高中數學新教材變式題13概率與統計

1、十三、概率與統計變式題(命題人：廣州市第三中學劉窗洲)審校人張志紅1 .(人教A版選修2-3第66頁例4)某射手每次射擊擊中目標的概率是0.8,求這名射手在 10次射擊中，(1)恰有8次擊中目標的概率；(2)至少有8次擊中目標的概率？變式1:某人參加一次考試，4道題中解對3道則為及格，已知他的解題正確率為0.4,則他能及格的概率為 . 33【解析】：他能及格則要解對4道題中解對3道或4道：解對3道的概率為：P(A)=C：0.43 .0.6,解對4道的概率為：P(B) =C：0.44 ,且A與B互斥，他能及格的概率為P(A + B)=C：0.43 0.6 +C：0.44.變式2:設甲、已、丙三人

2、每次射擊命中目標的概率分別為0.7、0.6和0.5。(1)三人各向目標射擊一次，求至少有一人命中目標的概率及恰有兩人命中目標的概率；(2)若甲單獨向目標射擊三次，求他恰好命中兩次的概率.【解析】(I)設Ak表示“第k人命中目標，k=1, 2, 3.這里，A, X,備獨立，且 P (A) =0.7 , P (A) =0.6 , P (備)=0.5.從而，至少有一人命中目標的概率為1-P(A A2 A) =1-P(A)P(A2)P(A0 =1 -0.3 0.4 0.5=0.94恰有兩人命中目標的概率為P(A a A A A2 A A A A = P(A A A3) P(A A A) P(A A A

3、) = P(A)P(A2)P(A3) P(A)P(3)P(A) p(A)p(一)p(A3) = 0.7 0.6 0.5 0.7 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 =0.44答：至少有一人命中目標的概率為0.94 ,恰有兩人命中目標的概率為0.44 .(II )設甲每次射擊為一次試驗，從而該問題構成三次重復獨立試驗.又已知在每次試驗中事件“命中目標”發(fā)生的概率為0.7 ,故所求概率為P3(2) =C；(0.7)2(0.3) =0.441.答：他恰好命中兩次的概率為0.441.變式3:在2004年雅典奧運會中，中國女排與俄羅斯女排以“五局三勝”制進行決賽，根據以往3戰(zhàn)況，中國女排在每一局贏的

4、概率為3,已知比賽中，俄羅斯女排先勝了每一局，求：5(1)中國女排在這種情況下取勝的概率；(2)求本場比賽只打四局就結束的概率.(均用分數作答)【解析】(1)中國女排取勝的情況有兩種，第一種是中國女排連勝三局，第二種是在第2局到第4局，中國女排贏了兩局，第5局中國女排贏，中國女排取勝的概率為(3)3 C .島2 2 3 = 297555 5625(2)c2 (|)253 (3)3上55125變式4: 一個質地不均勻的硬幣拋擲 5次，正面向上恰為1次的可能性不為0,而且與正面向上恰為2次的概率相同.令既約分數 -為硬幣在5次拋擲中有3次正面向上的概率，求i + j .【解析】設正面向上的概率為P

5、,依題意:C；P(1p4 =C；P2(1 p3,1-P=2P,一r1解得：P1-,3硬幣在5次拋擲中有3次正面向上的概率為C3P31-P2 ; C；402432 .(人教A版選修2-3第77頁例4)隨機拋擲一枚質地均勻的骰子，求向上一面的點數X的均值、方差和標準差。變式1:設某射手每次射擊打中目標的概率為0.8,現在連續(xù)射擊4次， 求擊中目標的次數E的概率分布.【解析】擊中目標的次數 E可能為0, 1,2, 3, 4。當 E =0 時，P仁=0)=C：0.24,當 E =1 時，P(f =1)=C40.81 0.23,當 E =2 時，P( =2 )=C：0.82 0.22,當七二3 時,P仁

6、=3)=C：0.83 Q21 ,當 E =4 時，P=4 )=C：0.84,所以E的分布列為:01234PC：0.24C40.81 .0.23Cj0.82 0.22C：0.83 0.21C：0.84變式2:袋中有1 2個大小規(guī)格相同的球，其中含有2個紅球，從中任取3個球，求取出的3個球中紅球個數E的概率分布.【解析】E的所有可能的取值為：0, 1,2.C3當 E=0 時，P仁=0)=Y， C；2C1C2當E=1時，PK=1)=竺 C32當E =2時,012PC3C10C3C12C2 c120C；C；0c；2C12120 90 10 =1 .2203 1 2 2 1評述：工+竺也+5_學 3 3

7、 3C12C12C12變式3:從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量 J表示所選3人中女生的人數(1)求的分布列;(2)求的數學期望;(3)求“所選3人中女生人數 工W1 ”的概率. TOC o 1-5 h z k3 _k【解析】（1） t可能取的值為0, 1, 2。p（C = k）= 2 4 ,k=0, 1, 2.6所以，E的分布列為012P153515 TOC o 1-5 h z 131.(2)由(1), U的數學期望為旨=0父1+1父+2父=1 555(3)由(1), “所選3人中女生人數1 W1”的概率為P( 1) = P(U =0) + P(t =1)=-. 5變式4

8、:甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的 6題,乙能答對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出 3題進行測試，至少答對 2題才算合 格.(I )求甲答對試題數 E的概率分布及數學期望； (n)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率【解析】(I )依題意，甲答對試題數 E的概率分布如下：0123P1311301026甲答對試題數E的數學期望EE =0X +1 X +2X 1+3X - =9.301026 5(n)設甲、乙兩人考試合格的事件分別為a、B,則P(A尸213C6C4 + C6 =60 + 20 = 2據-120 13P(B尸C；C；十C； =56

9、+ 56=14C- 120 -15因為事件A B相互獨立，方法一：，甲、乙兩人考試均不合格的概率為 TOC o 1-5 h z 2141P( A B)=P( A)P( B )=1 -)(1 尸一.31545144.,甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為p=1P( A,B)=1 ，= 44 .45 4544答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為 竺.45方法二：，甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為P=P(A- B )+P( A - B)+P(A - B)=P(A)P( B )+P( A)P(B)+P(A)P(B)=2x1+1x 紀+2x 幺色4445315 315 315 45答：甲、乙兩人

10、至少有一人考試合格的概率為3.(人教A版選修2-3第86頁B組2)若 X - N(5,1),求 P(6 X 7) o變式1:隨機變量E服從正態(tài)分布 N (0, 1),如果P ( 1) =0.8413,求P ( 130). 【解析】: EN (0, 1),P ( 130) =P (05) =1 - P (x5) =1 P (x$ =1 -F (5) =1 (5-6)2=17 (0.5)=(0.5) =0.6915.相比之下，利潤超過5萬元”的概率以第一個方案為好，可選第一個方案變式3：在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態(tài)分布N(70,100).已知成績在90分以上(含90分

11、)的學生有12名.(I)試問此次參賽的學生總數約為多少人？(n)若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設獎的分數線約為多少分？可供查閱的(部分)標準正態(tài)分布表6(x0 )= P(x 90)=1 P (上 90) = 1 F(90)=1()=1(2)= 1 -0.9772=0.228.10這說明成績在90分以上(含90分)的學生人數約占全體參賽人數的2.28%,因此， 12參賽總人數約為 526 (人).0.0228(n)假定設獎的分數線為x分，則,x -70.50P(一次)=1 P (一 x) = 1 F(x) = 1 9 () = 0.0951,10526一 x -70. . 一 x

12、 70即6()=0.9049,查表得 =1.3,解得 x= 83.1.1010故設獎得分數線約為83.1分.4.(人教A版選修2-3第100頁例2)一只紅鈴蟲白產卵數y和溫度 x有關，現收集了 7組觀測數據列于表中，試建立 y與X之間的回歸方程。溫度x/0C21232527293235產卵數y/個711212466115325變式1:為了對2006年佛山市中考成績進行分析，在60分以上的全體同學中隨機抽出8位，他們的數學(已折算為百分制)、物理、化學分數對應如下表，學生編號12345678數學分數x6065707580859095物理分數y7277808488909395化學分數z677276

13、8084879092(1)若規(guī)定85分(包才85分)以上為優(yōu)秀，求這8位同學中數學和物理分數均為優(yōu)秀的概率；(2)用變量y與x、z與x的相關系數說明物理與數學、化學與數學的相關程度； TOC o 1-5 h z (3)求y與x、z與x的線性回歸方程(系數精確到 0.01),并用相關指數比較所求回歸模型 的效果. 88 HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 參考數據：x = 77,5 , y =85 , Z =81 , 2 優(yōu) 一x )2 % 1050 , Z (yi - y )2 牝 456 , i 1i 18888v (Zi -Z )2550,

14、x (xi -x )(yi - y ) - 688, x % - x )(乙Z ) : 755,(yi -？)2 7 , HYPERLINK l bookmark44 o Current Document i 1i 1i =1i =18” (zi -？)2 ： 94,1050 ： 32.4, 456 : 21.4, . 550 ： 23.5.i 1解答：(1)由表中可以看出，所選出的8位同學中，數學和物理分數均為優(yōu)秀的人數是3人，其概率是3.8(2)變量y與x、z與x的相關系數分別是688.755八r=定0.99、 r=% 0.99 . 5 分32.4 21.432.4 23.5可以看出，物理與數學、化學與數學的成績都是高度正相關. 6分(3)設y與x、z與x的線性回歸方程分別是 ？ = bx + a、？ = bx + a.根據所給的數據，可以計算出b =匣 =0.65 ,a =85 0.65* 77.5 =34.63 ,1050