高等數(shù)學(xué)第八章多元微分第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)課件

1、 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的 鏈?zhǔn)椒▌t第八章 多元函數(shù)微分法 第四節(jié)上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 全微分形式不變性第1頁，共21頁。一元函數(shù)求導(dǎo)：微分：回顧：上頁 下頁 返回 結(jié)束 的復(fù)合函數(shù)第2頁，共21頁。一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理. 若續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)證略（利用全增量公式）的導(dǎo)數(shù)為上頁 下頁 返回 結(jié)束 有連 可導(dǎo), 注求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，只要對每一個(gè)中間變量施行一元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，再相加即可.搞清楚函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.重要的是1. 全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù)(中間變量為一元函數(shù))第3頁，共21頁。推廣設(shè)2.中間變量是多元函數(shù)上頁 下頁 返回 結(jié)束 而則第4頁，共21頁。 1. 復(fù)

2、合后的函數(shù)有幾個(gè)自變量，對應(yīng)地就有幾個(gè)偏導(dǎo)數(shù); 2. 有幾個(gè)中間變量，就有幾項(xiàng)相加; 3. 相加的每一項(xiàng)都是復(fù)合函數(shù)對某一中間變量的偏導(dǎo)數(shù)和該中間變量對特定自變量的偏導(dǎo)數(shù)的乘積; 4. 中間變量或自變量只有一個(gè)時(shí)，公式中的求導(dǎo)記號用，不止一個(gè)時(shí)用偏導(dǎo)數(shù)記號上頁 下頁 返回 結(jié)束 上述求導(dǎo)規(guī)則稱為多元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t.具有如下特點(diǎn):第5頁，共21頁。特例1.注這里表示固定 y 對 x 求導(dǎo),表示固定 v 對 x 求導(dǎo)與不同:上頁 下頁 返回 結(jié)束 特例2.第6頁，共21頁。例1. 設(shè)解上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁，共21頁。例2.解，求全導(dǎo)數(shù)設(shè)思考其他方法上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁，共2

3、1頁。例3.解(利用全導(dǎo)數(shù))求導(dǎo)數(shù)設(shè)上頁 下頁 返回 結(jié)束 引入中間變量則第9頁，共21頁。例4. 設(shè) 解設(shè)則上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁，共21頁。為簡便起見 , 引入記號例5. 設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解 令則上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁，共21頁。例6.，求一階偏導(dǎo)數(shù)和解上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁，共21頁。二、全微分形式的不變性的全微可見無論 u , v 是自變量還是中間變量, 則復(fù)合函數(shù)其全微分的表達(dá)形式都一樣, 這一性質(zhì)稱為全微分形式的不變性.設(shè)函數(shù)若u、v為自變量，則若 u、v為中間變量:證 分為上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁，共21頁。證明：上頁 下頁 返

4、回 結(jié)束 第14頁，共21頁。例1 .例7.利用全微分形式不變性再解解所以上頁 下頁 返回 結(jié)束 例1.第15頁，共21頁。內(nèi)容小結(jié)1.多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t例如,2.全微分形式不變性不論 u , v 是自變量還是因變量,上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁，共21頁。思考與練習(xí)解答提示:P31 習(xí)題7課本P31 習(xí)題7; 8(2); P73 習(xí)題11上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁，共21頁。P31 題8(2)上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁，共21頁。 作 業(yè) P51 18; 19; 20; 22; 23; 24; 25(2,4); 26; 27(1,3) P73 題 11上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁，共21頁。備用題1. 已知求解 由兩邊對 x 求導(dǎo), 得上頁 下頁