安徽省蚌埠市2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢查試題文(含解析)

1、蚌埠市 2020 屆高三年級(jí)第二次教學(xué)質(zhì)量檢查考試數(shù) 學(xué)（文史類）一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5 分，共 60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的。已知集合，集合，則（ ）B.C.D.【答案】 A【解析】【分析】 解一元一次不等式求得集合，解一元二次不等式求得集合，由此求得兩個(gè)集合的交集和并集， 并判斷出正確選項(xiàng) .【詳解】由解得 .由，解得；故， . 故選 A. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合的交集和并集的運(yùn)算，考查一元一次不等式的解法，考查一元 二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題 .高三第一學(xué)期甲、乙兩名同學(xué) 5 次月考的地理學(xué)科得分的莖葉圖如圖所示，其中兩豎線之 間

2、是得分的十位數(shù)，兩邊分別是甲、乙得分的個(gè)位數(shù) . 則下列結(jié)論正確的是（ ）甲得分的中位數(shù)是 78甲得分的平均數(shù)等于乙得分的平均數(shù)乙得分的平均數(shù)和眾數(shù)都是 75乙得分的方差大于甲得分的方差【答案】 C【解析】【分析】 求出甲的中位數(shù)、平均數(shù)和方差，求出乙的眾數(shù)、平均數(shù)和方差，由此判斷出正確選項(xiàng) . 【詳解】甲的中位數(shù)為，排除A 選項(xiàng). 平均數(shù)為，方差為 . 乙的眾數(shù)為，平均數(shù)為，排除項(xiàng)，且C選項(xiàng)正確，方差為，排除 D選項(xiàng)綜上所述，本小題選 C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查莖葉圖的識(shí)別，考查平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.已知復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則（ ）A. B. C. D.【答案】

3、 C【解析】【分析】 化簡(jiǎn)為的形式，進(jìn)而求得的模 .【詳解】依題意，所以 . 故選 C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題 .從 1，2，3，4中選取兩個(gè)不同數(shù)字組成兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)能被4 整除的概率為（ ）A. B. C. D.【答案】 B【解析】【分析】 列舉出所有可能的兩位數(shù)，并利用古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出所求的概率 .【詳解】依題意可知，所有的兩位數(shù)為，共個(gè)，其中能被整除的是共三個(gè)，故所求概率為， 故選 B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用列舉法求古典概型，考查古典概型概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題 .已知，則“”是“”成立的（ ）A. 充分不必要條件B.

4、必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】 A【解析】【分析】分析“”和“”范圍的包含關(guān)系，由此得出正確選項(xiàng) .【詳解】由可知，而由“”得；故“”的范圍是“”范圍的真子集，所以是充分不必要條件 .【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查分?jǐn)?shù)分母不為零，屬于基礎(chǔ)題 .已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)滿足，則的面積為（ ）A. 1 B. C. 2 D.答案】 B解析】 【分析】 根據(jù)拋物線的定義求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求得縱坐標(biāo)，由此計(jì)算出三角形的面積 【詳解】依題意拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線的定義可知， ，所以，代入拋物 線方程得 . 所以三角

5、形的面積為 .【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，屬于基 礎(chǔ)題.榫卯是我國(guó)古代工匠極為精巧的發(fā)明，廣泛用于建筑 . 榫卯是在兩個(gè)構(gòu)件上采用凹凸部位相 結(jié)合的一種連接方式 . 榫卯結(jié)構(gòu)中凸出的部分叫榫（或叫榫頭） . 已知某“榫頭”的三視圖如 圖所示，則該“榫頭”的體積是（ ）A. 48 B. 50 C. 54 D. 63 【答案】 C【解析】【分析】 根據(jù)三視圖判斷出原幾何體是有兩個(gè)直棱柱組合而成，畫(huà)出原圖后計(jì)算出它們的體積和 . 【詳解】由三視圖可知，該幾何體是由兩個(gè)直棱柱組合而成，畫(huà)出圖像如下圖所示，故體積 為. 故選 C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖

6、的識(shí)別，考查柱體的體積計(jì)算，考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，屬 于中檔題，難點(diǎn)在畫(huà)出幾何體的直觀圖 .函數(shù)，圖象大致為（）A.B.C. D.【答案】 D【解析】【分析】 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除，由此得出正確選項(xiàng) .【詳解】，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除選項(xiàng)由排除選項(xiàng)由，排除C選項(xiàng)，故本小題選 D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，再將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位后， 得到的函數(shù)的解析式為（ ）A.B.C.D.【答案】 B【解析】【分析】 化簡(jiǎn)后，求得伸縮和平移之后的解析式 .【詳解

7、】依題意，橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的得，再將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位后得，故選 B. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查輔助角公式，考查三角函數(shù)伸縮和平移變換，屬于基礎(chǔ)題 .等差數(shù)列的公差為，若， ，成以為公比的等比數(shù)列，則（ ）A. 2B. 3C. 4 D. 5【答案】 A【解析】【分析】 將，轉(zhuǎn)化為的形式，利用三個(gè)數(shù)成公比為的等比數(shù)列列方程，解方程求得的值 . 【詳解】將，轉(zhuǎn)化為的形式為，由于這三個(gè)數(shù)成以為公比的等比數(shù)列，故，兩式相等化簡(jiǎn)得， 代入得，故選 A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，考查等比數(shù)列的概念，屬于基礎(chǔ)題 .如圖，在長(zhǎng)方體中， ，分別在，上，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）A. 直線與所成

8、的角為當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面平面當(dāng)，為中點(diǎn)時(shí)，D. 當(dāng)，為中點(diǎn)時(shí)，平面【答案】 D【解析】【分析】 根據(jù)線線所稱的角的概念、面面垂直、線線垂直和線面垂直的有關(guān)定理，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分 析，由此判斷出說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng) .【詳解】對(duì)于 A 選項(xiàng)，將平移到如下圖所示，由于四邊形為正方形，故所成角為，也即所成角為，故A選項(xiàng)正確對(duì)于B選項(xiàng)，由于，滿足勾股定理，故，而，故平面，所以平面平面，故B選項(xiàng)正確對(duì)于C選項(xiàng)，由于，故,由此證得平面，故，故C選項(xiàng)正確對(duì)于D選項(xiàng)，雖然， 但是與不垂直，故 D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤綜上所述，本小題選 D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角，考查面面垂直、線線垂直和線面垂直判斷與證 明，屬

9、于中檔題 已知定義在上的奇函數(shù)滿足：當(dāng)及時(shí)，不等式恒成立若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最大值是（ ）A.B.C.D.【答案】 C【解析】【分析】 根據(jù)已知條件判斷出函數(shù)在上為減函數(shù)，化簡(jiǎn)后利用單調(diào)性求得，然后利用基本不等式求得 的最大值 【詳解】由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)及時(shí)，不等式恒成立，故函數(shù)在時(shí)為減函數(shù)， 根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上為減函數(shù) 由得，根據(jù)函數(shù)在上遞減有，即恒成立 當(dāng)時(shí)， 即，此時(shí)為負(fù)數(shù) 當(dāng)時(shí)， 由于， 題目要求的最大值， 所以不妨設(shè)， 由基本不等式得， 構(gòu)造函數(shù)， ， 函數(shù)在兩側(cè)左減右增，在取得極小值也即是最小值為故.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性，考

10、查利用基本不等式和導(dǎo)數(shù)求最值問(wèn)題，屬于難題二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。已知向量，若，貝U.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)向量平行的條件列方程，解方程求得的值 【詳解】由于兩個(gè)向量平行，故，解得 【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量平行的條件，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題設(shè)實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍為 .答案】 【解析】【分析】 畫(huà)出可行域，通過(guò)向下平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置，由此求得目標(biāo)函數(shù)的取值范圍 . 【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，在點(diǎn)處取得最小 值. 所以目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是 .【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性

11、目標(biāo)函數(shù)的取值范圍 . 這種類型題目的主要思路 是：首先根據(jù)題目所給的約束條件，畫(huà)出可行域；其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù)；接 著畫(huà)出基準(zhǔn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)直線；然后通過(guò)平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置；最后求出所 求的最值 . 屬于基礎(chǔ)題 .以雙曲線： 的右焦點(diǎn)為圓心， 半徑為的圓與的一條漸近線相交于， 兩點(diǎn)， 若（為坐標(biāo)原點(diǎn)） 且垂直于軸，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 【答案】【解析】【分析】 根據(jù)垂直于軸求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)圓的半徑列方程，由此求得的值，進(jìn) 而求得雙曲線的方程 . TOC o 1-5 h z 【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線為，由于垂直于軸，故，即設(shè)，由得，解得由,由

12、及，解得故雙曲線方程為【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算，考查圓的幾 何性質(zhì)，屬于中檔題 數(shù)列滿足，（且）若數(shù)列為遞增數(shù)列，數(shù)列為遞減數(shù)列，且，則 .【答案】 4950【解析】【分析】 列舉出數(shù)列的前幾項(xiàng)，找出規(guī)律，然后利用并項(xiàng)求和法以及累加法求得的值【詳解】由于數(shù)列為遞增數(shù)列，數(shù)列為遞減數(shù)列，可求得，故點(diǎn)睛】本小題主要考查遞推數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查并項(xiàng)求和法以及累加法，屬于中 檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。如圖，等腰直角三角

13、形中， ，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且， .（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（ 1 ）利用兩角的正切公式，求得，得到，從而得到.（2）計(jì)算出的長(zhǎng)，求得，的值，由正弦定理求得的長(zhǎng)，再由余弦定理求得的長(zhǎng) .【詳解】解： （ 1 ）由條件及兩角和的正切公式，而，所以，則.（2）由（ 1）知，而在等腰直角三角形中， ，所以，則，進(jìn)而可求得，在中，由正弦定理， ，在中，由余弦定理，【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩角和的正切公式，考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，屬于 中檔題 .1 8.如圖所示，菱形的邊長(zhǎng)為 2，點(diǎn)為中點(diǎn)，現(xiàn)以線段為折痕將菱形折起使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置 且平面平面，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn) .

14、1 ）求證：平面平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1） 利用平行四邊形證得平面，利用三角形的中位線證得平面，由此證得平面平面（ 2 ）先 證得平面，利用等體積法，通過(guò)計(jì)算出三棱錐的體積【詳解】解：（1）菱形中，分別為，的中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，則，又平面，所以平面又點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則，平面，所以平面而點(diǎn)，所以平面平面（2）菱形中，則為正三角形，* *? , 折疊后，又平面平面，平面平面，從而平面在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，所以，而，所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面平行的證明，考查利用等體積法求三棱錐的體積，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題 隨

15、著人民生活水平的日益提高，某小區(qū)居民擁有私家車(chē)的數(shù)量與日俱增由于該小區(qū)建成時(shí)間較早，沒(méi)有配套建造地下停車(chē)場(chǎng)，小區(qū)內(nèi)無(wú)序停放的車(chē)輛造成了交通的擁堵該小區(qū)的物業(yè)公司統(tǒng)計(jì)了近五年小區(qū)登記在冊(cè)的私家車(chē)數(shù)量（累計(jì)值，如124表示2020年小區(qū)登記在冊(cè)的所有車(chē)輛數(shù)，其余意義相同），得到如下數(shù)據(jù)：編號(hào)12345年份20202020202020202020數(shù)量（單位：輛）3495124181216( 1)若私家車(chē)的數(shù)量與年份編號(hào)滿足線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2020年該小區(qū)的私家車(chē)數(shù)量；(2)小區(qū)于 2020 年底完成了基礎(chǔ)設(shè)施改造，劃設(shè)了120 個(gè)停車(chē)位 . 為解決小區(qū)車(chē)輛亂停亂放的問(wèn)題，加

16、強(qiáng)小區(qū)管理，物業(yè)公司決定禁止無(wú)車(chē)位的車(chē)輛進(jìn)入小區(qū) . 由于車(chē)位有限，物業(yè)公司 決定在2020年度采用網(wǎng)絡(luò)競(jìng)拍的方式將車(chē)位對(duì)業(yè)主出租，租期一年，競(jìng)拍方案如下：截至 2020年已登記在冊(cè)的私家車(chē)業(yè)主擁有競(jìng)拍資格；每車(chē)至多申請(qǐng)一個(gè)車(chē)位，由車(chē)主在競(jìng)拍網(wǎng) 站上提出申請(qǐng)并給出自己的報(bào)價(jià)；根據(jù)物價(jià)部門(mén)的規(guī)定，競(jìng)價(jià)不得超過(guò)1200元；申請(qǐng)階段截止后，將所有申請(qǐng)的業(yè)主報(bào)價(jià)自高到低排列，排在前120位的業(yè)主以其報(bào)價(jià)成交；若最后出現(xiàn)并列的報(bào)價(jià)，則以提出申請(qǐng)的時(shí)間在前的業(yè)主成交.為預(yù)測(cè)本次競(jìng)拍的成交最低價(jià)，物業(yè)公司隨機(jī)抽取了有競(jìng)拍資格的 40 位業(yè)主進(jìn)行競(jìng)拍意向的調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了他們的擬報(bào)競(jìng)價(jià)， 得到如下頻率分布直方圖：

17、(i )求所抽取的業(yè)主中有意向競(jìng)拍報(bào)價(jià)不低于1000 元的人數(shù)；(ii )如果所有符合條件的車(chē)主均參與競(jìng)拍，利用樣本估計(jì)總體的思想，請(qǐng)你據(jù)此預(yù)測(cè)至少 需要報(bào)價(jià)多少元才能競(jìng)拍車(chē)位成功？(精確到整數(shù)) .參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，【答案】(1) 310 ( 2) (i ) 12 (ii ) 974【解析】【分析】(1)利用回歸直線方程方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程，令求得預(yù)測(cè)值. (2)(i )根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出不低于的頻率，由此計(jì)算出人數(shù) .(ii )先求得能夠競(jìng)拍成功的比例為，用求得競(jìng)拍成功的最低報(bào)價(jià) .【詳解】解： ( 1 )由表中數(shù)據(jù)，計(jì)

18、算得， ，故所求線性回歸方程為，令，得，所以預(yù)測(cè) 2020 年該小區(qū)的私家車(chē)數(shù)量為 310 輛.（2）（i ）由頻率分布直方圖可知，有意向競(jìng)拍報(bào)價(jià)不低于1000 元的頻率為，共抽取 40 位業(yè)主，則，所以有意向競(jìng)拍報(bào)價(jià)不低于 1000 元的人數(shù)為 12 人 .（ ii ）由題意， 所以競(jìng)價(jià)自高到低排列位于前比例的業(yè)主可以競(jìng)拍成功， 結(jié)合頻率分布直方圖，預(yù)測(cè)競(jìng)拍成功的最低報(bào)價(jià)為 元.【點(diǎn)睛】本小題主要考查回歸直線方程的計(jì)算，考查頻率分布直方圖的有關(guān)計(jì)算，屬于中檔 題.已知，為橢圓：的上下頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率分別為，且 .（ 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 2）過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線與直

19、線相交于點(diǎn)，求在第一象限時(shí)，面積的最小值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】 （1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合，求得的值，再利用及，解得的值，由此 求得橢圓方程 . （2）設(shè)出切線方程，聯(lián)立切線方程和橢圓方程，利用判別式等于零得到，并 由此求得切點(diǎn)的坐標(biāo) . 聯(lián)立切線方程和，求得點(diǎn)的坐標(biāo) . 求出與直線交點(diǎn)的坐標(biāo) . 求出的表達(dá) 式，由此求得三角形面積的最小值 .【詳解】解： （1）設(shè)，因?yàn)椋裕?，所以， 又，所以， 所以， 又，所以， 所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 .（2）設(shè)，切線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，由，得，易知， 即.聯(lián)立，可得，設(shè)與直線交與點(diǎn)，所以，所以而，恰為與點(diǎn)連

20、線的斜率，要使面積最小，只需要切線過(guò)點(diǎn)即可，因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以?，所以， 所以面積的最小值為 1.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的 三角形面積的最值問(wèn)題，綜合性很強(qiáng)，屬于難題 .已知函數(shù) .（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（ 2）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（ 1）見(jiàn)解析（ 2）【解析】【分析】（1）先求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后對(duì)分成兩類，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）由（ 1）可知，當(dāng)時(shí)，至多 1 個(gè)零點(diǎn)，故不滿足條件；當(dāng)時(shí)，求得的最小值，將這個(gè)最小值分為非負(fù)數(shù)或者正數(shù)兩 種情況，結(jié)合單調(diào)性，討論函數(shù)的零點(diǎn)情況，由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍

21、 .【詳解】解： （ 1）由條件可知，函數(shù)的定義域是 .由可得 .當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，不存在單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，若，則；若，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 .綜上可知：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為 .（2）由（ 1）可知，當(dāng)時(shí)，至多 1 個(gè)零點(diǎn)，故不滿足條件； 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 .所以，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)至多 1個(gè)零點(diǎn)，故不滿足條件； 當(dāng)，即，即，又因?yàn)椋裕?又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增， 所以在上有且只有 1 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減， 所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)， 此時(shí)函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) .綜上可知， .【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)求解已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè) 數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方 法，綜合性很強(qiáng)，屬于難題 .在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（