經(jīng)典諧振子與量子諧振子

1、經(jīng)典諧振子與量子諧振子摘要：本文分別介紹了經(jīng)典諧振子與量子諧振子的運動，詳細(xì)分析了簡諧振子在經(jīng)典力學(xué)中的運動特點及其運動方程，從運動方程中描述了力、位移、速度及加速度之間的關(guān)系并驗證了簡諧運動的能量守恒。而在量子力學(xué)中通過對諧振子能量的推導(dǎo)及其分析，清晰地看到了諧振子在宏觀世界與微觀世界的不同。關(guān)鍵字：經(jīng)典諧振子；量子諧振子；運動方程；能量TheClassicalHarmonicOscillatorandQuantumOscillatorAbstract：Inthispapertheclassicalharmonicosc川atorquantumharmonicoscillatorwithth

2、emovementisdescribed,adetailedanalysisofharmonicoscillatorinclassicalmechanicsthemotioncharacteristicsandequationsofmotion,describedfromtheequationsofmotionforce,displacement,speedandacceleration,andtherelationshipbetweenverifytheconservationofenergyforsimpleharmonicmotion.Inquantummechanics,harmoni

3、coscillatorenergythroughthederivationandanalysis,clearlyseetheharmonicoscillatorinthemacroworldandthemicroscopicworldofdifference.Keywords:classicalharmonicoscillator；quantumharmonicoscillator；equationofmotion；energy引言簡諧振子是力學(xué)中一個十分重要的問題，在實際運用發(fā)面涉及到的機械運動的大多數(shù)問題都可簡化為簡諧振子的運動問題，而且在聲學(xué)、光學(xué)等許多物理問題中都會出現(xiàn)類似諧振子運動方

4、程的方程。簡諧振子顯示了許多物理系統(tǒng)的共同特征。1經(jīng)典諧振子1.1簡諧運動及簡諧振子任何在相等時間間隔內(nèi)重復(fù)自身的運動都叫做周期運動，在周期運動中質(zhì)點的位移總可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)來表示，這種周期運動常叫做諧運動，如果做周期運動的質(zhì)點在同一路線上來回運動，這種運動就叫做振動1。假設(shè)一質(zhì)點在平衡位置附近來回振動該質(zhì)點的勢能按下式改變：Ux0.5kx22、式中k是常數(shù)，作用在質(zhì)點上的力為F,FxdUd(0.5kX)這樣振動的dxdx質(zhì)點叫做簡諧振子，而它的運動就叫做簡諧運動1。一個系于倔強系數(shù)為k的理想彈簧上并且在光滑水平面上質(zhì)量為m的物體就是簡諧振子的一個例子，如圖1所示。l-XAAAAA/y

5、Vy/VWVWVV圖1簡諧振動1.2簡諧運動方程及其特點先將牛頓第二定律F=ma應(yīng)用到圖1的運動中，以-kx代替F并且將加速度a寫成d2x/出2,則得d2xkx-20dtm該方程叫做簡諧振子的運動方程。根據(jù)微積分學(xué)，我們知道正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都具有這種性質(zhì)，這樣就可以寫出運動方程的嘗試解為：dxxAcos(t)Asin(t)dt,d2x將、x2Acos(t)代入運動方程得：2kAcos(t)Asin(tm)實際上就是簡諧振子運動方所以，如取常數(shù)的數(shù)值使得2區(qū)，則x=Acos(t+m程的解3。如果在式x=Acos( t+)中將時間t增加一個數(shù)值2/ ,函數(shù)x(t)就變成了x AcosAcos t

6、所以，2 /是運動的周期T。因為2因此由方程 x=Acos(2；t+)，給出的所有運動都有相同的運動周期，并且這周期僅由振動質(zhì)點的質(zhì)量m和彈簧的倔強系數(shù)k決定。振子的頻率，是單位時間完全振動的次數(shù)，由下式給定/21/21k,m量叫角頻率，A是運動振幅，簡諧運動的頻率與運動的振幅無關(guān)，量(t+)是運動的相位，常數(shù)叫初相位4。簡諧振子勢能曲線隨位移的平方而改變3,作用在質(zhì)點上的力的大小與位移成正比，但方向與位移相反，振動的兩極限位置離開平衡位置的距離是相等的，最大位移的大小叫做簡諧運動的振幅。圖2描述了質(zhì)點勢能及力與位移的關(guān)系。圖2質(zhì)點勢能及力與位移的關(guān)系簡諧運動的另一個明顯特征是振動質(zhì)點的位移，

7、速度，加速度之間的關(guān)系：這些曲線的方程是：xAcostvAsinta2Acost那么它最大的位移為A,最大的速度為A,而最大得加速度為2Ao1.3簡諧運動中的能量守恒5對于包括簡諧運動在內(nèi)的諧運動來說，如果沒有耗散力作用在系統(tǒng)上，則系統(tǒng)的總機械能量守恒EKU。簡諧運動的位移由下式給出：xAcost在任何時刻，勢能U0.5kx20.5kA2cos2t3所示。勢能的最大值為1/2 kA2。在運動期間，勢能在零和這個最大值之間改變，如圖-A圖3勢能的變化曲線在任何時刻，動能K為0.5mv2。利用關(guān)系式n與2乂得到mK0.5mv20.5kA2sin2t所以動能具有最大值1/2kA2或1/2m(A)2,

8、這與先前所說的最大速率A是一致的。在運動期間，動能在零和這個最大值之間改變，總機械能為動能與勢能之和：2222EKU0.5kA2sin2t0.5kA2cos2t可見，總能量是恒定的，它具有數(shù)值1/2kA2。在最大位移處，動能為零而勢能為1/2kA2,在平衡位置，勢能為零而動能為1/2kA2。在其它位置，動能和勢能各自奉獻(xiàn)的能量之總和為1/2kA2。圖3說明了這個恒定的總能量。作簡諧運動的質(zhì)點的總能量與震動振幅的平方成正比。由圖3可以清楚地看出，在一個周期內(nèi)運動的平均動能恰好等于平均勢能，并且每個平均值都是1/2kA2。通常，可將方程EKU寫成E0.5kA2o.5mv20.5kx2,由此關(guān)系式可

9、得到：dxk22、v石、m（A-x）這一關(guān)系式清楚地說明：在平衡位置x=0處，速率為零。實際上，我們可以從能量守恒的方程出發(fā)，通過建方程的位移。所得結(jié)果與式子vdxJ-(A2-x2)積分，而得到最為時間函數(shù)dt.mdx心(A2-x2)完全相同，而式子xAcostdt，m是由運動的微分方程 會 dt2kxm0推到出來的5。2量子諧振子量子諧振子的運動方程所謂的簡諧振子就是一個受彈性力作用的系統(tǒng)，其勢能20.5kx20.5（jw0 x2k為彈簧系數(shù),為振子的經(jīng)典頻率。量子諧振子的運動方程為:h2d2工2dx22為簡化書寫，令x于是方程？器12x2化為d2時，以上方程有漸進(jìn)解,方程的精確解可寫作:2

10、.2量子諧振子能量6將它帶入匚d 22eTH()22e 斤 H ( ) fs0 ,得到H()滿足的方程:2丁口2(1)H()0次方程厄米方程，可用級數(shù)法求解，為此令1H()a0a1a0我們要求 0,否則，0時，H()將為無窮。將以上級數(shù)代入.2.,、d H( ) 2 dH(-) (1)H ( ) 0,比較d 2d的系數(shù)，可得以下遞推公式:(s2)( s1) a 2(221 )a當(dāng)2時，因為a20,于是有s(s1)a00由此得出s=0和s=1。當(dāng)v=-1時，a-10,于是有(s1)sa10(s 2)(s因為要求s0,由此得出s=0,否則必須a0。在確定s后，根據(jù)遞推公式1)a2(221)a,可只

11、討論s=0,這時，遞推公式變?yōu)榭疾煲陨霞墧?shù)的收斂特性，當(dāng)2nn!bn 1bn由此可見，從(1)式算得的級數(shù)，在一 a1)時，由12)(1)(n時,1 n 1I1n!2n具有e的發(fā)放特性，從而整個波2函數(shù) e三H()在時，仍按e2趨于無窮，這是不能允許的。要防止以上情況，除非方程中的參數(shù)取，取些特定的數(shù)值，已使無窮級數(shù)中斷為一多項式，這時2波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)就只取決于e三了。x=，E= 2h是與能量有關(guān)的參數(shù)，條件2n1n=0,1,2,3給出能量1E=h(n)h22能量亦能連續(xù)取值，并且存在能量為零的靜止?fàn)顟B(tài)7o在量子力學(xué)中情況則不同，能量只能取量子化的數(shù)值，相鄰能級的能量差為 h。基態(tài)n=

12、0亦具有能量E0 0.5h ,這說明不是任何能量值都有相應(yīng)的狀態(tài)存在，可能狀態(tài)的能量，只能取以上量子化的數(shù)值。在經(jīng)典力學(xué)中，振子的能量與振幅平方成正比，振幅可以連續(xù)變化，因而它稱為零點能網(wǎng)。當(dāng)n去定后，即可由遞推公式算出相應(yīng)的Hn(),從而得出相應(yīng)的波函數(shù)n e 2Hn(),Hn(稱為厄米多項式,它亦可由以下公式直接計算：Hn(=( 1)nedn ,2、”(e)最后波函數(shù)由以下式子給出:n(Nne 2 Hn()其中,xNn1對應(yīng)的能量為En(n-)h2下面是量子諧振子的最低幾個能級的波函數(shù)和幾率9分布如圖4所示當(dāng)能量低時的情況:能量高時的情況如圖5所示:3經(jīng)典諧振子與量子諧振子的異同10從能量

13、的角度上看，當(dāng)能量高時量子幾率平均說來與經(jīng)典幾率相近，即能量高時量子力學(xué)的結(jié)果將與經(jīng)典力學(xué)一致，在量子力學(xué)中，由于粒子一開始就處于不定態(tài)，故它有幾率為零的節(jié)點存在，但平均值與經(jīng)典幾率一致；它們的不同點主要是運動方程的描述方式不同，經(jīng)典諧振子是用牛頓運動定律描述而量子諧振子是用波函數(shù)來描述的故它們運動方程不同，方程的解也不同。結(jié)論本文通過詳細(xì)分析諧振子在經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中的運動，得出它們的能量分布幾率基本相似，但它們的運動描述方式完全不同。從能量的角度上看，當(dāng)能量高時量子幾率平均說來與經(jīng)典幾率相近，即能量高時量子力學(xué)的結(jié)果將與經(jīng)典力學(xué)一致，在量子力學(xué)中，由于粒子一開始就處于不定態(tài)，故它有幾率為零的節(jié)點存在，但平均值與經(jīng)典幾率一致；它們的不同點主要是運動方程的描述方式不同，經(jīng)典諧振子是用牛頓運動定律描述而量子諧振子是用波函數(shù)來描述的故它們運動方程不同，方程的解也不同。參考文獻(xiàn)：1鄒鵬程.量子力學(xué)M.北京：高等教育出版社，1989:98106.2鄭永令，吳建華.物理學(xué)基礎(chǔ)M.北京：高等教育出版社，1979:125129.3陳本黎等.量子力學(xué)中的諧振子M.福建：福建科學(xué)技術(shù)出版社，1989:5568.4張禮、葛墨林.量子力學(xué)的前沿