2022年函數(shù)極限與連續(xù)習(xí)題及答案

1、第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)(A) 1區(qū)間a ,表示不等式 ( ) x) AaxBaxCaxDax2若t3t1，則3t1( ) A3t1B6t2C9t2Dt93 t63 t323設(shè)函數(shù)fxln3x152xarcsinx的定義域是 ( ) A1,5B1 ,5C11,D1,132234下列函數(shù)fx與gx相等的是 ( ) Afxx2，gxx4Bfxx，gxx2Cfxx1，gxx1Dfxx21，gxx1x1x1x15下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是( ) AysinxByxe2C2x22xsinxDyx2cosxxsinxx26若函數(shù)fxx，2x2，則fx1的值域?yàn)?( ) A0 , 2B,0 3C,02D0 3,

2、7設(shè)函數(shù)fxx e(x0)，那么fx 1fx 2為( ) Afx 1fx 2Bfx 1x2Cfx 1x 2Dfx 1x28已知fx在區(qū)間,上單調(diào)遞減，則fx24的單調(diào)遞減區(qū)間是 ( A,B, 0C0 ,D不存在9函數(shù)yfx與其反函數(shù)yf1x的圖形對(duì)稱(chēng)于直線(xiàn) ( ) Ay0Bx0CyxDyx數(shù)f10函數(shù)y10 x12的反函數(shù)是 ( ) Aylgxx2Bylog x2Cylog 21Dy1lgx2x11設(shè)函數(shù)fxax,x是有理數(shù)0a1，則 ( ) 0,x是無(wú)理數(shù)A當(dāng) x時(shí)，fx是無(wú)窮大B當(dāng) x時(shí)，fx是無(wú)窮小C當(dāng) x時(shí)，fx是無(wú)窮大D當(dāng) x時(shí)，fx是無(wú)窮小12設(shè)fx在 R 上有定義，函數(shù)fx在點(diǎn)x

3、 左、右極限都存在且相等是函x在點(diǎn)x 連續(xù)的 ( ) A充分條件B充分且必要條件C必要條件D非充分也非必要條件13若函數(shù)fxx2a,x1在 R 上連續(xù)，則 a 的值為 ( ) cosx,x1A0 B1 C-1 D-2 14若函數(shù)fx在某點(diǎn)0 x 極限存在，則 ( ) Afx在x 的函數(shù)值必存在且等于極限值Bfx在0 x 函數(shù)值必存在，但不一定等于極限值Cfx在0 x 的函數(shù)值可以不存在D如果f0 x存在的話(huà)，必等于極限值15數(shù)列 0 ，1 ，32 ，43 ，54 ，, 是 ( 6) A以 0 為極限B以 1 為極限C以nn2 為極限D(zhuǎn)不存在在極限16lim xxsin1( ) xAB不存在C1

4、 D0 17lim x112x( ) xAe2B) C0 1 D 218無(wú)窮小量是 ( A比零稍大一點(diǎn)的一個(gè)數(shù)B一個(gè)很小很小的數(shù)f1C以零為極限的一個(gè)變量D數(shù)零，f0= ，2x,1x019設(shè)fx2 ,0 x1則fx的定義域?yàn)閤,11x3= 。20已知函數(shù)yfx的定義域是1,0，則fx2的定義域是21若fx11x，則ffx，fffx。22函數(shù)yex1的反函數(shù)為。23函數(shù)y5 sinx的最小正周期 T。24設(shè)f1x1x2，則fx。x25lim xn3nn1。26lim n1111。2 14 1n 21。1393n27lim x 0 xlnx。28lim x2x3203x230。5 x150 x,x

5、129函數(shù)fxx,11x2的不連續(xù)點(diǎn)為3x ,x230lim n3nsinx。3n31函數(shù)fxx11的連續(xù)區(qū)間是。2b32設(shè)fx。2axb,x ,x0ab0，fx處處連續(xù)的充要條件是abx2x033 若fx,1x0，gxsinx， 復(fù) 合 函 數(shù)fgx的 連 續(xù) 區(qū) 間是,1x0。34若 limxx1axb0，a，b 均為常數(shù)，則 a，b。x35下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)， 哪些是奇函數(shù)， 哪既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？(1)ytx2 1x2，(2)y3 x2x3，(3)y1x2，(4)yxx1 x11x2(5)ysinxcosx1，(6)yaxaxf1 。t22536若f2 t25t，證明ftt2t3

6、7求下列函數(shù)的反函數(shù)(1)y22x1，(2)y12sinx1xx138寫(xiě)出圖 1-1 和圖 1-2 所示函數(shù)的解析表達(dá)式39設(shè)fx2 1yx1 yx2 1 x圖 1-1 x0，求lim x 0f-1 圖 1-2 sinx,xx。1x2,040設(shè)x nx22n2xn，求lim nxn。n2341若f1，求lim x0fxfx。x2x42利用極限存在準(zhǔn)則證明：lim nnn21n212n21n1。43求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判別間斷點(diǎn)的類(lèi)型(1)y1fx2，(2)y1x，(3)yx，(4)yx2x2xx44設(shè)fxx ,0 x11,x1，問(wèn)：2(1) lim x 1,11x2x存在嗎？(2) fx在x

7、1處連續(xù)嗎？若不連續(xù)，說(shuō)明是哪類(lèi)間斷？若可去，則補(bǔ)充定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)。45設(shè)fxfx2,10 x1，fx的間斷點(diǎn)，并指出是哪一x,3x1(1)求出x的定義域并作出圖形。(2)當(dāng)xf1，1，2 時(shí)，fx連續(xù)嗎？2(3)寫(xiě)出x的連續(xù)區(qū)間。46設(shè)fx,2x,0 x24x2,0 x2，求出,4x2類(lèi)間斷點(diǎn)，若可去，則補(bǔ)充定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)。47根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，驗(yàn)證方程x53 x1至少有一個(gè)根介于1 和 2 之間。48驗(yàn)證方程x2x1至少有一個(gè)小于 1 的根。(B) 1在函數(shù)fx的可去間斷點(diǎn)0 x 處，下面結(jié)論正確的是 ( ) A函數(shù)fx在x 左、右極限至少有一個(gè)不存在B函數(shù)fx在0 x 左、

8、右極限存在，但不相等C函數(shù)fx在0 x 左、右極限存在相等D函數(shù)fx在x 左、右極限都不存在12設(shè)函數(shù) f x x 3 sin x , x 0，則點(diǎn) 0 是函數(shù) f x 的( ) 0 , x 0A第一類(lèi)不連續(xù)點(diǎn) B第二類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)C可去不連續(xù)點(diǎn) D連續(xù)點(diǎn)3若 lim x 0 f x 0，則 ( ) A當(dāng) g x 為任意函數(shù)時(shí)，有 lim f x g x 0 成立x x 0B僅當(dāng) x lim x 0 g x 0 時(shí)，才有x limx 0 f x g x 0 成立C當(dāng) g x 為有界時(shí)，能使 lim f x g x 0 成立x x 0D僅當(dāng) g x 為常數(shù)時(shí)，才能使 x lim x 0 f x g

9、x 0 成立4設(shè) x lim x 0 f x 及x lim x 0 g x 都不存在，則 ( ) Ax lim x 0 f x g x 及 lim x x 0 f x g x 一定不存在Bx lim x 0 f x g x 及x lim x 0 f x g x 一定都存在Clim f x g x 及 lim f x g x 中恰有一個(gè)存在，而另一個(gè)不存在x x 0 x x 0Dx lim x 0 f x g x 及 lim x x 0 f x g x 有可能存在x 2sin 15lim x 0 sin x x 的值為 ( ) A1 BC不存在 D0 26lim x 1 x sin1 2 1x

10、x2 ( ) 1 1 2ABC0 D3 3 37按給定的 x 的變化趨勢(shì)，下列函數(shù)為無(wú)窮小量的是 ( ) Ax4x2x1( x) B11x1( x) 1的值域xC12x(x0) Dxx(x0) sin8當(dāng)x0時(shí)，下列與 x同階 (不等價(jià) )的無(wú)窮小量是 ( ) AsinxxBln1xC2 x sinxDex19設(shè)函數(shù)gx12x，fgx1xx2，則f1為( ) 22A30 B15 C3 D1 10設(shè)函數(shù)fx2x24(0 x2)的值域?yàn)?E ，gxx22x2為 F ，則有 ( ) 2xAEFBEFCEFDEF11在下列函數(shù)中，fx與gx表示同一函數(shù)的是 ( ) Afx1，gx1x0Bfxx，gxx

11、2xCfxx2，gxxDfx3x3，gxx12與函數(shù)fx2 的圖象完全相同的函數(shù)是 ( ) Alne2xBsinarcsin2xCeln2xDarcsinsin) 13若x1，下列各式正確的是 ( ) A11Bx21Cx31Dx1x14若數(shù)列x n有極限 a，則在 a的領(lǐng)域之外，數(shù)列中的點(diǎn) ( A必不存在B至多只有限多個(gè)C必定有無(wú)窮多個(gè)D可以有有限個(gè)，也可以有無(wú)限多個(gè)15任意給定M0，總存在X0，當(dāng)fxxX時(shí)，fxM，則 ( ) AxlimfxBxlimCxlimfxDxlimfx16如果x lim x 0fx與x lim x 0fx存在，則 ( ) x0Alim x x 0fx存在且lim

12、x x 0fxfx0fBlim x x 0fx存在，但不一定有l(wèi)im x x0fxClim x x 0fx不一定存在Dlim x x 0fx一定不存在17無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小量之和，則( ) A必是無(wú)窮小量B必是無(wú)窮大量C必是有界量D是無(wú)窮小，或是無(wú)窮大，或有可能是有界量a18yarccoslnx21，則它的連續(xù)區(qū)間為 ( ) Ax1Bx2Ce1,22,e1De1,22,e119設(shè)fxlim n3nx，則它的連續(xù)區(qū)間是 ( ) 1nxA,Bx1(n 為正整數(shù) )處nC0,0Dx0及x1 處 n20設(shè)fxex,x0要使fx在x0處連續(xù)，則 a( ) axx0A2 B1 C0 D-1 21設(shè)fx1sin

13、x,x0，若fx在,上是連續(xù)函數(shù)，則x3a,x0( ) A0 B1 C1D3 33x,1x122點(diǎn)x1是函數(shù)fx1 ,x1的( ) 3x,x1A連續(xù)點(diǎn)B第一類(lèi)非可去間斷點(diǎn)C可去間斷點(diǎn)D第二類(lèi)間斷點(diǎn)) Dlim x 01123方程x4x10至少有一根的區(qū)間是 ( A0,1B11,C,2 3D,1 22224下列各式中的極限存在的是( ) 5xAlim xsinxBlim x 0e1Clim x2x2x212x3x25lim x 0 xx( ) sin。A1 B0 C-1 D不存在26lim n12nn2n2n2。27若fx1x213，則fxxx2，b。28函數(shù)ylnx21的單調(diào)下降區(qū)間為29已知

14、lim na2n2nbn52，則 a3230lim xx2axe2，則 a。x11是31函數(shù)fxex的不連續(xù)點(diǎn)是，是第類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)。32函數(shù)fxsin1的不連續(xù)點(diǎn)是，是第不連續(xù)點(diǎn)。x33當(dāng)x0時(shí)，31x1。34已知fx1x1，為使fx在x0連續(xù)，則應(yīng)補(bǔ)充定義f0。x35若函數(shù)fx1與函數(shù)gxx的圖形完全相同，則x 的取值范圍x。36 設(shè)fxxx3， 若fx0， 則 x； 若fx0， 則x；若fx0；則 x。S 1S 2S n。37設(shè)fx2 x ,x0，gx5 x ,x0，則fgxx,x03x ,x038設(shè)0u1，函數(shù)fu有意義，則函數(shù)f lnx的定義域。39設(shè)數(shù)列xn1n1的前 n 項(xiàng)和為S ，

15、那么lim x1n。40如果x0時(shí)，要無(wú)窮小1cosx與asin2x 2等價(jià)，a應(yīng)等于x連續(xù)。41要使lim x 0axb10，則 b 應(yīng)滿(mǎn)足。x42x lim1xx21x2,x1，當(dāng) A43函數(shù)fx時(shí)，函數(shù)f1x44已知lim x 2A,x1，b。x2axb2，則 ax2x21則 a45fxex2,x0，lim x 0fx；若fx無(wú)間斷點(diǎn)，ax0。處可可連續(xù)開(kāi)拓，只須令f0 xsin1在點(diǎn)x046函數(shù)fxx47lim x 012cosx。xcosx。48lim xx3ex。x49lim x 01cos2x250設(shè)Gxlnx，證明：當(dāng)x0，y0，下列等式成立：(1)GxGyGxy，(2) Gx

16、GyGx。y51設(shè)fxlg,1x1xyxe，求fgx和gfx。,0 x1，gx,1zyz。x152若1x x，證明：11yz53根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：(1) lim x3n193，(2) lim nn1nn0，2n12(3) lim n0991，(4)lim nn21nn個(gè)54根據(jù)函數(shù)極限的定義證明(1) lim x 0 xsin10，(2) lim x132x202，xx23(3) lim xarctgx0，(4)x lim 2x2x55求下列極限2 n(1) lim x 0 3 x 2 xx 12 (2) lim x 1 x xm 11 ( n， m為正整數(shù) )，(3) x lim 11

17、 xx (4) x lim xx cos7 x81 19(5) lim x 4 x2 7x 3 5 x100 8 (6) lim x 1 1 1x 1 3x 3(7) lim x 0 1x cossin x 2 x(8) limx 2 x cos x22 2(9) lim arcsin x (10) lim sin x sin ax 0 x x a x a1(11) limx 0 1 2 x 1x (12) lim x 0 1 1 xx xkx(13) lim x 01 tgx cos x(14) limx 1 1x ( k 為正整數(shù) ) 56當(dāng) x 0 時(shí)，求下列無(wú)窮小量關(guān)于 x 的階(1)

18、 x 3 x 6，(2) x 2 3 sin x，(3) 1 x 1 x，(4) tgx sin x57試證方程 x a sin x b，其中 a 0，b 0，至少有一個(gè)正根，并且不超過(guò) a b。58設(shè) f x 在閉區(qū)間 0 , 2 a 上連續(xù)，且 f 0 f 2 a，則在 ,0 a 上至少存在一個(gè) x，使 f x f x a。59設(shè) f x 在 a, b 上連續(xù)，且 f a a，f b b，試證：在 a, b 內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得： f。60設(shè)數(shù)列 x 有界，又 lim n y n 0，證明 lim n x n y n 0。3 3 3 361設(shè) x n 1n 4 2n 4 3n 4 nn 4，

19、求 lim n x n。3 x , 1 x 162設(shè) f x 2 , x 1，求 lim x 0 f x 及 lim x 1 f x。23 x , 1 x 2x x63求x lim ee x ee x。64求 lim x 0 2 sin xx 3 sin 2 x。65求下列極限(1) lim t 2ett14xx2x(2) lim2sin2xxxcosx4(3) lim x 15xx(4) lim x asinxsina1xa(6) lim x 013 tg2xcos(5) x limx2x(7) lim x 0exx1。(8) lim x2x3x12x166求lim x 0lnxx1(C)

20、fx1 若 存 在0 ， 對(duì) 任 意0 ， 適 合 不 等 式xa的 一 切 x ， 有L，則( ) fxAfx在 a不存在極限Bfx在a,a,a嚴(yán)格單調(diào)Cfx在a,a無(wú)界D對(duì)任意xa，fxL2 若 存 在0 ， 對(duì) 任 意0 ， 適 合 不 等 式xa的 一 切 x ， 有L，則( ) Axlim afxLBfx在 R 上無(wú)界) Dfx在 R 上單調(diào)Cfx在 R 上有界3函數(shù)fxlim n1xnxn2x2n(x0)，則此函數(shù) ( A 沒(méi)有間斷點(diǎn) C有兩個(gè)以上第一類(lèi)間斷點(diǎn)B有一個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn) D有兩個(gè)以上間斷點(diǎn)，但類(lèi)型不確定4若函數(shù)ykx2kx473的定義域?yàn)?R ，則 k 的取值范圍是 (

21、) 3kxA0k3Bk0或k3C0k3Dk44445兩個(gè)無(wú)窮小量與之積仍是無(wú)窮小量，且與或相比 ( ) A是高階無(wú)窮小B是同階無(wú)窮小C可能是高階，也可能是同階無(wú)窮小D與階數(shù)較高的那階同階6試決定當(dāng)x0時(shí)，下列哪一個(gè)無(wú)窮小是對(duì)于x 的三階無(wú)窮小 ( ) A3x2xBa3 xa(a0是常數(shù) ) 1Cx30. 0001x2D3 tan x7指出下列函數(shù)中當(dāng)x0時(shí)( )為無(wú)窮大A2x1B1sinxxCexDexsec8fx1xx1x,x0，如果fx在x0處連續(xù)，那么 k( ) A0 k ,x0。B2 C1D1 29使函數(shù)yx1x1為無(wú)窮小量的 x的變化趨勢(shì)是 ( ) x31Ax0Bx1Cx1D x1

22、，若 xfxfyfz，則 z = 。10設(shè)fx11若xx ,x0而fx2x，則fxx ,x01ex,x0處連續(xù)，則 afx在x。12若fx3x,0 x1在x1，L。e2axax e1,1x13設(shè)x lim1x3ax21x4有有限極限值L，則 ax14lim x axaaxa(a0) = 。0 x2215證明lim xsinx不存在。16求lim nn1xn(0 x1)。gx，試證：17求lim x3x9x1。x18設(shè)gx在x0處連續(xù)，且g00，以及fx處連續(xù)。19利用極限存在準(zhǔn)則證明：數(shù)列2 ，22，222，, 的極限存在。f20設(shè)fx適合afxbf1c( a 、 b 、 c 均為常數(shù) )且a

23、b，試證：xxxfx。f使21設(shè)函數(shù)f 在,內(nèi)有定義，fx0，fxyfxfy，試求1985。22設(shè)x 、x 、fx都為單調(diào)增加函數(shù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x 均有：xfxx，求證xffxx。23證明fxsin2當(dāng)x0時(shí)左右極限不存在。x24設(shè)x n111111，證明：當(dāng) n時(shí)nx 的極限存在。2232n225若fx在a,b上連續(xù)，ax 1x 2xnb，則在x ,x n上必有，ffx1fx2fxn。n26證明，若fx在,內(nèi)連續(xù)，且xlimfx存在，則fx必在,內(nèi)有界。其中27lim nnn11992，求、的值。，2,3內(nèi)有唯一的根，n28證明方程xa 11xa22xa 330，在1,2a ，a ，a 均為

24、大于 0 的常數(shù)，且123。第一章函數(shù)、極限與連續(xù)(A) 1區(qū)間a ,表示不等式 ( B ) xDaxC ) AaxBaxCa2若t3t1，則3t1( D ) t93 t63 t32A3t1B6t2C9t2Dx的定義域是 ( 3設(shè)函數(shù)fxln3x152xarcsinA1,5B1 ,5C11,D1,13223數(shù)f4下列函數(shù)fx與gx相等的是 ( A ) Afxx2，gxx4Bfxx，gxx2Cfxx1，gxx1Dfxx21，gxx1x1x1x15下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是( A ) AysinxByxe2C2x22xsinxDyx2cosxxsinxxx26若函數(shù)fxx，2x2，則fx1的值域?yàn)?(

25、 B ) A0 , 2B,0 3C,02D0 3,7設(shè)函數(shù)fxx e(x0)，那么fx 1fx 2為( B ) Afx 1fx 2Bfx 1x2Cfx 1x 2Dfx 1x28已知fx在區(qū)間,上單調(diào)遞減，則fx24的單調(diào)遞減區(qū)間是 ( C ) A,B, 0C0 ,D不存在9函數(shù)yfx與其反函數(shù)yf1x的圖形對(duì)稱(chēng)于直線(xiàn) ( C ) Ay0Bx0CyxDyx10函數(shù)y10 x12的反函數(shù)是 ( D ) Aylgxx2Bylog x2Cylog 21Dy1lgx2x11設(shè)函數(shù)fxax,x是有理數(shù)0a1，則 ( B ) 0,x是無(wú)理數(shù)A當(dāng) x時(shí)，fx是無(wú)窮大B當(dāng) x時(shí)，fx是無(wú)窮小C當(dāng) x時(shí)，fx是無(wú)

26、窮大D當(dāng) x時(shí)，fx是無(wú)窮小12設(shè)fx在 R 上有定義，函數(shù)fx在點(diǎn)x 左、右極限都存在且相等是函x在點(diǎn)x 連續(xù)的 ( C ) A充分條件 B充分且必要條件C必要條件D非充分也非必要條件213若函數(shù) f x x a , x 1 在 R 上連續(xù)，則 a 的值為 ( D ) cos x , x 1A0 B1 C-1 D-2 14若函數(shù) f x 在某點(diǎn) 0 x 極限存在，則 ( C ) Af x 在 x 的函數(shù)值必存在且等于極限值 0Bf x 在 0 x 函數(shù)值必存在，但不一定等于極限值Cf x 在 0 x 的函數(shù)值可以不存在D如果 f 0 x 存在的話(huà)，必等于極限值15數(shù)列 0 ，1 ，2 ，3

27、，4 ，, 是 ( B ) 3 4 5 6A以 0 為極限 B以 1 為極限C以 n 2 為極限 D不存在在極限n16limx x sin 1x ( C ) AB不存在 C1 D0 2 x17lim 1 1 ( A ) x x2 1Ae BC0 D218無(wú)窮小量是 ( C ) A比零稍大一點(diǎn)的一個(gè)數(shù)B一個(gè)很小很小的數(shù)f1C以零為極限的一個(gè)變量則fD數(shù)零f0= 2 ，2x,1x0 x的定義域?yàn)?,1，19設(shè)fx2 ,0 x11,0，則fx2的定義域是1,1。x,11x3= 0 。20已知函數(shù)yfx的定義域是b21若fx11x，則ffxxx1 ，fffxx 。22函數(shù)yex1的反函數(shù)為yln x1

28、。23函數(shù)y5 sinx的最小正周期 T2 24設(shè)f1x1x2，則fx111。xxx225lim xn3nn13 。226lim n11114 。32 14 1n 211393n27lim x 0 xlnx0 。28lim x2x3203x23022030 3。1505501 。5 xx,x129函數(shù)fxx,11x2的不連續(xù)點(diǎn)為3x ,x2、,1。30lim n3nsinxx 。3n31函數(shù)fxx11的連續(xù)區(qū)間是,1、1,1232設(shè)fxaxbx,x ,x0ab0，fx處處連續(xù)的充要條件是ab2x00 。k33 若fx,1x0，gxsinx， 復(fù) 合 函 數(shù)fgx的 連 續(xù) 區(qū) 間 是,1x0,

29、 k1，k0,1,2。34若lim xx21axb0，a ，b均為常數(shù)， 則 a1 ，b2 。x35下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)， 哪些是奇函數(shù)， 哪既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？(1)ytfx2 1x2偶函數(shù)(2)y3 x2x 3非奇函數(shù)又非偶函數(shù)(3)y1x2偶函數(shù)1x2(4)yxx1 x1奇函數(shù)(5)ysinxcosx1非奇函數(shù)又非偶函數(shù)(6)yax2ax偶函數(shù)36若f2 t2255t，證明ftf1 。tt2t證：1212 t25 t51tt2tft37求下列函數(shù)的反函數(shù)(1)y2x112x1解：y1ln1xx(2)y12sinxx1y1arcsinxx21arcsin1238寫(xiě)出圖 1-1 和圖 1

30、-2 所示函數(shù)的解析表達(dá)式2 yx1 yx1 圖 1-1 -1 圖 1-2 解： (1)y2 ,x0(2)yx,1x0,1x0 x,1x039設(shè)fxsinx,xx0，求lim x 0fx。nx1x2,0解：lim x 0fxlim x 0sinx1xx21l i m fx 0 xl i m 1x 0故lim x 0fx1。1n，求lim nxn。40設(shè)x n2 122n2n23nn12n解：lim n1222n2n2nlim n6 2 n313lim n112 n12nlim n211nn66241若fx1，求lim x0fxxfx。x2x解：lim x0 x211x22xx2x2xx l i

31、 m x 0 x22xxl i m x 0 x22xxxx23x42利用極限存在準(zhǔn)則證明：nlim nn11nn21n1。n2n22證：n2n2nn21n2n211n2nn2n2且lim nn2n2n1，lim n1，由夾逼定理知2lim nnn21n212n21n143求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判別間斷點(diǎn)的類(lèi)型(1)y1x2，(2)y1x，(3)yx，(4)yx1。2x2xx解： (1)當(dāng)x1為第二類(lèi)間斷點(diǎn)； (2)x2均為第二類(lèi)間斷點(diǎn)；(3)x0，為第一類(lèi)斷點(diǎn)； (4)x0,1 ,2 ,，均為第一類(lèi)間斷點(diǎn)。44設(shè)fx ,0 x1x1,x1，問(wèn)：2(1) ,11x2lim x 1fx存在嗎？解：

32、lim x 1fx存在，事實(shí)上lim x 1fx1，lim x 11fx1，故lim x 1fx(2) fx在x1處連續(xù)嗎？若不連續(xù)，說(shuō)明是哪類(lèi)間斷？若可去，則補(bǔ)充定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)。在x解：不連續(xù)，x1為可去間斷點(diǎn)， 定義：f*xx,0 x1，則f*x1 ,x11處連續(xù)。21 ,1x45設(shè)fxx2,10 x1，fyx,3x10 1 x(1)求出fx的定義域并作出圖形。解：定義域?yàn)?01時(shí)，fx不連續(xù)。(2)當(dāng)x1，1，2 時(shí)，fx連續(xù)嗎？2解：x1，x2時(shí)，fx連續(xù)，而x2(3)寫(xiě)出fx的連續(xù)區(qū)間。x的間斷點(diǎn)，并指出是哪一解：fx的連續(xù)區(qū)間1,0、,1。,2x,0 x246設(shè)fx4x2,0

33、 x2，求出,4x2類(lèi)間斷點(diǎn)，若可去，則補(bǔ)充定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)。解：(1)由lim x 0fx4，f02，故x0為可去間斷點(diǎn)，改變fx在x0的定義為f04，即可使fx在x0連續(xù)。1 和 2 之(2)由lim x 2fx4，lim x 2fx0，故x2為第一類(lèi)間斷點(diǎn)。(3)類(lèi)似地易得x2為第一類(lèi)間斷點(diǎn)。47根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，驗(yàn)證方程x53 x1至少有一個(gè)根介于間。f2驗(yàn)證：設(shè)fx5 x3x1，易知fx在2,1上連續(xù)，且f130，2561250，故,12，使f0。f148驗(yàn)證方程x2x1至少有一個(gè)小于 1 的根。f010，驗(yàn) 證 ： 設(shè)fxx2x1， 易 知fx在1,0上 連 續(xù) ， 且10，

34、故,1 2，使f0。(B) 1在函數(shù)fx的可去間斷點(diǎn)0 x 處，下面結(jié)論正確的是 ( C ) A函數(shù)fx在x 左、右極限至少有一個(gè)不存在B函數(shù)fx在0 x 左、右極限存在，但不相等C函數(shù)fx在0 x 左、右極限存在相等D函數(shù)fx在x 左、右極限都不存在12設(shè)函數(shù) f x x 3 sin x , x 0，則點(diǎn) 0 是函數(shù) f x 的( D ) 0 , x 0A第一類(lèi)不連續(xù)點(diǎn) B第二類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)C可去不連續(xù)點(diǎn) D連續(xù)點(diǎn)3若 lim x 0 f x 0，則 ( C ) A當(dāng) g x 為任意函數(shù)時(shí)，有x lim x 0 f x g x 0 成立B僅當(dāng) lim g x 0 時(shí)，才有 lim f x g x

35、 0 成立x x 0 x x 0C當(dāng) g x 為有界時(shí)，能使 x lim x 0 f x g x 0 成立D僅當(dāng) g x 為常數(shù)時(shí)，才能使 x lim x 0 f x g x 0 成立4設(shè) x lim x 0 f x 及x lim x 0 g x 都不存在，則 ( D ) Ax lim x 0 f x g x 及 lim x x 0 f x g x 一定不存在Blim f x g x 及 lim f x g x 一定都存在x x 0 x x 0Cx lim x 0 f x g x 及 x lim x 0 f x g x 中恰有一個(gè)存在，而另一個(gè)不存在Dx lim x 0 f x g x 及 l

36、im x x 0 f x g x 有可能存在x 2sin 15lim x 0 sin x x 的值為 ( D ) A1 BC不存在 D0 26limx 1 x sin1 2 1x x2 ( A ) 1 1 2ABC0 D3 3 37按給定的 x 的變化趨勢(shì)，下列函數(shù)為無(wú)窮小量的是( C ) 1的值域Ax4x2x1( x) B11x1( x) xC12x(x0) Dxx(x0) sin8當(dāng)x0時(shí)，下列與 x同階 (不等價(jià) )的無(wú)窮小量是 ( B ) AsinxxBln1xC2 x sinxDex19設(shè)函數(shù)gx12x，fgx1xx2，則f1為( B ) 22A30 B15 C3 D1 10設(shè)函數(shù)f

37、x2x24(0 x2)的值域?yàn)?E ，gxx22x2為 F ，則有 ( D ) 2xAEFBEFCEFDEF11在下列函數(shù)中，fx與gx表示同一函數(shù)的是 ( D ) Afx1，gx1x0Bfxx，gxx2xCfxx2，gxxDfx3x3，gxx12與函數(shù)fx2 的圖象完全相同的函數(shù)是 ( A ) Alne2xBsinarcsin2xCeln2xDarcsinsin13若x1，下列各式正確的是 ( C ) CxlimfxDxlimfxf) 016如果lim x x 0fx與lim x x 0fx存在，則 ( C Alim x x 0fx存在且lim x x 0fxfx0 xBlim x x 0f

38、x存在，但不一定有l(wèi)im x x0fxClim x x 0fx不一定存在Dlim x x 0fx一定不存在17無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小量之和，則( D ) A必是無(wú)窮小量B必是無(wú)窮大量C必是有界量D是無(wú)窮小，或是無(wú)窮大，或有可能是有界量a18yarccoslnx21，則它的連續(xù)區(qū)間為 ( C ) Ax1Bx2Ce1,22,e1De1,22,e119設(shè)fxlim n3nx，則它的連續(xù)區(qū)間是 ( B ) 1nxA,Bx1(n 為正整數(shù) )處nC0,0Dx0及x1 處 n20設(shè)fxex,x0要使fx在x0處連續(xù)，則 a( B ) axx0A2 B1 C0 D-1 fx1sinx,x0，若fx在,上是連續(xù)函數(shù)，

39、則21設(shè)x3( C ) a,x0A0 B1 1 C 3D3 22點(diǎn)x3x,1x11是函數(shù)fx1 ,x1的( C ) 3x,x1A連續(xù)點(diǎn)B第一類(lèi)非可去間斷點(diǎn)Dlim x 0211C可去間斷點(diǎn)D第二類(lèi)間斷點(diǎn)23方程x4x10至少有一根的區(qū)間是 ( D ) A0,1B11,C,2 3D,1 22224下列各式中的極限存在的是( C ) Alim xsinxBlim x 0e1Clim x2x225xxx3x125lim x 0 xx( D ) sinA1 B0 C-1 D不存在26lim n12n1 。2n2n2n26 。27若fx1x213，則fxx21。xx228函數(shù)ylnx21的單調(diào)下降區(qū)間為

40、,0。29已知lim na2n2nbn52，則 a0 ，b3230lim xx2axe2，則 a2 。x11,031函數(shù)fxex的不連續(xù)點(diǎn)是x0，是第二類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)。32函數(shù)fxsin1的不連續(xù)點(diǎn)是x0，是第二類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)。x33當(dāng)x0時(shí)，31x1x 。在x0連續(xù)，則應(yīng)補(bǔ)充定義f01 。ex1x1，為使fx34已知fx35若函數(shù)fx1與函數(shù)gxx的圖形完全相同，則x的取值范圍是x。1,036設(shè)fxxx3，若fx0，則 x0 或 1 ；若fx0，則 x。,1；若fx0；則 x,1 0,1。10 x,x02x ,x0，gx5x ,x0，則fgx37設(shè)fxx ,x03x ,x0,16x ,x038設(shè)0u

41、1，函數(shù)fu有意義，則函數(shù)f lnx的定義域e。39設(shè)數(shù)列x n1n1的前 n 項(xiàng)和為S ，那么lim x1S 1S 2S nn1 。240如果x0時(shí)，要無(wú)窮小1cosx與asin2x 2等價(jià)， a 應(yīng)等于2 。axb10，則 b 應(yīng)滿(mǎn)足b41要使lim x 01。x42x lim1x0 。x21x2,x1，當(dāng) A43函數(shù)fx2 時(shí)，函數(shù)fx連續(xù)。1x44已知lim x 2A,x1，b-8 。x2axb2，則 a2 x2x21則 a45fxex2,x0，lim x 0fx0 ；若ffx無(wú)間斷點(diǎn)，a,x00 。xsin1在點(diǎn)x0處可可連續(xù)開(kāi)拓，只須令00 。46函數(shù)fxx47lim x 012c

42、osx1 。2xcosx48x limx30 。ex49lim x 01cos2x1 。2x250設(shè)Gxlnx，證明：當(dāng)x0，y0，下列等式成立：(1)GxGyGxyGxy證：GxGylnxlnylnxy(2) GxGyGxx yy證：GxGylnxlnylnxGy,1x1fgx和gfx。51設(shè)fx,0 x1，gxxe，求,1x10,1gx1,1x解：fgx,0gx1,0 x0，,1gx1,1x0e ,x1yz。gfxefx1 ,x1e1,x152若xlg1x，證明：yz1x1yz解：yzlg1ylg1zlg1yzyz1y1z1yzyzyzlg1yzlg1y1yzzyz1yz1yz1yzyz1

43、yz故結(jié)論成立。53根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：(1) lim x3n133 n13251n25， 只 要n5， 取2n12證 ：0 ， 要 使2 n122 nAN5，則當(dāng)nN時(shí)，恒有3n13，即lim x3n13 2。n，2n122n11n21(2) lim nn1n0證：0，因n12n1n，要使n1只 要n12， 取N12， 則 當(dāng)nN時(shí) ， 恒 有n1n， 即22lim nn1n0。，只要1n，(3) lim n099個(gè)91n證：0 ，因0999911，要使0999910n10nn 個(gè)，即即只要nlog101。取Nlog101，則當(dāng)nN時(shí)，恒有09999n 個(gè)lim n09991。n2nn1

44、1nn2nn2n，只 要n1。取n2n1n 個(gè)(4)lim nn證：0 ， 因nn2nnN1，當(dāng)nN時(shí)，恒有n2，即lim nn1。nn54根據(jù)函數(shù)極限的定義證明當(dāng) x(1) lim x 0 xsin1 x0 x，要使xsin1 x，只要 x。，則證：0，因xsin1x時(shí)，恒有xsin1，即lim x 0 xsin10。xx(2) lim x12x223x23取z證：0，因132x 2212，要使12 x22，要使x1，x233 x3 x2331，則當(dāng)xX時(shí)，恒有1322 x2，即lim x132x22。32 x3x23恒有2，則當(dāng)xz時(shí)，(3) lim xarctgx0 x證：0，因arct

45、gx2 ，只要 xx2，取zxarctgx，即lim xarctgx0。x2，取2 ，則當(dāng)x(4)lim x 2x200 x證：0 ，要使x2，只要0 x22時(shí)，恒有x2，即lim x 2x20。55求下列極限(1) lim x 03xx2x12x0n2(2) 解：原式1 2lim x 1xn1(n， m為正整數(shù) )，xm1解：原式lim x 1xn1xn2(3) xm1xm2x0mx lim1x1x解：原式x lim111x(4) 11xx limxxcosx7解：原式x lim11cosx1192xsin2ax 7x(5) lim x4x7815x8192x3100解：原式lim x481

46、19 5100 x43152100 x1001(6) lim x 111x133x解：原式lim x 11x1x22x1xx(7) lim x 01xcos2xsinx1解：原式lim x 02sin2x2xsinx(8) limcosxx2 x2解：原式limsinx2x2x21(9) lim x 0arcsinxx解：令xsin ，原式lim x 0ttsin(10) lim x asin2xsin2axalim x asin解：原式0lim x a2sinxcosx0(11) lim x 012x1x解：原式e21(12) lim 1 x xx 0 1 x1lim x 0 1 x xe

47、2解：原式 1 1 elim x 0 1 x x ecos x(13) lim x 01 tgx1 sin x0解：原式 lim x 0 1 tgx tgx e 1kx1(14) lim x 1x ( k 為正整數(shù) ) x k解：原式 lim x 1 1x e k56當(dāng) x 0 時(shí)，求下列無(wú)窮小量關(guān)于 x 的階3 6(1) x x 解：3 階(2) x 2 3sin x 解：7 階3(3) 1 x 1 x 解：1 階(4) tgx sin x 解： 3 階57試證方程 x a sin x b，其中 a 0，b 0，至少有一個(gè)正根，并且不超過(guò) a b。證：令 f x x a sin x b，則

48、f 0 b 0，f a b a b a sin a b b 0且 f x C a , a b，故 ,0 a b，使 f 0。58設(shè) f x 在閉區(qū)間 0 , 2 a 上連續(xù)，且 f 0 f 2 a，則在 ,0 a 上至少存在一個(gè) x，使 f x f x a。證 ： 令 x f x f x a， 于 是 x 在 0 , a 上 連 續(xù) ， 由 于 條 件0 f 0 f a f 2 a f a ( 若 0 0， 則 顯 然 結(jié) 果 成 立 ， 若0 0 ) a f a f 2 a f a f 0， 顯 然 0 a 0， 故 a, b 使f x f x a，綜上，,0 a 使 f x f x a。5

49、9設(shè) f x 在 a, b 上連續(xù)，且 f a a，f b b，試證：在 a, b 內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得： f。證：令 x f x x，于是 x 在 a, b 上連續(xù)，且 a f a a 0，b f b b 0，故 a, b，使 0 ，即 f。60設(shè)數(shù)列 x 有界，又 limn y n 0，證明 limn x n y n 0。證：由假設(shè)不妨設(shè) xn M， M 為一正數(shù)，0，由 lim n y n 0，故自然數(shù)，當(dāng) x N 時(shí)，恒有 y nM，故恒有 x n y n MM，即 limn x n y n 0。3 3 3 361設(shè) x n 1n 4 2n 4 3n 4 nn 4，求 lim n x n

50、。2 2解：原式 lim n n4 nn 4 1 143 x , 1 x 162設(shè) f x 2 , x 1，求 lim x 0 f x 及 lim x 1 f x。23 x , 1 x 2解：lim x 0 f x lim x 0 3 x 0 x lim 1 0 f x x lim 1 0 3 x 23，x lim 1 0 f x x lim 1 0 3 x 3，故 lim x 1 f x 3x x63求 x lim ee x ee x。2 x解：原式x lim 11 ee 2 x 12 sin x sin 2 x64求 lim x 0 x 3解：原式 lim x 0 2 sin x 1x 3

51、 cos x lim x 0 4 sin xx sin3 22 xlim x 0 sinx 22 x2 1465求下列極限(1) lim t 2ett13sinxcosxx21211解：原式e221(2) lim2sin2xxcosx4解：原式lim x 42sinxcosxlim x 42cosxcos12(3) lim x 15xx41xx2解：原式lim x 1x14x15x4(4) lim x asinxsinaxa解：原式lim x acosxcosaxlim x(5) lim xx2xx2x解：原式limx2xx2xx21tg2cosxxx(6) lim x 013 tg2xcos

52、x解：原式lim x 013 tg2x1tg2x1e03(7) lim x 0exx1解：原式0lim x aex10(8) lim x2x3x12 x1解：原式lim x1212x12x1e2x122x66求lim x 0lnxx。1110lim x 0解：原式011x(C) fx1 若 存 在0 ， 對(duì) 任 意0 ， 適 合 不 等 式xa的 一 切 x ， 有L，則( D ) fxBfx在a,a嚴(yán)格單調(diào)Afx在 a不存在極限Cfx在a,a無(wú)界D對(duì)任意xa,a，fxL2 若 存 在0 ， 對(duì) 任 意0 ， 適 合 不 等 式xa的 一 切 x ， 有L，則( C ) Axlim afxLB

53、fx在 R 上無(wú)界) Dfx在 R 上單調(diào)Cfx在 R 上有界3函數(shù)fxlim n1xnxn2x2n(x0)，則此函數(shù) ( A A 沒(méi)有間斷點(diǎn) C有兩個(gè)以上第一類(lèi)間斷點(diǎn)B有一個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn) D有兩個(gè)以上間斷點(diǎn)，但類(lèi)型不確定4若函數(shù)ykx2kx473的定義域?yàn)?R ，則 k 的取值范圍是 ( B ) ) kxA0k3Bk0或k3C0k3Dk344445兩個(gè)無(wú)窮小量與之積仍是無(wú)窮小量，且與或相比 ( A A是高階無(wú)窮小B是同階無(wú)窮小C可能是高階，也可能是同階無(wú)窮小D與階數(shù)較高的那階同階6試決定當(dāng)x0時(shí)，下列哪一個(gè)無(wú)窮小是對(duì)于x 的三階無(wú)窮小 ( B ) ( D ) A3x2xBa3 xa(a0是常

54、數(shù) ) Cx30. 0001x2D3 tan x7指出下列函數(shù)中當(dāng)x0時(shí)( D )為無(wú)窮大A2x1B1sinxxCexDe1xsec8fx1xx1x,x0，如果fx在x0處連續(xù)，那么 kk,x0A0 B2 C1D1 29使函數(shù)yx1x1為無(wú)窮小量的 x的變化趨勢(shì)是 ( C ) x31Ax0Bx1Cx1D x10設(shè)fx1 ，若 xfxfyfz，則 z =xxyy。11若xx ,x0而fx2x，則fx0 ,x ,x0。x0 x ,x0 x ,x0112若fx3ex,x0處連續(xù)，則 a0 。3x,0 x1在x1e2axax e1,1x13設(shè)x lim1x4 ，L10 ax21x4有有限極限值 L ，

55、則 ax14lim x axaaxa(a0) =1a。x2222M，2k3M，15證明lim xsinx不存在。A，但對(duì)1 ，4，k0使2k設(shè)lim xsinx2但sin2k21，sin2 k301，而 1，1不能同時(shí)落在A1 A 4x1024內(nèi)，故lim xsinx不存在。n1xn(0 x1)。16求lim nlim n1xn1x n1解：原式nxn17求lim x3x9x1。xx9x1（）解：x lim3xe1ln3x9xexlimln3x9xx limxxelim xln33 x39x9ln39xx在3xln39xln93xln39xln9e xlim3x9xe3x9xxx318設(shè)gx在x0處連續(xù)，且g0，以及fxgx，試證：f處連續(xù)。證：0 ，由于gx在x0處連續(xù)，所以0 ，當(dāng) x0時(shí)，恒有g(shù)xg0gx，由假設(shè)fxgx，g00，易知fx，