橢圓中?？嫉氖鶙l焦點(diǎn)性質(zhì)和證明(匯編)

1、橢圓中?？嫉氖鶙l焦點(diǎn)性質(zhì)及其證明（一）橢圓中，PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在 直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的 兩個(gè)端點(diǎn)證明：延長F2H至M交PR于M PT平分/ MPF ，又 F2H丄 PT,a |pm |=|PF2 | 又 |PF| |PF2| = 2a,二 |PM | |PFi | = 2a HFiM | = 2|0H | ：|0H | = a. TOC o 1-5 h z H軌跡是以長軸為直徑的圓，除長軸端點(diǎn)（二）橢圓中，橢圓焦點(diǎn)三角形中，以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切證明：如圖，設(shè)以焦半徑MF為直徑的圓的半徑為 ri,圓心為O

2、,由橢圓定義知 |MFi | | MF2 戶 |AB = |MFi 冃 AB| -|MF2|11 |001| MF1（| AB | | MF2 |） =a -r122 0 OO 0相內(nèi)切設(shè)A、A為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則厶PF1F2在邊PFz (或 PF1)上的旁切圓，必與 AA所在的直線切于 A2 (或A). 證明：設(shè)旁切圓切 x軸于A，切PF2于M, F1P于N,則 |PN 冃 PM| , |MF2|=|MA| ,|F1N|=|F1A| ,- | PF1 | | PM | =| F1 F2 | | MF2 | PF1 | | PF2 | -| F2A|=|F1F2| |F2A|= 2a =2c

3、 2| F2A| ：| FzAFa -c 計(jì) F2A2 | A與A重合.2 2橢圓 +2 1( a b o )a bA(-a,0) , A(a,0),與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)，2 2A R與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 務(wù)占=1.a b證明：設(shè)交點(diǎn) S(x),y) , R(m,n) , P,(mn) KP1A1 =KA1SGa2 二Gs,n _ y。+axo +an-ny。y。n2yoi*2222-ny0m+am-ax。+ax。一aa -mx。一a1=m -ax。_a2 2 2 2 2 . 2p m nnmnba bbaa -m a2,2 2 2 2 2:y。一b y。_1即軌跡方程為

4、X y _1x。一aaa ba b22（五）若尺（“。）在橢圓孑+泊=1上，則過R的橢圓的切線方程是加+狛iab2證明.對(duì)x求導(dǎo)可得：2x 2y y 。.xobJd_L 丿j /、jA m 丄nx)m 丄%n聲2. 22. 2a bab2 2即 x_+y_=xo+y.a bab2 2（九）過橢圓 牛中牛=1 （a o,b O）上仕點(diǎn)a（x）, yo）仕意a b作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBc=y （常數(shù)）.a yo證明：設(shè)兩直線與橢圓交于點(diǎn)（石）（x2,y2）.2 2 2 2 2 2xi, yiX2 +丫2xo +yo2 2 2 2 2 2 a b a b a

5、 b=1廠f 0wxAC yi y _ _xixo b2XiXoyi-y。a2討2y。_X2X。b2X2-Xoy2-y。a2由題意得二2 2 yiy。X2+x。by2 y。音+x。b2 ，2Xi-x。y2 y。aX2 - x。yi y。a展開 (yiy2 - yoy2 yoy1 -y)a (ym -y。 +yy2 -y；)a2=(Xi X2 - X2X。 XiX。-x)b22= (XiX2 -NX。 X2X。-x)b222a y(yi y?) =2b x(xi -X2).2得：yi二宅=叮一二Kbc （定值）x -X2 a yo22（十）橢圓+y_=i （a b0）的左右焦點(diǎn)分別為 Fi, F

6、2, a b點(diǎn)P為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn).FPF2二,則橢圓的焦2點(diǎn)三角形的面積為門汁汁廠財(cái)，滬m 亠n =2a.證明：設(shè) | PFi |=m , IPF21 二 n，則由余弦定理22叮22m 亠n -2mn cos 二4c 4a22-4b(m 亠n)4b2，2b2i cosSF.PFm n sin Y =i 2bsin Y = b2tan=c，|yp |i 222 1 cos22 2(十一) 若P為橢圓X2 y2 =i(a b 0)上異于長軸端點(diǎn)的a b任一點(diǎn),F i, F 2 是焦點(diǎn)，Npf,F2 =o(, PF2F P ,2b2 =(i cos )mn |PFi| =證明：設(shè)|pF

7、iE , H心a ,陽鎮(zhèn)ot +B a -P 2sincosm 亠n sin :： 亠sin -22o . ot + P a +P 2sincos2 2又|FF2|sin(:：)a -P cos 2a +P COSP . . a . P cos 亠 sin sin 2 2 2a cos2ar j廠coscossin s in22 22c(P1 tan tan 22J1 -ta n tan= 2 2由、得：tan - tan=a 一c22 a+c2mb2k2y1 y2 = 2 2 2a +b kma2k2X 二mk-myob k +a2 2 2 m k (ay -y： =k(x _x ) 代入(

8、Xo,O),mk(a2 +b2)x)a2b2k2又厶 0=b2)2(a2 b2k2)2a k2b2xo.(a2_b2)2a2 b2k2%2 2(十二)橢圓x2 y2 =1 (a b 0) 上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線I :a b(2 人2、2y=k(xxo)對(duì)稱的充要條件是 X。2蘭 ：2 2 .a +b k分析：該問題等價(jià)于在橢圓上找兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)直線1，斜率為一，其中垂線I為y=k(x x。)則xO (a b )k1證明：設(shè)l1方程為y -x亠m 即x =mk -ky ,中點(diǎn)為(x, y)k得(b2k2 a2) y2 2mb2k2y b2k2m2 a2b2 =0mb2k2y = 2 2 2a k注：

9、還可以用點(diǎn)差法2 2 2 2(十三)已知橢圓 b0 )和 七1=人(0人：1 ),a ba b一直線順次與它們相交于 A B、C、D四點(diǎn)，則|AB| =|CD | . 證明：設(shè)直線方程為 y=kx、m,2 2乞：羋=，x2 (kx m)2 , 1k2 2 2km m2孑 b二 2“2- = ( 2 以)x2以 xa ba b b by =kx m=1視作 =1的特殊情況2km弦中點(diǎn)坐標(biāo)Xd =勺里一1b -與，無關(guān).22 1 . k而 y 二kxD m D（Xdd）與無關(guān)線段 AD,BC 中點(diǎn)重合=|AB|=|CD|.2 2（十四）已知橢圓x2y2 =1（a b 0）, A、B是橢圓上的兩a

10、b點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P（xo,0）,貝V2 2a -b：X）、aa證明：設(shè) A為（X1,yJB為（Xz,y2）2 2X1X12 r2 a b _2 2 -X2 y2,L廠1Xd=2a(為一X2)(x X2) (y1 y2)(w y2)b2b2 kyD1 -_ = x。 k2 2a-b.-a .-Xd a XdapdX。-Xd=Xd2 .2a b yDk 二 2xda2 2a ba2 2（十五）已知橢圓方程為xy一2、2 = 1(a b 0),兩焦點(diǎn)分別為abF1, F2,設(shè)焦點(diǎn) PF1F2, - PF1F2=：； PF2F1 =2 則橢圓的離心率e =sin(黒亠卩)sin - sin :證明：由正弦定理得:|FiF2 sin(180。_ ： _ -)sin ： sin :由等比定理得:FE _ PF!PF?sin(j -)sin 篇- sin :2asin x sin :fr_ 2c(PFklPFdsin(、l：,) sin(二sin ： sin :csi n(a + P)e =a sin o +sin P2 2 X y(十六)已知橢圓方程為2_2 =1(a b 0),兩焦點(diǎn)