大一高數(shù)總復(fù)習(xí)資料

1、高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第|頁（共9頁）高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第|頁（共9頁）切U （,） = xlO|x-cz X時,始終有成立,U!=0S3oof g(x)高等數(shù)學(xué)（本科少學(xué)時類型）第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)。函數(shù)基礎(chǔ)（高中函數(shù)部分相關(guān)知識）（）。鄰域（去心鄰域）（）U （, J） =xl|x-tz| 由xn-a 0, 胴=榜（）,當nN時,始終 有不等式xn-ax0時函數(shù)極限的證明（）【題型小例】己知函數(shù)/（x）,證明lim /（a）=4XT?！咀C明示例】e-3語言由f（x）-AE 化簡得 O|x-xo|0 , m（y = g（fj,當0|x-x0| J時, 始終有不等式f（x）-A00【證明

2、示例】E-X語言由f（x）-Ag（功，X =g（E）即對Vf0, 3X =g（）,當 不等式|/W-A /. lim f（x）= AAT8第四節(jié)無窮小與無窮大O無窮小與無窮大的本質(zhì)（） 函數(shù)/（x）無窮小=lim/（A-） = O 函數(shù)J*）無窮大。lim/（x） = ooO無窮小與無窮大的相關(guān)定理與推論（）（定理二）假沒f（x）為有界函數(shù)，g（x）為無窮小， 則 limy（x）-（x）_（定理四）在tl變量的某個變化過程中，若,/（.r）為 無窮大，則廠 為無窮小；反之，若為無 窮小，且/（x）*0,則為無窮大【題型小例】計算：liDg（x）（或XT8）1.|j（x）|WM二函數(shù)在x = x

3、0的任一去心鄰域。（與,5）內(nèi)是有界的；,.函數(shù)|/（x）|在。上有界；）2. lim g（x） = 0即函數(shù)g（x）是x 玉）時的無窮?。唬╨im g（x） = 0即函數(shù)g（x）是x t 8時的無窮小;）KT8由定理可知 lim /（x） g（x） = O（四/（*）*（*）=。）第五節(jié)極限運算法則O極限的四則運算法則（）（定理一）加減法則（定理二）乗除法則關(guān)于多項式p（x）、q（x）商式的極限運算J p(x) = il0X，n +*+. + q(x)= bxn +. + /?n mg（吒）=。，/（吒”0 血）=/（工（）=。（特別地，當臉斗4=9 （不定型）時，通常分 fbg（x） 0了

4、分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極限值，也可以用羅比達法則求解）【題型示例】求值四W高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料.第2頁（共9頁）高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料.第2頁（共9頁）【求解示例】解：因為xt3，從而可得工。3,所以原 式=lim 匕 3 = iim = lim =-Er -9 I5 （x+3）（x-3） 13工+3 6 其中x = 3為函數(shù)/（%） = 三，的可去冋斷點 倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第二節(jié)）： 初 1-工一3 S （x-3） I I 解：lim= lim= hm=i3 工-9 i3（工2 _9 j 3 2工 6。連續(xù)函數(shù)穿越定理（復(fù)含函數(shù)的極限求解）（） （定理/I.）

5、若函數(shù)/（X）是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那 lim 凡。3） = .f Iini9（x）么,XT心【題型示例】求值:r 一9.x-3 T V611 m =一宀 9 V6【求解示例】limxt3第六節(jié) 極限存在準則及兩個重要極限。夾迫準則（P53） （）tin y第一個重要極限：lim= 10，f,sinxj2 + 3、2x +1)【求解小例】解：liniA Toe2x +12ilTg=limAT8lim2ilT82x1 2 , H亍2、.Elim I l+ 2x+l;2x+l土心）第七節(jié) 無窮小景的階（無窮小的比較）。等價無窮?。ǎ︰ sin（7 tan arcsin6/ arctanU ln（l

6、+t/） 宀）2. t/2l cos2（乘除可替，加減不行）【題型示例】求： |imn（l + x）+xln（l+x）10 x2 + 3x【求解示例】解：因為xtO,即XO0,所以原式=1而訕+）二?同+ 一） 人項+ 3xx（x + 3） ；京 x（x + 3）:蜀 x + 3 3第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性。函數(shù)連續(xù)的定義（）lim f（x）= lim /（x） = /（x0）XT 與XT%。間斷點的分類（P67） （）跳越間斷點（不等）可去冋斷點（相等）=Hm 冬些R = 1而也M = 1而立第類間斷點（左右極限存在）第二類間斷點無窮間斷點（極限為8）（特別地，可去間斷點能在分式中約去相應(yīng)公因式）

7、 【題型示例】設(shè)函數(shù)/（x） = f,、應(yīng)該怎樣選a + x x0擇數(shù)“，使得f（x）成為在R上的連續(xù)函數(shù)？【求解示例】1 7 J/(oJ = fl+O,=f (0) 二 02.由連續(xù)函數(shù)定義 lim /(x)= lim /(x)= /(0)= e*t(t高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料 第3頁(共9頁)高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料 第3頁(共9頁)第九節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。零點定理()【題型示例】證明：方程J (x) = g (x) + C至少有一個根 介于與b之冋【證明示例】1.【題型示例】求函數(shù)/-(X)的導(dǎo)數(shù)【求解小例】由題可得f(x)為直接函數(shù)，其在定于域。 上單調(diào)、可導(dǎo)，且廣(、)。0; ./-(

8、)=幣(建立輔助函數(shù))函數(shù)(p(x) = f(x)-g(x)-C在 閉區(qū)間R可上連續(xù)；(p(a)(p(b)0 (端點異號):,由零點定理，在開區(qū)間(。力)內(nèi)至少有一點&,使 得諷3 = 0,即y(月-g(身-C = 0 (0vl) 這等式說明方程/ (x) = g (x) + C在升I乂間(M) 內(nèi)至少有一個根& 第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念O高等數(shù)學(xué)屮導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義(X , 1【題型示例】己知函數(shù)f(x)=,ax + b。殳合函數(shù)的求導(dǎo)法則( _【題型示例】設(shè)后疽)，求)，【求解示例】2.3.4.(P83) () x0解戸FL+E)即屆+&+/)arznf 后.+ (y)Jl-(j-

9、l) 2y/x2+a2art sun J宀I1 丨 小./ 十=V2-.r2j./+“2處可導(dǎo)，求。，b【求解示例】嚴皿局+J./+2、I/x2 - -y/2-x2 y/x2 +U1 /(0J = +1=/ + 1 = 2./(0+)= J (0) = eJ +1 = 22.由函數(shù)可導(dǎo)定義戶)、=期si/(0-) = /(0+) = /(0)= /7 = 2/. d = 1,/? = 2【題型示例】求y = /(a)在x =。處的切線與法線方程 (或：過y = /(x)圖像上點,/ (“)處的切線與法線 方程)【求解示例】1 y = fx), yxsa= f(a)2.切線方程：y-/(。) =

10、法線力程:v_y(w) = _(x_d)f (“)第二節(jié) 函數(shù)的和(差)、積與商的求導(dǎo)法則 。函數(shù)和(差)、積與商的求導(dǎo)法則()線性組合(定理-)：(au = au + ftv 特別地,當 a = P = 時，有(v) = y函數(shù)積的求導(dǎo)法則(定理二)：(t/v) = uv + uv1.卩.(O) = e = lU()=aU!第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)3.函數(shù)商的求導(dǎo)法則(定理三):E丿第三節(jié) 反函數(shù)和復(fù)會函數(shù)的求導(dǎo)法則。反函數(shù)的求導(dǎo)法則()uv-uvr1廣I* ) ()dxnl) _【題型示例】求函數(shù)y = ln(l + x)的階導(dǎo)數(shù)【求解示例】v = 一 = (l+x)T,1 + x/=(1+*門=(

11、一1).(1+須,(_l).(l+x 門=(_).(_2).(1 + 須y()=(_|)”T.(_l)!.(|+X)F第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 。隱函數(shù)的求導(dǎo)(等式兩邊對X求導(dǎo))() 【題型不例】試求：方程y = x + ”所給定的曲線C： y = y(x)在點(|-,|)的切線方程與法線方程【求解示例】由y = x + e-兩邊對4求導(dǎo)/，+()化簡得 y=+eyy. ， I 1 , V =r =1一41-。.切線方程：V 1 =(X 1 +時 I -e即 y = X +9r高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料 第4頁（共9頁）高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料 第4頁（共9頁）求只 如 dx 虹也2.旦=dx

12、 （p（t） dx2 （pU）變化率問題舉例及相關(guān)變化率（不作要求） 聽數(shù)的微分【求解示例】in(l + x)0 x-sinxx sin x =limi0 x-sinxHmSiiKy = 0 x-o 2法線方程：y - 1 =-（l -eXx-1 + e）。參數(shù)方程型函數(shù)的求導(dǎo)x = （pt）【題型不例】設(shè)參數(shù)方程7，y = 7（n第六節(jié) 第七節(jié)。基本初等函數(shù)微分公式與微分運算法則（） dy = fx） - dx第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)中值定理。引理（費馬引理）（）。羅爾定理（）【題型不例】現(xiàn)假設(shè)函數(shù)J（x）在0,硏上連續(xù)，在（0,勿）上可導(dǎo)，試證明：為（0,尤）,使得丿沽）cosg

13、 + /（S）sinf = 0成立 【證明示例】1（建立輔助函數(shù)）令9（x） = /（x）sinx顯然函數(shù)9（x）在閉區(qū)冋0,幾上連續(xù)，在開區(qū)間（0,）上可導(dǎo)；2.又V（O）= /（0）sin0 = 09（勿）=f（Tr）sinTr = 0即 9（0）=。（勿）=03.由羅爾定理知mgc （0,），使得/（f）cos + J（）sinS = 0成立。拉格朗廿中值定理（）【題型示例】證明不等式：當工1時，Se x 【證明示例】（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)f（x） = e，則對Vxl, 顯然函數(shù)/（X）在閉區(qū)間盤上連續(xù),在開區(qū)間 （1,力上可導(dǎo),并且廣（x） = b；由拉格朗廿屮值定理可得，為cl,x使

14、得等式 ex-el =（x-l） 成立，XV e4 e. ex-e （x-l）e-1 =e x-e , 化簡得即證得：當xl時，/ 【題型示例】證明不等式：當x（）時，ln（l + x）vx 【證明示例】I.（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)/（x） = ln（1 + x）,則對Vx（）,函數(shù)/（x）在閉區(qū)間0,x上連續(xù)，在開區(qū) 冋（0,幾）上可導(dǎo)，并且/（）=丄；1+X2.由拉格朗日屮值定理可得，36 0,x使得等式ln（l + .r）-ln（l+0） = -（x-0）成立，化簡得ln（l + x） = x,又.兵0,對，廣（滬/即證得：當xl時，ex e x 第二節(jié)羅比達法則。運用羅比達法則進行極限運

15、算的基木步驟（） I. 等價無窮小的替換（以簡化運算）2判斷極限不定型的所屬類型及是否満足運用羅比 達法則的三個前提條件Q OO屬于兩大基木不定型（一,一）且満足條件，0 8f （%） /lx）則進行還算：liE丄X =宀“ g （幻g（X）（再進行1、2步驟，反殳直到結(jié)果得出）不屬于兩大基本不定型（轉(zhuǎn)化為基本不定型） 0.8型（轉(zhuǎn)乘為除，構(gòu)造分式）【題型小例】求值：limx-lnxxtO【求解示例】/解：limx Inx = lim .x-oatu 1 r io / I z jtf a xa ibJ *二- lim.vrz = 0(一般地,limx (lnx) =0,其中 a. Be R )

16、io 、/（2）00 - 00型（通分構(gòu)造分式，觀察分母）I_丄、sinx x ；【求解示例】解：lim I loEsinx/工/、(x-sinx)1-cosx (1-cosx)=hm= Inn= lim( 2)2x io (2ij（3）（）。型（對數(shù)求極限法）【題型示例】求值:limx1 x-0【求解示例】解：設(shè)y = V,兩邊取對數(shù)得：In） = In扌=xlnx =牛8nx 8對對數(shù)取xtO時的極限岫In） = I理丁泡(mx)X)=lim= -limx = 0 從而仃lim v = lim/ =e，xtO I i0iO * itOX2(4)r型(對數(shù)求極限法)I【題型示例】求值：lim

17、（cosx+sinxx-0、/【求解示例】解：令），=（cos,v + sinA-p，西邊取對數(shù)得Iny = *+、心）x】，心 ln(cosx + sinjv)對 In yjc t 0時的極限，hni In y = limxtO x-OXo ln(cosx + sinx)= lim = lim丄、項(xjcosx + sinxlim),= limeAT。 I。cosx-sinx _0 t N 宀小奇=L從而財Inn In v n（5）8。型（對數(shù)求極限法）【題型不例】求值：limf-X）v-0lanx求解示例】tan a解：令、，=- X，兩邊取對數(shù)得In y = lanx-ln對In y求

18、X 闈寸的極限,lim In y = lim tan a-In I XT。= -lim/Inx 8 (Inx)x=_ lim = -lim L atO / , 、夕 x-0 sec_ X tan2 xoo0. sin2 x =JimVian x 丿r（sina） 2sinx-cosx= lim；=lim= （）,X IX XT。從而可得lim =1訕丿”=咿、io i0。運用羅比達法則進行極限運算的基木思路（）08_8 6 OoM00時，exx+【證明示例】（構(gòu)建輔助函數(shù)）設(shè)（p（x） = ex -x-, （ x0 ）（x） = e -1 0, （ x0 ）, p（x）9（0） = 0既證：當

19、x0時，exx+l【題型示例】證明：當x（）時，ln（l + x）0 ）伊（x） =1 0 ）I + x（x） v 伊（0）= 0既證：當x0時，ln（14-x）x。連續(xù)函數(shù)凹凸性（）【題型不例】試討論函數(shù)y = +3x2- x3的単調(diào)性、極值、凹凸性及拐點【證明示例】高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料 第3頁(共9頁)高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料 第3頁(共9頁)X(-00,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+oo)/ V0+匕0V+zdV1J(L3)r52.令U!3.(四行表)ssIV解得：X|=-l,七. = 13.，(三行表)X-i(T，l)1(1,3也)0+0地)極小值極大值!1!I yf = -3x

20、+6x = -3x(x-2)I y* = -6x + 6 = 6(x 1)”-3亦-2)二。解得：卩=。,2 y =-6(x-l) = 0 x = I4.函數(shù)y = l + 3尸單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(1,2) 單調(diào)遞増區(qū)冋為(一8, (),(2,+8):函數(shù)V = 1 + 3x2 -x3的極小值在x = 0時取到, 為山0)=1，極大值在x = 2時取到，為/(2) = 5；函數(shù)v = l + 3x2-x3在區(qū)間(一8,0),(0,1)上凹， 在區(qū)間(1,2),(2,+8)上凸；函數(shù)y = l + 3x2- X3的拐點坐標為(1,3)第五節(jié)函數(shù)的極值和最大、最小值。函數(shù)的極值與最值的關(guān)系

21、()設(shè)函數(shù).(X)的定義域為D,如果*的某個鄰域UguD,使得對Vxe(/(xM),都適合不 等式/ ()/(X/M),我們則稱函數(shù)f (x)在點&./ (xm)處任極小值 /(初；令與6編，烏2，&3，則函數(shù)/()在閉區(qū)間可上的最小值m滿足: m = min(/(n),xm),xm2,xm3,.,xmzi,/(/?)： 【題型示例】求函數(shù)Z(x) = 3x-x3在一 1,3上的最值【求解示例】I. .函數(shù)/(X)在其定義域-1,3上連續(xù)，且可導(dǎo)/.廣(x) = _3b+32.令/(x) = -3(x-l)(x+l) = 0 ,4,又 V/(-1) = -2,/(1) = 2,/(3) = -

22、18(xLx=f(l)= 2J(x)血 2(3) = -18第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪(不作要求) 第七節(jié)曲率(不作要求) 第八節(jié)方程的近似解(不作要求) 第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)。原函數(shù)與不定積分的概念() 原函數(shù)的概念：假設(shè)在定義區(qū)間/上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為F(x).即當|變量xe /時，有F(x) = / (或 dF(x) = f(x) dx成立,則稱F為,(x)的一 個原函數(shù)原函數(shù)存在定理：()如果函數(shù)/(X)在定義區(qū)冋/上連續(xù)，則在/上 必存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)使得Fz(x) = /(x),也就是 說：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)(可導(dǎo)必連續(xù)) 不定積分的概念()在定義I

23、乂冋/上，函數(shù)/(%)的帶有任意常數(shù)項C的原函數(shù)稱為/(X)在定義區(qū)冋/上的不定積分,即表示為：J/(x/.r = F(x) + C(J稱為積分小J(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx 為積分表達式，X則稱為積分變量)?；痉e分表()O不定積分的線性性質(zhì)(分項積分公式)()第二節(jié)換元積分法O第一類換元法(湊微分)()(dy = fx)dx的逆向應(yīng)用)J f 伊伊亦=J凡伊d 們IJr【題型示例】求-dxJ cr +r【求解示例】解：f t 7= f W+x- J1 +一 住IX 八=arclan + Ca a【題型示例】求f=dxJ J2x+I【求解示例】： f y!dx = fj m+i 2m+

24、i =m+i+cO第二類換元法(去根式)()ax + h ,于是 x =,a 則原式可化為，對于根號卜平方和的形式(】0 )：i 。； A/ 丸7Cyjcr +%:令 x = a tan t (v，v ),22x于是t = arctan-,則原式可化為。sec/； a對于根號下平方差的形式(。0)：a. /a2 -x2 :令 x = isin, ( Z ),22r于是t = arcsin，則原式可化為a cos t ；ab. yjx2 -cr :令x = osec/ ()/-tdt= f dt = t + C = j2x+CJ m+i-r 4 t dxtdtlcr -x2dx (三角換元)【題

25、型示例】求【求解示例】解:J后由亠土丄E cos2 tdt-/+ sin2/ I + C2+ sin/cos/) + Cf=atvsjn a dr-a cos/Ev第三節(jié)分部積分法。分部積分法()(I)設(shè)函數(shù)U = f(x)t v = g(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其 分部積分公式可表示為：jLidv = z/v-j vdu分部積分法函數(shù)排序次序：“反、對、慕、三、扌旨” 。運用分部積分法計算不定積分的基本步驟： 邂照分部積分法函數(shù)排序次序?qū)Ρ环e函數(shù)排序： 就近湊徹分:(v-Jx = Jv)使用分部積分公式：j adv - uv- j vdu 展開尾項J vdu = v Li dx ,判斷若j v

26、udx是容易求解的不定積分，則宜接計 算出答案(容易表示使用基本積分表、換元法 與有理函數(shù)積分可以輕易求解出結(jié)果)；若v udx依舊是相當復(fù)雜，無法通過a中方 法求解的不定積分，則重復(fù)、(3),宜至出現(xiàn) 容易求解的不定積分；若重復(fù)過程中出現(xiàn)循環(huán), 則聯(lián)立方汁求解，但是最后要注意添上常數(shù)C【題型示例】求j- xhlx【求解示例】解:J ex - xdx = j x2exdx = Jx2de = x2ex - JeW(x2) =x2ex-2jx- exdx = * 一 2 J 司(六) =x2ex - 2xex + 2J exdx = x2ex - 2xex + 2礦 + C 【題型示例】求j s

27、inAz/x【求解示例】解:J e sin xdx = -jed (cosx) = -e cos x + jcos xd (ex) =-ex cos x + Jex cosxdx = -ex cos x + Jed (sin x) =-ex cosx + e sinx-jsin xd(ex) =-ex cosx + e sin x-Jex sin xdx 即:Jex -sin xdx = -ex cosx + ex sin x- jsin 必(ex) :,Je sin azZt = (sinx-cosx) + C第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分。有理函數(shù)()設(shè).-(X)= p(x) = W+W+.+%

28、Q(x) q(x) = bux +Z?iy, 1 +.+bn p(x對于有理函數(shù)0苗，當P(x)的次數(shù)小于Q(x)的次數(shù)時，有理函數(shù)一是真分式；當P(x)的次數(shù) e(x)高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料 第3頁(共9頁)高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料 第4頁（共9頁）P（x大于Q（x）的次數(shù)時，有理函數(shù)一只是假分式 ew。有理函數(shù)（真分式）不定積分的求解思路（）將有理函數(shù) W 的分母Q（x）分拆成兩個沒冇 公因式的多項式的乘積：具中個多項式可以表示 為一次因我（x-t）L而另一個牛項式可以表示為 二次質(zhì)因式（%2 + px + q）, （ p2 -4 Zx = O（3）J 煩（工）協(xié)=外 f （x）cLx（線性性質(zhì)）仏J（ x） +頃（同訴=* J： / （以女+ * J： g （燦（5）（積分區(qū)間的可加性） f（xlx = J f （x）cix + J： f （玖女（6）若函數(shù)/（x）在積分區(qū)間陽上滿足f（x） 0 , 則J /（x）f0；（推論一）若函數(shù)f （x）、函數(shù)g（x）在積分區(qū)間可上滿 足/（x）（x）,則r f（xLx:0【求解示例】e dt ?解：lim = lime1CO”f e-d