2013中考一模-二模-沖刺-弱點(diǎn)專題精講精解精練：反比例函數(shù)之-等腰三角形-多種情況

1、反比例函數(shù)之等腰三角形多種情況一、解答題(共12小題)1、(2010西寧)如圖，直線y=kx-1與x軸、y軸分別交與B、C兩點(diǎn)，tanZOCB=f.求B點(diǎn)的坐標(biāo)和k的值；若點(diǎn)A(x,y)是第一象限內(nèi)的直線y=kx-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，試寫出厶AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)探索：當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，AOB的面積是二；在成立的情況下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，POA是等腰三角形.若存在，請寫出滿足條件的所有P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.2、如圖，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)丄小，過點(diǎn)a作AB丄x軸于點(diǎn)B,!AOB的面積為3.求k和m的值；若一次函數(shù)y=ax+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A

2、,并且與x軸相交于點(diǎn)C,求|AO|：|AC|的值；若D為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，使AOD是以AO為一腰的等腰三角形，請寫出所有滿足條件的D點(diǎn)的坐標(biāo).3、如圖：直線y=-x+6與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P是直線AB上的一點(diǎn)，Q是雙曲線T-上的一點(diǎn)，若0、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請?jiān)趫D中找出所有符合條件的點(diǎn)Q,并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)和寫出相應(yīng)k的值.4、如圖：RtAABO中，ZAOB=90,ZBAO=30，在直線BO或AO上取一點(diǎn)卩，使厶PAB為等腰三角形，請?jiān)趫D中畫出所有符合條件的PAB.（可用PiAB表示，i=1,2,）5、（2005杭州）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（2，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn).請你

3、在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)P,使得AOP成為等腰三角形.在給出的坐標(biāo)系中把所有這樣的點(diǎn)P都找出來，畫上實(shí)心點(diǎn)，并在旁邊標(biāo)上P,P2,，PK的坐標(biāo)（有k個(gè)就標(biāo)到PK為止，不必寫出畫法）.54rr.：gl)J-2r(Oja3y2時(shí)，x的取值范圍；（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P,使厶AOP為等腰三角形？若存在，請你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.次函數(shù)y=kx+b的圖象交于點(diǎn)A（m，2），點(diǎn)B（-2，n），一次函數(shù)圖象1）求一次函數(shù)解析式；（2）求厶AOB的面積.（3）在x軸上有一點(diǎn)P,使得OAP為等腰三角形，請直接寫出符合要求的所有P點(diǎn)坐標(biāo).（不必寫計(jì)算過程）9、（2007呼和浩特）如圖，已知反比例函

4、數(shù)二的圖象與一次函數(shù)y=k2x+b的圖象交于A，B兩點(diǎn)，A（1,n）,B（-亍，-2）.（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使厶AOP為等腰三角形？若存在，請你直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.1),一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,3)與點(diǎn)A,且與反比例函數(shù)的圖象相交于另一點(diǎn)B.分別求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；求三角形OAB的面積；在x軸是否存在一點(diǎn)P使厶OAP為等腰三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.11、已知：如圖，等邊三角形AOB的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=J(x0)的圖象上，點(diǎn)B在x軸上.求點(diǎn)B的

5、坐標(biāo)；求直線AB的函數(shù)表示式；在y軸上是否存在點(diǎn)P,使厶OAP是等腰三角形？若存在，直接把符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)都寫出來；若不存在,12、(2001吉林)如圖，已知反比例函=丁和一次函數(shù)y=2x-1，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(a,b)，(a+1,b+k）兩點(diǎn).（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如圖，已知點(diǎn)A在第一象限，且同時(shí)在上述兩個(gè)函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）利用（2）的結(jié)果，請問：在x軸上是否存在點(diǎn)卩，使厶AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)都求出來；若不存在，請說明理由.二、填空題（共1小題）13、直線y=x-2與坐標(biāo)軸交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，ABC為等腰三角形，則

6、滿足條件的點(diǎn)C最多有個(gè). 反比例函數(shù)之等腰三角形多種情況答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、解答題（共12小題）1、（2010西寧）如圖，直線y=kx-1與x軸、y軸分別交與B、C兩點(diǎn)，tanZOCB=.（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)和k的值；（2）若點(diǎn)A（x,y）是第一象限內(nèi)的直線y=kx-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，試寫出厶AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）探索：當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，AOB的面積是二；在成立的情況下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，POA是等腰三角形.若存在，請寫出滿足條件的所有P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由Iv=kx-lV（xTy）考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題。專題：壓軸題。分析：本題考查一次函數(shù)的綜合

7、應(yīng)用，在（1）中需根據(jù)OC=1求出B點(diǎn)坐標(biāo)，在利用待定系數(shù)法求出k值；（2）中利用把AOB的面積表示出來，在根據(jù)x與y之間的關(guān)系代入整理；（3）代入求值即可，同時(shí)在查找等腰三角形的滿足P點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)要根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)查找解答：解：（1）Vy=kx-1與y軸相交于點(diǎn)C，OC=1；1_OBTtanZOCB=OB=；把B點(diǎn)坐標(biāo)為:B點(diǎn)坐標(biāo)為：:U代入y=kx-1得：k=2；.y=kx-1,11S=?(2x-1)；.11Sx-二;(3)當(dāng)S三時(shí),111Ix-二=二,.x=1，y=2x-1=1;.A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)時(shí)，AOB的面積為W；存在滿足條件的所有P點(diǎn)坐標(biāo)為：P(1,0),P2(2,0),P3

8、(竝,0),P4(-芒,0).(12分)(注：每題只給出一種解法，如有不同解法請參照評分意見給分)點(diǎn)評：本題是函數(shù)與三角形相結(jié)合的問題，在圖形中滲透運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題2、如圖，已知反比例函數(shù)丁=：K的圖象經(jīng)過點(diǎn)丄f小，過點(diǎn)A作AB丄x軸于點(diǎn)B,!AOB的面積為3.求k和m的值；若一次函數(shù)y=ax+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,并且與x軸相交于點(diǎn)C,求|AO|：|AC|的值；若D為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，使AOD是以AO為一腰的等腰三角形，請寫出所有滿足條件的D點(diǎn)的坐標(biāo).考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題。專題：代數(shù)幾何綜合題。分析(1)由三角形面積和反比例函數(shù)經(jīng)過的點(diǎn)可以求出k和m的值；由(1)的結(jié)

9、果，可得出AO的長度，再由線段與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求出直線方程，從而得出C點(diǎn)坐標(biāo)，得出AC的值；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及點(diǎn)在坐標(biāo)軸上進(jìn)行分類討論，得出正確的結(jié)果解答：解：(1)由已知得，TAB丄x軸，.kVO,.*.m=2.故k和m的值分別為-二-2）由（1）得m=2,上-3.2,.由已知得2=-、_1,V3二一次函數(shù)為-，令T=曇=3,：、C0),：.0C=晅.：0=y/3,.BC=2/3?AC=yAB2+BC2=4.又AO=故丄&:AC=-/4.（3）由（2）知，AO=；,又D為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，使AOD是以AO為一腰的等腰三角形，則由分析可知：滿足D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0,7），（0，4），（-2乜，0）

10、，（士，0）.點(diǎn)評：本題綜合考查反比例函數(shù)與方程組的相關(guān)知識點(diǎn).先由點(diǎn)的坐標(biāo)求函數(shù)解析式，然后解解析式組成的方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想同時(shí)還加入了分類討論的內(nèi)容3、如圖：直線y=-x+6與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)P是直線AB上的一點(diǎn)，Q是雙曲線T-上的一點(diǎn)，若0、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請?jiān)趫D中找出所有符合條件的點(diǎn)Q,并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)和寫出相應(yīng)k的值考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題。專題：分類討論。分析：當(dāng)雙曲線T=：*=在一、三象限時(shí)，P、B兩點(diǎn)重合，Q點(diǎn)為正方形B0AQ的一個(gè)頂點(diǎn)，圖形符合題意；當(dāng)雙曲線/7圧=U在二、四象限時(shí)，作0QAB,且0Q=0A=6，再作PQ0A交

11、直線AB于P點(diǎn)，圖形符合題意解答：解：由直線y=-x+6可知A（6，0），B（0，6）；當(dāng)雙曲線/=T定=U在一、三象限時(shí)，如圖1，P、B兩點(diǎn)重合，Q點(diǎn)為正方形B0AQ的一個(gè)頂點(diǎn)，故Q（6，6），k=6x6=36；當(dāng)雙曲線/=T定=在二、四象限時(shí)，如圖2，作0QAB,且使0Q=0A=6,再作P1Q10A交直線AB于Px點(diǎn)，作QM丄x軸，垂足為M,VOA=OB=6，AZBAO=ZQ1OM=45.Q1M=OM=OQ1sin45=3-,AQ1（-,3芒）,k=-2X2=-18,同理可得Q2（32,-2）,k=-18.點(diǎn)評：理解菱形的四邊相等，對邊平行，是判斷本題的關(guān)鍵，需要根據(jù)雙曲線所在的象限分類解

12、題，明確正方形屬于菱形的特殊情況4、如圖：RtAABO中，ZAOB=90,ZBAO=30，在直線BO或AO上取一點(diǎn)卩，使厶PAB為等腰三角形，請?jiān)趫D中畫出所有符合條件的PAB.（可用PiAB表示，i=1,2,）考點(diǎn)：作圖復(fù)雜作圖；等腰三角形的判定。分析：以A為圓心，AB為半徑畫圓交Y軸于兩點(diǎn)，交X軸于一點(diǎn)經(jīng)連接后得到3個(gè)符合條件的三角形;以B為圓心，AB為半徑畫圓交X軸于兩點(diǎn)，交Y軸于一點(diǎn)經(jīng)連接后得3個(gè)符合條件的三角形；作AB的垂直平分線，交Y軸于一點(diǎn)，經(jīng)連接后得一個(gè)三角形，共7個(gè).點(diǎn)評：本題中要把所有可能的情況都找出來，不要遺漏掉任何一種情況.5、（2005杭州）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A

13、（2，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn).請你在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)P,使得AOP成為等腰三角形.在給出的坐標(biāo)系中把所有這樣的點(diǎn)P都找出來，畫上實(shí)心點(diǎn)，并在旁邊標(biāo)上Pj,P2,，PK的坐標(biāo)（有k個(gè)就標(biāo)到PK為止，不必寫出畫法）.考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；等腰三角形的判定；勾股定理。專題：規(guī)律型。分析：本題應(yīng)先求出OA的長，再分別討論OA=OP、AP=OA、AP=OP的各種情況，即可得出答案解答：解：oa=J1，+22=J5,oa=op時(shí)，x軸上有N50）,（-J5,0）；y軸上有（o,J5）,（o,-J5）；AP=OA時(shí)，x軸上有（4,0）,y軸上（0,2）；AP=OP時(shí)，x軸上有（孚，0）y軸上有（0,號）.P(4,

14、0),p2(0,2),p2(V5,0),p4(-運(yùn),0),p5(0,），p6（0,-=）,p7（二,0）,p8（0,7）點(diǎn)評：AOP為等腰三角形，那么任意一對鄰邊可為等腰三角形，注意分情況討論.6、如圖，已知直線y=x與雙曲線丫=二交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為三.（1）求k的值；（2）若雙曲線上點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3,求厶AOC的面積；（3）在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)M,在直線AB上有一點(diǎn)P,在雙曲線y上上有一點(diǎn)N,若以0、M、P、N為頂點(diǎn)的四邊形是有一組對角為60的菱形，請寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征。專題：

15、計(jì)算題；綜合題。分析(1)把點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為二代入y=Wx求出其縱坐標(biāo)，然后把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=二求出k即可.(2)根據(jù)縱坐標(biāo)為3求出橫坐標(biāo)，再求出過A,C兩點(diǎn)的直線方程，然后根據(jù)AOC的面積=Scod-SAOD求解即可.(3)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(a,亨a),根據(jù)題意，點(diǎn)M只能在縱坐標(biāo)軸上,解答：解：(1)把點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2代入y=x,其縱坐標(biāo)為1,把點(diǎn)(m,i)代入丘，解得：k=-3.(2)T雙曲線y上點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為橫坐標(biāo)為丁,.過A，C兩點(diǎn)的直線方程為：y=気+4,設(shè)y=x+4與x軸交點(diǎn)為D,則D點(diǎn)坐標(biāo)為0），AOC的面積=Sacod1朋1鑒丐朋-NaodCTx3-7丁燈=丁(3)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(a,窖

16、a),以0、M、P、N為頂點(diǎn)的四邊形是有一組對角為60的菱形,點(diǎn)M只能在縱坐標(biāo)軸上，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a,代入y=解得縱坐標(biāo)為：根據(jù)0P=NP，即得:解得：a=-二.故P點(diǎn)坐標(biāo)為:點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)及反比例函數(shù)圖象上坐標(biāo)的特征，難度較大，關(guān)鍵掌握用待定系數(shù)法解函數(shù)的解析式.7、如圖，正比例函數(shù)y,=k,x的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).分別求出這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；請你觀察圖象，寫出yxy2時(shí)，x的取值范圍；在y軸上是否存在點(diǎn)P,使厶AOP為等腰三角形？若存在，請你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)

17、問題；等腰三角形的性質(zhì)。專題：代數(shù)幾何綜合題。分析（1）設(shè)直線方程為丫嚴(yán)的反比例函數(shù)孑，兩圖象都經(jīng)過點(diǎn)A,解得匕和k2,（2）解得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察圖象寫出x的取值范圍，（3）存在4種情況的點(diǎn)P，OP為腰和底兩種情況，分別求出OP解答（1）解：Ty嚴(yán)捫過點(diǎn)A（1,2）,k=2.（2分）正比例函數(shù)的表達(dá)式為y,=2x.（3分）反比例函數(shù)過點(diǎn)A（1,2）,k2=2.（5分）:反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=.（6分）（2）-1VxV0或x1.（8分）（3）T點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,2）,.0A=-,當(dāng)0A為腰時(shí)，OA=OP2=c，,P2點(diǎn)坐標(biāo)為（0,4）,當(dāng)AP=OA=二，可知P坐標(biāo)為（0,）,當(dāng)oa=op3=

18、13時(shí)，可得P3坐標(biāo)為（0,-=）JS),p3(0,4),可知P4(0,言),故P1(0,屈),P2(0,-J5),P3(0,4),P4(0,|).(12分)點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)=:中k的幾何意義.這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義.8、如圖，反比例函數(shù)匸=:的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于點(diǎn)A(m,2),點(diǎn)B(-2,n),一次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為C求一次函數(shù)解析式；求厶AOB的面積.在x軸上有一點(diǎn)P,使得OAP為等腰三角形，請直接寫出符合要求的所有P點(diǎn)坐標(biāo).(不必寫計(jì)算過程)考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題。專題：分

19、類討論；待定系數(shù)法。分析：(1)把A(m,2),B(-2,n)代入歹=?中可得m、n的值再把A(1,2),B(-2,-1)代入y=kx+b中可得k、b的值，一次函數(shù)解析式可求.先利用一次函數(shù)解析式解得C點(diǎn)坐標(biāo)，可求AOC和厶BOC的面積，AOB的面積可求.(3)本題可分多種情況：當(dāng)OA=OA時(shí)P(-二，0)、P2(J5,0),當(dāng)AO=AP時(shí)，P3(2,0),當(dāng)AP=OP時(shí)，P4(2.5，0).解答：(1)由題意，把A(m,2),B(-2,n)代入歹=，中,:.A(1,2),B(-2,-1)將A、B代入y=kx+b中得仇+b=2-2k+b=-1一次函數(shù)解析式為：y=x+1(6分)(2)：次函數(shù)解

20、析式為：y=x+1C(0，1)11：$aoc=I11=TSaboc0）的圖象上，點(diǎn)B在x軸上.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求直線AB的函數(shù)表示式；（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P,使厶OAP是等腰三角形？若存在，直接把符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)都寫出來；若不存在,分析（1）設(shè)出OB的長，然后根據(jù)等邊三角形的特點(diǎn)用OB的長表示出OAB的面積，根據(jù)反比例函數(shù)的解析式知,OAB的面積為己，聯(lián)立其面積表達(dá)式即可求得OB的長，從而確定點(diǎn)B的坐標(biāo).（2）已知等邊三角形的邊長，易求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求解即可.（3）首先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別表示出OP2、OA2、AP2，分三種情況討論：OP=OA,OP=AP

21、,OA=AP,根據(jù)三種情況下所能列出的不同等量關(guān)系式，可求得符合題意的點(diǎn)P坐標(biāo).解答：解：（1）根據(jù)題意得，OAB的面積為途（1分）設(shè)OB=a,Saoab=J=二，(2分).0B=2,.B(2,0).(3分)2)易知A(1,J3),(4分)把A(1,43),b(2,0),代入y=kx+b得k+b=32k+b=0,5分)解得，k=3,b=23；.*.y=-x+2.(6分)符合條件的點(diǎn)P有：(0,2逅)(0,2)(0,-2)(0,|J3).(9分)(1-2個(gè)點(diǎn)(1分),3個(gè)點(diǎn)(2分),4個(gè)3分)理由：設(shè)點(diǎn)P(0,y),已知A(1,J3),o(0,0)則AP2=1+(y-)2,OP2=y2,OA2=

22、4；當(dāng)OP=AP時(shí)，OP2=AP2,即：y2=1+(y-二)2,解得y=,當(dāng)AP=OA時(shí)，AP2=OA2,即：1+(y)2=4,整理得：y2-2斗。,解得y=0（舍去）,.P(0,2-)；當(dāng)OP=OA時(shí)，OP2=OA2,即:y2=4,解得y=2,P(0,2)或(0,-2)；綜上可知：符合條件的P點(diǎn)有四個(gè)，且坐標(biāo)為：P(0,23)(0,2)(0,-2)(0,三).點(diǎn)評：此題考查的知識點(diǎn)有：等邊三角形的性質(zhì)、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法以及等腰三角形的構(gòu)成情況等知識,要注意(3)題要根據(jù)等腰三角形不同的腰和底分類討論,以免漏解12、(2001吉林)如圖，已知反比例函紗=殳和一次函數(shù)y=2x-1，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(a,b),(a+1,b+k)兩點(diǎn).求反比例函數(shù)的解析式；如圖，已知點(diǎn)A在第一象限，且同時(shí)在上述兩個(gè)函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；利用(2)的結(jié)果，請問：在x軸上是否存在點(diǎn)P,使AAOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)都求出來；若不存在,請說明理由.考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；等腰