第一類曲線積分課件

1、第一節(jié) 第一類曲線積分第1頁(yè)，共31頁(yè)。一、曲線積分的概念本章要點(diǎn)二、第一類曲線積分的計(jì)算方法第2頁(yè)，共31頁(yè)。 1.柱面的面積一、第一類曲線積分的概念 設(shè) 是一張母線平行于 軸，準(zhǔn)線為 平面上曲線的柱面的一部分，高度為求曲面的面積. 分析 若 是常量，則曲面面積為曲線的長(zhǎng)度與 之積. 即:第3頁(yè)，共31頁(yè)。由此得到曲面面積的近似值其中: s為曲線的弧長(zhǎng). 若 不是常量，則考慮用分割的方法求之. 在曲線L上插入 個(gè)分點(diǎn) 在小弧段 上取點(diǎn) 并用 作為相應(yīng)小柱面的高度，從而得到小柱面的面積的近似值第4頁(yè)，共31頁(yè)。即，曲面的面積可以表達(dá)為一個(gè)和式的極限.以 表示 個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度，在上式取 時(shí)的

2、極限，則有第5頁(yè)，共31頁(yè)。 2.曲線型構(gòu)件的質(zhì)量 設(shè)一曲線型構(gòu)件，在 平面上為曲線 密度函數(shù)為 求此曲線構(gòu)件的質(zhì)量. 分析 如果 為常數(shù)，則質(zhì)量為密度與弧長(zhǎng)之積，即:若 為變量，仍然考慮分割：在曲線上插入 個(gè)分點(diǎn)在小弧段 上取點(diǎn)第6頁(yè)，共31頁(yè)。由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:以 表示 個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度，在上式取 時(shí)的極限，則有第7頁(yè)，共31頁(yè)。 3.曲線積分的定義定義 設(shè) 是 平面內(nèi)以 為端點(diǎn)的光滑曲線，函數(shù) 在 上有界. 在 上任意插入一個(gè)點(diǎn)列把 分成 個(gè)小段，設(shè)第 個(gè)小段的弧長(zhǎng)為在上任取一點(diǎn) 作和第8頁(yè)，共31頁(yè)。即：記 如果當(dāng) 時(shí)，和式的極限存在，則稱此極限

3、為數(shù)量值函數(shù) 在曲線 上的積分，記作第9頁(yè)，共31頁(yè)。注：1.此類曲線積分又稱為第一類曲線積分或?qū)￠L(zhǎng)的曲線積分:4.由前面的討論，可以看到柱面的面積可以由下面的計(jì)算公式得到2.如果 是 上的連續(xù)函數(shù)，則曲線積分一定存在；3.若 是閉曲線，則曲線積分一般表示為第10頁(yè)，共31頁(yè)。而曲線型構(gòu)件的質(zhì)量為5.由曲線積分的定義，不難得到如下的兩個(gè)性質(zhì): 有第11頁(yè)，共31頁(yè)。若曲線弧 由曲線弧 和 連接而成的，則 由此得到，若 是分段光滑曲線， 在 上連續(xù)，則曲線積分存在.第12頁(yè)，共31頁(yè)。二、第一類曲線積分的計(jì)算方法 設(shè)平面光滑曲線弧 由參數(shù)方程給出，函數(shù) 在 上連續(xù)，則第13頁(yè)，共31頁(yè)。 下面

4、給出公式推導(dǎo)過(guò)程:該點(diǎn)列對(duì)應(yīng)于一列單調(diào)遞增的參數(shù)值由第一類曲線積分的定義 設(shè)參數(shù) 由 變至 時(shí)， 上的點(diǎn) 依點(diǎn) 到點(diǎn)在 上從 到 取點(diǎn)列第14頁(yè)，共31頁(yè)。由積分中值定理，得其中， 因取 則第15頁(yè)，共31頁(yè)。而等式中的最后一式為函數(shù)在區(qū)間 上的定積分. 而由于被積函數(shù)連續(xù)，故第16頁(yè)，共31頁(yè)。積分存在，因而特別地，若曲線由方程給出，則相應(yīng)的曲線積分為第17頁(yè)，共31頁(yè)。 若曲線由極坐標(biāo)形式 給出，則代入積分公式(1)，即有第18頁(yè)，共31頁(yè)。若對(duì)空間分段光滑曲線 是曲線上的連續(xù)函數(shù)，則第19頁(yè)，共31頁(yè)。例1 求 其中解 故，由積分公式，得第20頁(yè)，共31頁(yè)。例2 求 其中解 代入相應(yīng)的積分公式，有第21頁(yè)，共31頁(yè)。第22頁(yè)，共31頁(yè)。解 由曲線積分的幾何意義，得 其中 為平面曲線 為錐面方程函數(shù)取 為積分變量，則有例3 求圓柱面 介于平面 和錐面 之間的側(cè)面積第23頁(yè)，共31頁(yè)。將 代入積分表達(dá)式，再由對(duì)稱性，得第24頁(yè)，共31頁(yè)。解 由微元素法，得 ，故例4 求曲線段 繞 軸旋轉(zhuǎn)所得曲面的面積.1第25頁(yè)，共31頁(yè)。例5 設(shè)空間曲線，方程為質(zhì)量密度為 求曲線的質(zhì)量解 由曲線型構(gòu)件的質(zhì)量計(jì)算公式:第26頁(yè)，共31頁(yè)。例6 求心形線 的形心解 由對(duì)稱性，得 ，第27頁(yè)，共31頁(yè)?；￠L(zhǎng)故， 由此得到重心坐標(biāo)： .第28頁(yè)，共31頁(yè)。例7 求 其中 為連 的線段.解 線段的