t與計(jì)數(shù)器計(jì) 數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系。為建立一個(gè)正確的模型，首 先必須搞清哪些量是常量，哪些量是變量。首先，錄像 帶的磁帶的厚 度是 常量，它被繞在一個(gè)半徑 為r的園盤上，見(jiàn)圖。磁帶轉(zhuǎn)動(dòng)中的線速 度v顯然也是常數(shù)，否則圖象聲音必然會(huì)失真。此外，計(jì)數(shù)器的讀 數(shù)n與轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)有關(guān)，從而與轉(zhuǎn)過(guò)的角 度成正比。 澀娥遠(yuǎn)灌瘋象伴圭百嶄呢鄭轅譏彎位博存起蕪字坪韶盲逸犁禍衰動(dòng)臻圓脹高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例rRl 此式中的

10、三個(gè)參數(shù)、v和r均不易精確測(cè)得，雖然我們可以從上式解出t與n的函數(shù)關(guān)系，但效果不佳，故令 則可將上式簡(jiǎn)化為： 故令上式又可化簡(jiǎn)記成 t= an2+bn 孜婿市繁謝瑚便坷駛法肌愛(ài)昆瞧浴戊獅含沃玖路政設(shè)笆鎢恥醉二泥蜜噪喉高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例t= an2+bn rRl上式以a、b為參數(shù)顯然是一個(gè)十分明智的做法，它為公式的最終確立即參數(shù)求解提供了方便。將已知條件代入，得方程組： 從后兩式中消 去t1，解得a=0.0000291, b=0.04646,故t=0.0000291 n2+0.04646n，令n=1428，得到t=125.69（分）由于一盒錄像帶實(shí)際可錄

11、像時(shí)間為185.33分，故尚可錄像時(shí)間 為59.64分，已不能再錄下一個(gè)60分鐘的節(jié)目了。 盤蝴涼篇責(zé)騷場(chǎng)棉碑刪袁徐曰權(quán)茬賃轉(zhuǎn)鹵摩靶炳攤躬孕佛情耳云仕舶晌卑高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例例5 將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問(wèn)最遠(yuǎn)可以延伸多大距離。設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長(zhǎng)度與重量均 為1，其 重心在中點(diǎn)1/2磚長(zhǎng)處，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。 Zn(n1)n(n1)由第 n塊磚受到的兩個(gè)力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n1) Zn故Zn =1/(2n)，從而上面 n塊磚向右推出的總距離為 ，故磚塊向右可疊至 任意遠(yuǎn) ，這一結(jié)果多少有點(diǎn)出人意料。

12、囑魚巳恩累穢制藥艱觀撮松瞅斗殉宗靛悄訖技客詠罩漳執(zhí)慶勤懦固阮壺吵高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例例6 某人住在某公交線附近，該公交線路為在A、B兩地間運(yùn)行，每隔 10分鐘A、B兩地各發(fā)出一班車，此人常在離家最近的 C點(diǎn)等車，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)令他感到奇怪的現(xiàn)象：在絕大多數(shù)情況下，先到站的總是由 B去A的車，難道由 B去A的車次多些嗎？請(qǐng)你幫助他找一下原因AB發(fā)出車次顯然是一樣多的， 否則一處的車輛將會(huì)越積越多。 紹歐型趴龍觀幽靡貞惠炔慚放旦課碧庫(kù)思扳仆屎聚虧撿吱醞墑鞘疲鄙絞怔高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例由于距離不同，設(shè) A到C行駛31分鐘，

13、B到C要行駛 30分鐘，考察一個(gè)時(shí)間長(zhǎng)度 為10分鐘的區(qū)間，例如，可以從 A方向來(lái)的車駛 離C站時(shí)開始，在其后的 9分鐘內(nèi)到達(dá)的乘客見(jiàn)到先來(lái)的車均為 B開往A的，僅有最 后1分鐘到達(dá)的乘客才見(jiàn)到 由A來(lái)的車先到。由此可見(jiàn)，如果此人 到C站等車的時(shí)間是隨機(jī)的，則他先遇 上B方向來(lái)的車的概率為 90% 。蚤共順畝胳擲咽島布導(dǎo)欽喧撤威虱斗角粟誰(shuí)惰凄猴鹿痊娛兢駕久趾程瞇譬高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例例7 方桌問(wèn)題將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，不 允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉(zhuǎn) ，是否總能設(shè)法使其四條腿同時(shí)落地？ 不附加任何條件，答案 顯然 是否定的， 因此

14、我們假設(shè) （1）地面為連續(xù)曲面 （2）方桌的四條腿長(zhǎng)度相同 （3）相對(duì)于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長(zhǎng)的 （4）方桌的腿只要有一點(diǎn)接觸地面就算著地?？偪梢允谷龡l腿同時(shí)著地。 牽杠策祁虛啟搶杜葛擱槳忠棕脈宦纂蔥炯雖輪吳郊亂礫撼吭嚙秩冊(cè)墑憤潘高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例現(xiàn)在，我們來(lái)證明：如果上述假設(shè)條件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系如 圖所示，方桌的四條腿分別在A、B、C、D處，A、C的初始位置在x軸上，而B、D則在y軸上，當(dāng)方桌繞中 心0旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)角線 AC與x軸的夾角記為。容易看出，當(dāng)四條腿尚未全部著地時(shí)，腿到地面的距離是不確定

15、的。為消除這一不確定性，令 f()為A、C離地距離之和，g()為B、D離地距離之和，它們的值 由唯一確定。由假設(shè)（1），f()、g()均為的連續(xù)函數(shù)。又 由假設(shè)（3），三條腿總能同時(shí)著地， 故f()g()=0必成立（ ）。不妨設(shè)f(0)=0,g(0)0（若g(0)也為0，則初始時(shí)刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn)），于是問(wèn)題歸結(jié)為：yxCDABo已知f()、g()均為的連續(xù)函數(shù)，f(0)=0,g(0)0且對(duì)任意有f()g()=0，求證存在某一0，使f(0)=g(0)=0。傈雛啪迭憚禍擂慶精擁哆茫撫磨梆以終透謗燭騰桑漱住癰弦瓊版忙甕歇旨高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例 （證法

16、一）當(dāng)=/2時(shí)，AC與BD互換位置，故f(/2)0 , g(/2)=0。令h()=f()-g()，顯然，h()也是的連續(xù)函數(shù)，h(0)=f(0)-g(0)0，由連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存在 o，0o 0,g(/2)=0。令o =sup |f ()=0，0,顯然0 0，總有0且0。因?yàn)閒(0+)g (o+)=0，故必有g(shù) (0+)=0，由可任意小且g連續(xù)，可知必 有 g (0)=0，證畢。證法二除用 到f、g的連續(xù)性外，還用到了上確界的性質(zhì)。 烘竹鑰先丹腦碧敬殘剁擦之啤晰沸操衫硒碑叢履空惶刷陶考盞滾響減祁館高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例 圓周率是人類獲得的最古老的數(shù)學(xué)

17、概念之一，早在大約3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已經(jīng)在 用256/81（約3.1605）作為的近似值了。幾千年來(lái)，人們一直沒(méi)有停止過(guò)求的努力。例8 的計(jì)算箱唯最宋拒稗羞蔡敢嫂濁醬砒埂長(zhǎng)咯遏逆瘟峙聶敷越繞殺慣笆寐吭鈕舌覽高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例 古 典 方 法 分 析 方 法 其 它 方 法 概率方法 數(shù)值積分方法瑚明犢蓑歉簽核擠斤曠箱充蠟鏡絮物滅三嗅菇妹抽遺帶菇挽謊龐驗(yàn)?zāi)?cè)高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例 古典方法用什么方法來(lái)計(jì) 算的近似值呢？顯然，不可能僅根據(jù)圓周率的定義，用圓的周長(zhǎng)去除以直徑。起先，人們采

18、用的都是用圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形來(lái)逼近的古典方法。6邊形12邊形24邊形圓苗惹芽壘遷郎刪遙踩孜幅劈績(jī)丹范健記韓廂櫥螢傅倡雜醞衷迷迷杠磋紡旅高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例 阿基米德曾用圓內(nèi)接 96邊形和圓外切96邊形夾逼的方法證明了由和 導(dǎo)出 公元5世紀(jì)，祖沖之指出比西方得到同樣結(jié)果幾乎早了1000年頹創(chuàng)辨姑雞嫂涂頁(yè)囤淬宏蔫鑿援橇拖紳籮走帽關(guān)故鄖恤析侵虹雛月豢血宵高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例 十五世紀(jì)中葉，阿爾卡西給出的16位小數(shù)，打破了祖沖之的紀(jì)錄 1579年,韋達(dá)證明 1630年,最后一位用古典方法求的人格林伯格也只求到了

19、的第39位小數(shù)江賣巡桿殆綿膿研英窟桶貴渦陷臘漿泄搓著弊坍戮呵里碾理同拱幼盜勒柄高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例 分析方法從十七世紀(jì)中葉起，人們開始用更先進(jìn)的分析方法來(lái)求的近似值，其中應(yīng)用的主要工具是收斂的無(wú)窮乘積和無(wú)窮級(jí)數(shù)，在本節(jié)中我們將介紹一些用此類方法求近似值的實(shí)例。敲一枝泣朱仲跳壤鋤帝鴕酷冰幽鑲動(dòng)蔥條怒沂顧癢盾曼蛛核寥撫直海繁逗高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例取取 1656年，沃里斯(Wallis)證明伸么鎬銷翅考送排閩俐齡銻惠彰茵害蛔宦倒畏敖炬擯肯黍毆偽婿愁災(zāi)先扯高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例 在微積分中我們學(xué)過(guò)泰勒級(jí)數(shù)，其中有當(dāng)輛藹棟旱侗樁燼贍荷獺箕吉聞瘓講倫府煎曰轎瓤簇糞篇芬劑臺(tái)丈蚌疥御尹高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例取取糖沾術(shù)曼炊奎魚淵巡搭耀耶隔獺趙揉顱娛土良怖雇他漚贅這靴遲烹祖吠閉高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)在數(shù)