高三數(shù)學簡單幾何體習題精選精講

1、簡單幾何體（1）棱柱最常見的多面體空間直線與平面的只研究位置關系，沒有大小和形狀的研究；而具體的幾何體除位置關系外，還有大小和形狀的區(qū)別.幾何體按形狀分兩大類：一是由平面圍成的多面體，如正方體；二是由曲面圍成的旋轉(zhuǎn)體，如球棱柱是常見的多面體，它有兩個本質(zhì)屬性：有兩個面（底面）互相平行；其余各面（側(cè)面）每相鄰兩個面的公共邊（側(cè)棱）都互相 平行.棱柱在高考中是?？嫉囊环N載體，除考查空間線面關系（空間角和距離）外，還有面積、體積計算問題的考查【例1】如圖，在直三棱柱 ABC A1B1cl中，AB=BC, D、E分別為BBi、ACi的中點.（I ）證明：ED為異面直線BBi與ACi的公垂線；（口）設

2、AA1=AC=2AB,求二面角 A1一 AD C/勺大小.【解析1】（I）設O為AC中點，連接EO, BO,1則 EO2C1C,又 C1C&B1B,所以 EO&DB,EOBD為平行四邊形，ED / OB. AB=BC, BOXAC,又平面 ABC,平面 ACC1A1, BO U面ABC,故BOL平面ACC1A3：ED，平面 ACC1A儲 BDXAC EDXCC EDXBB1, ED為異面直線 AC1與BB1的公垂線.（口）連接AE,由AA1 = AC= q2AB可知,A1ACC1為正方形,. . A1EAC1,又由EDL平面ACC1Al和ED才面ADC知平面ADC1,平面 A1ACC1, ：

3、A1E，平面 ADC1.作 EFXAD ,垂足為 F, 面角.A連接Af,則A1FLAD, /A1FE為二面角A1ADC1的平不妨設 AA=2,貝U AC= 2, AB= /2ED = OB = 1, EF = - = 1, ,AD 3，tan/A1FE=m, ：/A1FE = 60 .所以二面角 A1-AD-C160 .【解析2】(I )如圖，建立直角坐標系Oxyz,其中原點O為AC的中點.設 A(a, 0, 0), B(0, b, 0), Bg b, 2c).則 C( a, 0, 0), C1(a, 0, 2c), E(0, 0, c), D(0, b, c).ED = (0, b, 0)

4、, BB1 =(0, 0, 2c).ED BB1 =0, EDXBB1.一又AC(2a, 0, 2c),ED AC = 0, ED AC1,所以ED是異面直線BB1與AC1的公垂線.(II)不妨設 A(1, 0, 0),則 B(0, 1, 0), C(-1, 0, 0), A1(1, 0, 2),BC =(-1, 1, 0) , AB =(-1, 1, 0), AA1 = (0, 0, 2),BC AB =0, BC AA1 =0,即 BCXAB, BCXAA1,又 ABnAA=A,BC,平面 Aad.又 E(0, 0, 1), D(0, 1, 1), C(-1, 0, 1),EC=(T, 0

5、, 1), AE = (-1, 0, 1), ED=(0, 1, 0), EC -AE=0, EC ED =0,即 ECAE, EC ED ,又 AEn ED = E,EC,面 C1AD.cos= JC -Bc =；,即得 EC和 1c的夾角為 60 .|EC| |BC|所以二面角A1 AD 。為60 .(2)棱錐一一最簡單的多面體棱錐是一種簡單的多面體，它有兩個主要特征：有一個形狀是多邊形的底面；其他各面是有一個公共頂點的三角形，這些三角形是 棱錐的側(cè)面.三棱錐是最簡單的棱錐， 也是最簡單的多面體(四面體)，多面體的研究往往歸結到三棱錐來，正像多邊形的研究要歸結到三角形一 樣.三棱錐常成為多

6、面體考題的載體 .故有人說，考多面體說到底是在考三棱錐.【例2】(I)給出兩塊相同的正三角形紙片(如圖 1,圖2),要求用其中一塊剪拼成一個三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖1、圖2中，并作簡要說明；(II )試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小；(III)如果給出的是一塊任意三角形的紙片(如圖3),要求剪橋成一個直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等。請設計一種剪拼方法，用虛線標示在圖3中，并作簡要說明?！窘馕觥拷?I)如圖1,沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個正三棱錐.如圖2,正三角形三

7、個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的 起，可成一個缺上底的正三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱錐的上底.1-,有一組對角為直角，余下部分按虛線折4(II)依上面剪拼方法，有 V柱V錐.推理如下：設給出正三角形紙片的邊長為 2,那么，正三棱錐與正三棱柱的底面都是邊長為1的正三角形，其面積為現(xiàn)在計算它們的高: TOC o 1-5 h z 13h 柱=tg300 =26一 1、33.633 -2.2錐=(%主1錐)，=(-) = 03469424所以V柱AV錐.(III)如圖3,分別連結三角形的內(nèi)心與各頂點，得三條線段，再以這三條線段的中點為頂點作三角形.以

8、新作的三角形為直棱柱的底 面，過新三角形的三個頂點向原三角形三邊作垂線，沿六條垂線剪下三個四邊形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虛線折起，成 為一個缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱.（3）球一一與正多面體相關與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系并作出合適的截面圖.球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑的對角線等于球的直徑，球與多面體的組合體，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出一個截面圖.【例3】 甲球內(nèi)切于某個正方體的各個面，乙球內(nèi)切于該正方

9、體的各條棱，丙球外接于該正方體，則三球表面積之比為.【解析】 由正方體與球的對稱性，球心一定和正方體的中心重合，畫出適當?shù)那虻拇髨A，可得正方體的棱長和各球半徑的關系 設正方體的棱長為a.如圖（1）所示，正方體的內(nèi)切球與正方體的六個面有六個公共點,點的位置分別在六個正方形的中心，經(jīng)過四個切點的軸截面是正方體的截面ABCD的內(nèi)切圓.a22r1 = ,Si = 4nr1 = aa2經(jīng)過四個切點的球的軸截面（大圓）是正方形ABCD的外接圓.222 上= a,S? = 4 n2 = 2 na2ABCD勺外接圓.如圖（3）所示，正方體的各個頂點在球面上，球的一個大圓是矩形32, ,3 =a,S3 = 3，

10、；a2由上可知，S1 : S2 ：S3 =1:2:3.【點評】 （1）兩個幾何體相接是一個幾何體的所有頂點（包括某一面周線上所在點或一個面的所有點）都在另一個幾何體的表 面上；（2）兩個幾何體相切是指一個幾何體的各面與另一個幾何體的各面相切，解決幾何體相切或相接問題，常常利用截面來暴露這兩 個幾何體之間的相互關系，從而使空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決 通法特法妙法（1）三角形法一一重要元素集中地在立體幾何中，要善于把長度和角度放到三角形中去解決.正三棱錐中的兩個重要直角三角形：一個是高、斜高、邊心距組成的直角三角形；另一個是高、側(cè)棱、底面半徑組成的直角三角形.幾乎正棱錐中所有重要的量都在這兩個直

11、角三角形中【題11 棱錐P ABCD的底面是正方形，側(cè)面 PAB, PAD都垂直于底面，另兩側(cè)面與底面成45角，M, N分別為BC, CD的中點，最長的側(cè)棱為15 cm.求：（1）棱錐的高；（2）底面中心O到平面PMN的距離.【解析】如圖所示.(1)設高為h,由平面PAB,平面PAD都垂直于底面，得 PAL底面AC.又/ PBA=45 ,PA=AB=h,AC= . 2 h .由 PA2+AC2=PC2及 PC= 15,得 h=5 , 3 (cm );(2) v BD AC,BDPA, BD,平面 FAC.又 MN / BD,.-. MN，平面 FAQ ,;平面PAQ,平面PMN.作OH，PQ于

12、H,則OH之長即為所求.作 AGLPQ 于 G.在 RtPAQ 中，AQ= - AC =3 h,44PQ= . PA2 AQ2 =34 h.AG= PAQ 3 h PQ 17再由0H =QO=1,得 AG QA 31 - OH=-AG 3,.17 ,5,51(cm).=h =1717【點評】 由于在棱錐中，隨處可以找到解題必需的三角形，因此平面幾何知識和解三角形的知識往往成為正確解題的關鍵(2)截面法一一空間圖形的平面特寫解決球與多面體的組合問題，重要的是選好截面圖，在截面中對尋找各量之間的關系，從而使空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決【題2】一個圓錐形漏斗口的內(nèi)周長為8% cm.漏斗深9.6cm,

13、將一個球放進漏斗里，球的最高點比漏斗口所在平面高出2.4cm,求球的體積.【解析】作共同的軸截面圖(如圖)，得等腰 PAB和圓0,球的最高點C,球心0和圓錐頂點P三點共線，D=ABHPC,依題設：8 二PD=9.6,CD=2.4,AD= =4 .2 二過C作A1B1/AB與PA、PB的延長線分別交于點 A1、B1,則A1B1與圓0相切于C.且有 AC JCJ2 =1.25.AD PD 9.6AC=1.25AD=5.PA1= . A1C2 PC2 =13.記PA1與圓0的切點為E,則A1C=A1E,且 PE0A PCA1,/曰 PE 0E得 一 =,PE=PA1-A1E=13-5=8,PCA1C

14、0E=PE A1C 二下,PC 3即得球半徑R=旭所以它的體積為V J職3 =迎(cm3). 3381【點評】 作出圓錐與球共同的軸截面，則圓錐與球的重要幾何量與幾何關系都在這一平面圖形上充分展現(xiàn)出來了，通過對此平面 圖形的分析，即可求出球半徑，從而求得球體積(3)投影法 幾何體的二視圖要作出空間物體在投影面上的投影，其實質(zhì)就是通過物體上的點、線、面作出一系列的投影線與投影面的交點，并根據(jù)物體上的線、面關系，對交點進行恰當?shù)倪B線 .底邊長為8,高為4為8和6的矩形，正 高為h2的等腰三角【題3】已知某幾何體的俯視圖是如圖 5所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個 的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視

15、圖)是一個底邊長為6,高為4的等腰三角形.(1)求該幾何體的體積 V ；(2)求該幾何體的側(cè)面積 S .【解析】 由題設可知，幾何體是一個高為4的四棱錐，其底面是長、寬分別側(cè)面及其相對側(cè)面均為邊長為 8,高為hi的等腰三角形，左、右側(cè)面均為底邊長為形.1幾何體的體積為： V =3M(8父6 )X4 =64(2)正側(cè)面及相對側(cè)面底面邊上的高為：h1 =v42 +32 =5 ,左、右側(cè)面的底邊上的高為：h2 = , 42 42 =4 2故幾何體的側(cè)面積為：1- 1S =2(- 6 4 .2 - 8 5) =40 24、222(4)換底法一一求三棱錐體積的妙法三棱錐是最簡單的棱錐，它的每個頂點都可以

16、作為頂點，每個面都可以作為棱錐的底面，但無論如何換底面和錐頂，棱錐的體積 不變.【題 4】 如圖，PCBM 是直角梯形，/ PCB =90 , PM / BC , PM =1, BC =2,又 AC =1, / ACB =120 , AB ，PC ,直線AM與直線PC所成的角為60。.(I)求證：平面 PAC，平面ABC ;(口)求二面角 M -AC B的大小； (皿)求三棱錐PMAC的體積. 【解析】 解法一：B(D PC _ AB, PC _ BC, AB。BC = B平面PAC 1平面ABC(口)取BC的中點N，則CN = 1 ,連結AN ,MN ,PM CN , MN /PC ,從而

17、MN 面 ABC作NH _L AC ,交AC的延長線于H ,連結MH ,則由三垂線定理知，AC _L NH ,從而/MHN為二面角M _ACB的平面角直線AM與直線PC所成的角為600.AMN =60在ACN中，由余弦定理得AN 二. AC2 CN2 -2AC CN cos1200 ”3中,MN=ANcot. AMN = 3 立=13在CNH中,NH=CN-33sin . NCH =1 =中,MNMN= tan.dMHN =NH-322,33故二面角M -AC B的平面角大小為arctan2J3(皿)由(口)知，PCMN為正方形VP JMAC =VA_PCM =VAJMNC =VM4CN1 1

18、AC CN sin120 MN =蟲3 212有相當高線BD(11)正四面體與正方體在實踐中，正方體是最常見的多面體；在理論上，所有的多面體都可看作是由正方體演變而來我們認定了正方體是多面體的 根基”.我們在思考：(1)正方體如何演變出正四面體？(2)正方體如何演變出正八面體？(3)正方體如何演變出正三棱錐？(4)正方體如何演變出斜三棱錐？【考題1】(正四面體化作正方體解)四面體的所有棱長都為 2,四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為()A.3 無B.4 無0.3% V3D.6 無【說明】本題如果就正四面體解正四面體，則問題就不是一個小題目了，而是計算量的大題.此時的解法也就淪為拙解.【拙解】 正四面體棱長為 炎 二 底面ABC是邊長為 J2的