集合知識點與題型歸納

1、第集合高考明方向.了解集合的含義，元素與集合的屬于關(guān)系；能用列舉法或描述法表示集合.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；了解全集與空集的含義.理解并會求并集、交集、補集；能用Venn圖表達集合的關(guān)系與運算.備考知考情對于本節(jié)的考查，一般以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，難度中低檔 .命題的規(guī)律主要體現(xiàn)在集合與集合、元素與集合之間的關(guān)系以及集合的交集、并集、補集的運算，同時注意以集合為工具，考查對 集合語言、 集合思想的理解和運用，往往與映射、函數(shù)、方程、不等式等知識融合 在一起，體現(xiàn)出一種小題目綜合化的特點.在考查集合知識的同時突出考查準確使用數(shù)學(xué)語言能力及用數(shù)形結(jié)合、分類討論思想解決

2、問題的能力；以集合為載體考查對信息的收集、捕捉、加工能力.一、知識梳理名師一號P1知識點一元素與集合某些指定的對象集在一起就成為一個集合.其中每個對象 叫做集合中的元素.1、集合中的元素具有三個特性確定性、互異性和無序性2、集合中元素與集合的關(guān)系分為屬于與不屬于兩種， 分別用e和？來表示.3、常見數(shù)集的符號表示:數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集表示法NN*或 N+ZQR4、集合有三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法還可以用區(qū)間來表示集合.5、集合的分類：按集合中元素個數(shù)劃分，集合可以分為有限集、無限集、空集知識點二集合間的基本關(guān)系表示 關(guān)/、文字語言符號語言集合間 的基本 關(guān)系相等集合

3、:與集合B中的 所有元素都相同子集中任意一個元素均為H中的兀素,4匚丹或月口4真子集J中任意一個元素均為 月中的元素，且B中至 少有一個元素不是一4中 的元素一4軍/?或空集空集是任何集合的工建,是任何非空集 合的真子集知識點三集合的基本運算及性質(zhì)1.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表不AU BAn b若全集為U,則集合A的補集為？uA圖形表不意義x|x e A或 xC Bx|x e A 且 xC B?iA= x|x U且 x?A注意補集的相對性2.集合的運算性質(zhì)并集的性質(zhì)：AU = A; AUA = A; AUB = BUA; AUB = A? B? A交集的性質(zhì)：AH =

4、; AAA=A; AAB=B、； AAB = A? A? B補集的性質(zhì)：AU(?uA)=U; AA?uA)= ; ?u(?uA) = A二、例題分析：(一)元素與集合之間的關(guān)系例1.(1)名師一號P1 對點自測2已知集合 A = x|y= x2, B=(x, y)|y= x,則 ACB =答案：注意：名師一號P2高頻考點 例1規(guī)律方法(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是 數(shù)集、點集還是其他類型集合 名師一號P2問題探究問題2、 與0有什么區(qū)別與聯(lián)系？是空集，不含任何元素. 不是空集，它含有一個元素 ；同樣，0也不是空集，它含有一個元素

5、 0. TOC o 1-5 h z 由于空集是任何集合的子集，故0, ;又根據(jù) 是 的一個元素，也可以得到 .另外， 00尸.例 1.(2)(補充)P y x2 1 , Q y|y x2 1, _2_2_.Ex|y x1 , F(x,y)|yx 1 , Gx|x1,則()(A) P F (B) Q E (C) E F (D)Q G答案：D練習：名師一號P2高頻考點變式思考1(1)已知集合 A = (x, y)|x, yCR,且 x2+y2=1,B = (x, y)|x, y R,且 y= x,則 APB 的元素個數(shù)為()A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案：2注意：集合與解析幾何集合與平

6、面解析幾何結(jié)合是高考的又一熱點 ，這類題型一般以集合為載體考查解析幾何基本圖形的性質(zhì) 及相互之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵是抓住表達式的幾何意義練習 1:已知集合 M=(x, y)|y- 1 = k(x1), x, y R, 集合 N = (x, y)|x2 + y22y=0, x, yCR,那么 M AN 中()A .不可能有兩個元素B .至多有一個元素C.不可能只有一個元素 D.必含無數(shù)個元素解析：y1 = k(x1)表示經(jīng)過定點(1,1),斜率為k的直線，不包括通過(1,1)與x軸垂直的直線即x= 1.x2+y2 2y=0,可化為 x2+(y 1)2=1,表示圓心在(0,1),半徑等于1的圓，又(

7、1,1)是圓上的點，.直線與圓有兩個交點，故選 C.練習2：已知集合A x, y y J3x 0 ,c2- 2/B x, y x y a 1 ,若AI B B ,則實數(shù)a的取值范圍是()A. 2,B ., 2c 2,2 d ., 2 U 2,答案：B例2. (1)名師一號P1對點自測3已知集合 M=1, m + 2, m2+4,且5CM,則m的值為.解析：因為 5 C 1 , m + 2, m2 + 4,所以 m+2=5或m2 + 4 = 5,即 m = 3 或 m= +.當 m = 3 時，M=1,5,13;當 m=1 時，M =1,3,5;當m= 1時，M= 1,1,5不滿足互異性.所以m

8、的值為3或1.注意：名師一號P2問題探究問題1如何正確認識集合的三大特性？集合中的元素的三個特征，特別是無序性和互異性在解題時經(jīng)常用到 解題后要進行檢驗，要重視符號語言與文字語言之間的相互轉(zhuǎn)化.例2. （2）名師一號P2高頻考點例1已知集合 A=1,2,3,4,5, B = （x, y）|xCA, yCA, x-y A,則B中所含元素的個數(shù)為（）A. 3 B. 6C. 8 D. 10解析：由 xyC A,及人=1,2,3,4,5得 xy, 當y= 1時，x可取2,3,4,5,有4個；當y= 2時，x可取3,4,5,有3個；當y= 3時，x可取4,5,有2個；當y= 4時，x可取5,有1個.故共

9、有1+2 + 3 + 4=10（個），選D.注意：名師一號P2高頻考點例1規(guī)律方法（2）集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意.分類討論的思想方法 常用于解決集合問題.例2. (3)名師一號P2高頻考點例1 (2)(07 全國 I)設(shè) a,b R,集合1,a b,a 0,-,b a貝 U b a ()A. 1 B ,1 C , 2 D ,2解析:因為1, a+b, a= 0, b, b , awQ 所以 a+b = 0,得a= 1,所以 a= 1, b=1.所以 ba= 2.注意：利用互異性解題練習：（補充）設(shè)P、Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P*Q = x|x = ab,為通常

10、的乘法運算，aCP, bC Q,若P = 0,2,4, Q = 1,2,6,則P*Q中元素的個數(shù)是（）A. 9B. 8C. 7D. 6解析：由題意可知P*Q = 0,2,4,8,12,24.故選D.本題易形成錯解：從P中選取元素a有3種選法，對于它的每一種選法，在 Q中選取b有3種選法， 共有3X3= 9種，選A.例3.(補充)，八，1在集合M=0,萬，1,2,3的所有非空子集中任取一個集合，1該集合恰滿足條件“對？ xCA,有e A”的概率是.x解析：集合M的非空子集有251=31個，而滿足條件“對？ x8,則18”的集合A中的元素為1、J或2, TOC o 1-5 h z X2一 一 .且

11、2, 2要同時出現(xiàn)，故這樣的集合有3個：1, 2, 2, 1, 2, 2.因此，所求的概率為31 223 1注意：1、一般地，若a A,則元素a一定滿足集合A中元素的共同特征2、名師一號P2 對點自測4 (2)含有n個元素的集合的子集個數(shù)是2n,真子集個數(shù)是2n1,非空真子集的個數(shù) 是2n 2.練習1:名師一號P2高頻考點 例1變式思考1(2)若集合A = x|ax2 3x+2=0的子集只有兩個，則實數(shù) a=.集合A的子集只有兩個，A中只有一個元素.，2,八一.、當a=0時，x = W符合要求.39當 aw。時，A= (3)24a2=0, a= .8故a=0或9.8練習2:(補充)設(shè)集合 U

12、x, y x R, y R , A x, y 2x y m 0B x,y x y n 0 ,則點 P(2,3) AI CUB 的充要條件是答案：m 1且n 5(二)集合與集合之間的關(guān)系例1. (1)名師一號P2高頻考點 例2 (1)已知集合 A = x| 2407 B = x|m+1xm 1,則m 2,則 2m1&Z解彳# 2m4.m+ 12m 1,綜上，m的取值范圍是( 8, 4.例1. (2)名師一號P2高頻考點 例2 (2)& U=R,集合 A = x|x2 + 3x+2=0,B = x|x2+(m+ 1)x+ m = 0.若(?uA) CB=,求m的值.，得 B A.解析：A= 2,

13、1, 由(?uA)rB =方程 x2+ (m+ 1)x+ m = 0 的判別式 A= (m+ 1)2 4m = (m 1)2q.Bw .B = 1或 B = 2或 B = 1, 2.若 B = 1,則 m=1;若 B = 2,則應(yīng)有(m+1) = (2)+(2)= 4,且m = (2) (2) = 4,這兩式不能同時成立，.B2;若 B = 1, 2,則應(yīng)有(m+1) = (1)+( 2)= 3,且m = (1)(2) = 2,由這兩式得 m=2.經(jīng)檢驗知m=1和m = 2符合條件.m=1或2.注意：名師一號P2高頻考點例2規(guī)律方法(1)已知兩個集合之間的關(guān)系求參數(shù)時，要明確集合中的元素，對子

14、集是否為空集進行分類討論，做到不漏解.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.如A B時，A有兩種情況：A 與A在解決兩個數(shù)集關(guān)系問題時，避免出錯的一個有效手段是合理運用數(shù)軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時, 要對參數(shù)進行討論.解含參數(shù)的問題，要有討論的意識，分類討論時要注意空集區(qū)分“包含于”、“包含”、“真包含”、“不包含”關(guān)注區(qū)間端點值是否取到一具體檢驗！方程與不等式的解集練習1:名師一號P3高頻考點例3變式思考3(1)，“1 V已知全集為R,集合A= x 2xl ,B = x|x2-6x+80 WJAn?RB = ()A. x|x 0B x|2 奚4D. x|

15、0 x41、，解析：A= x 2 x0 B=x|2 買04所以？RB = x|x4,止匕時 AA?RB = x|0 雯4.k 1練習2:(補充)設(shè)集合M x |x - -,k Z, 2 4則 ()(A) M N (B) M N (C) M N (D) M I Nk 1N X1X 4 2，k Z,答案：B(三)集合的運算例1 .名師一號P2高頻考點例3 (2)已知 R 是實數(shù)集，集合 P=x|y= ln(x2+2 014x-2 015),Q=y|y=V-x2+2x+3,則(?rp)uq=()A. (0,1 B. 0,1C. ( 2 015,1 D. -2 015,2解析：集合P表示函數(shù)y=ln(

16、x2+2 014x-2 015)的定義域， 由 x2 + 2 014x-2 0150,即(x1)(x + 2 015)0,解得 x1.故 P=( - 2 015)U (1, +oo), ?rP= 2 015,1.集合Q表示函數(shù)y=x2+2x + 3的值域，設(shè) t= x2 + 2x+3,則 y=#.因為 t= x2+2x + 3= (x 1)2+ 44所以 y=/e 0,2,即 Q=0,2 .所以(?RP)UQ= 2 015,2,故選 D.注意：1、正確解讀集合語言集合的運算問題要依據(jù)交、并、補運算的定義求解同時關(guān)注區(qū)間端點值是否取到2、名師一號P2問題探究 問題4數(shù)軸和Venn圖是進行交、并、

17、補集運算的有力工具， 數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法，解題時要先把集合中 各種形式的元素化簡，使之明確化，盡可能地借助數(shù)軸、 直角坐標系或Venn圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、 形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題.例2. (1)名師一號P2對點自測6設(shè)全集 U = 1,2,3,4,5,6,7,8,集合 A=1,2,3,5, B = 2,4,6, 則右圖中的陰影部分表示的集合為()A. 2B. 4,6C . 1,3,5 D. 4,6,7,8解析 由圖知即求(?uA) PB,而？uA=4,6,7,8,B = 2,4,6,所以(?uA) fB = 4,6.故選 B.例2. (2)(補

18、充)已知集合 U1,2,3,4,5,若 AI B 2 ,CuA I B 4 ,CuA ICuB 1,5 ,則A , B答案：A 2,3 , B 2,4溫故知新P1第8題（四）綜合運用名師一號P3特色專題1.以集合為載體的創(chuàng)新型問題以集合為載體的創(chuàng)新型問題，是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點，常見的命題形式有新概念、新法則、新運算以及創(chuàng)新交匯等，此類 問題中集合只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問題的能力.例1.在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個 類”, 記為k,即k = 5n + k|n CZ , k = 0,1,2,3,4給出如下四個結(jié)論：2 014C 4;3C3; Z =

19、U 1 U2 U 3 U 4; 整數(shù)a, b屬于同一類的充要條件是a- bC 0其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【規(guī)范解答】因為2 014= 402X5+4,又因為4=5n + 4|nCZ,所以2 014C 4,故正確；因為一3=5X1) + 2,所以一3C2,故不正確；因為所有的整數(shù)Z除以5可得的余數(shù)為0,1,2,3,4,所以正確；若a, b屬于同一類，則有a=5m + k, b= 5n2+k,所以 ab = 5(m n2) 0,反過來，如果a-b 0,也可得到a, b屬于同一類故正確.故有3個結(jié)論正確.【名師點評】解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點：緊扣新定義-言聽計從！.首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型 集合問題難點的關(guān)鍵所在.(2)用好集合的性質(zhì).解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的 一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運算與性質(zhì).以集合為載