冪級數(shù)以及其收斂性

1、關(guān)于冪級數(shù)及其收斂性1第一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月21.定義如下形式的函數(shù)項級數(shù)稱為的冪級數(shù),的冪級數(shù).定義稱為冪 級 數(shù)第二張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月32.收斂半徑和收斂域級數(shù)冪 級 數(shù)級數(shù)的收斂域第三張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月4證阿貝爾 (Abel)(挪威) 18021829定理1（阿貝爾第一定理）則它在滿足不等式絕對收斂;發(fā)散.收斂,發(fā)散,如果級數(shù)則它在滿足不等式的一切 x 處如果級數(shù)的一切 x 處從而數(shù)列有界,即有常數(shù) M 0,使得第四張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月5冪 級 數(shù)由 (1) 結(jié)論,這與所設(shè)矛盾.使級數(shù)收斂,則級

2、數(shù)時應(yīng)收斂,但有一點 x1 適合第五張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月6推論也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確冪級數(shù)絕對收斂;冪級數(shù)發(fā)散.冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.冪 級 數(shù)幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域如果冪級數(shù)不是僅在 x = 0 一點收斂,定的正數(shù) R 存在, 它具有下列性質(zhì):第六張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月7正數(shù) R 稱為冪級數(shù)的規(guī)定問:如何求冪級數(shù)的收斂半徑?定義收斂半徑.收斂區(qū)間.冪 級 數(shù)(1) 冪級數(shù)只在 x = 0 處收斂,收斂區(qū)間(2) 冪級數(shù)對一切 x 都收斂,收斂區(qū)間收斂區(qū)間連同收斂端點稱為冪級數(shù)的收斂域.第七張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于

3、2022年6月8證且定理2設(shè)冪級數(shù)的所有系數(shù)冪 級 數(shù)由正項級數(shù)的比值判別法,第八張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月9收斂半徑冪 級 數(shù)絕對收斂;發(fā)散,從而發(fā)散. 比值判別法則第九張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月10冪 級 數(shù)收斂,從而級數(shù)絕對收斂.收斂半徑發(fā)散.收斂半徑則第十張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月11例 求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域:解冪 級 數(shù)第十一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月12收斂. 調(diào)和級數(shù), 發(fā)散.收斂域為解冪 級 數(shù)收斂域收斂半徑第十二張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月13解冪 級 數(shù)第十三張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于

4、2022年6月14級數(shù)為正項級數(shù)因為所以對應(yīng)的數(shù)項級數(shù)也發(fā)散.當(dāng) x = 4 時,故收斂域為冪 級 數(shù)第十四張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月15發(fā)散;收斂.故收斂域為解還有別的方法嗎?(0,1.即亦即時原級數(shù)收斂.冪 級 數(shù)第十五張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月16解是缺偶次冪的冪級數(shù).例 求函數(shù)項級數(shù) 的收斂域.去掉第一項,所以,去掉第一項, 級數(shù)處處收斂.定義域為因為第一項 lnx 的所以, 原級數(shù)的收斂域是冪 級 數(shù)比值判別法第十六張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月17例設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑分別為則冪級數(shù)的收斂半徑為( )分析冪 級 數(shù)第十七張，PPT共四十四頁

5、，創(chuàng)作于2022年6月18討論冪級數(shù) 的收斂域.解此級數(shù)是缺項的冪級數(shù),作變換,令級數(shù)變?yōu)樗氖諗堪霃疆?dāng) y = 3時,級數(shù)為發(fā)散.不滿足定理 2 的條件.冪 級 數(shù)第十八張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月19故 y(0) 的冪級數(shù)收斂域為因此, 原冪級數(shù)收斂域為收斂半徑即冪 級 數(shù)第十九張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月20思考確定函數(shù)項級數(shù) 的收斂域.解對任意固定的x,即用比較審斂法的極限形式:而級數(shù) 是p = x的p 級數(shù),所以, 當(dāng)n充分大時,有發(fā)散.故級數(shù)的收斂域為冪 級 數(shù)收斂.第二十張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月21 解冪 級 數(shù)練習(xí)第二十一張，PPT

6、共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月22冪 級 數(shù)處處收斂.收斂發(fā)散第二十二張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月231. 代數(shù)運算性質(zhì)(1) 加減法冪 級 數(shù)冪級數(shù)的性質(zhì)的收斂半徑各為R1和R2 ,第二十三張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月24(2) 乘法(其中(3) 除法(相除后的收斂區(qū)間可能比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)冪 級 數(shù)第二十四張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月252.和函數(shù)的分析運算性質(zhì)冪 級 數(shù)定理3（阿貝爾第二定理）內(nèi)閉一致收斂證第二十五張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月26則其和函數(shù)的端點處收斂, 則其和函數(shù)在該端點單側(cè)連續(xù).冪 級 數(shù)如果冪級數(shù)

7、在收斂區(qū)間證第二十六張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月27則其和函數(shù)冪 級 數(shù)第二十七張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月28冪 級 數(shù)則其和函數(shù)第二十八張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月29解(1) 求收斂域發(fā)散;收斂.故級數(shù)的求收斂域為例冪 級 數(shù)收斂半徑第二十九張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月30(2) 求和函數(shù)冪 級 數(shù)第三十張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月31或者冪 級 數(shù)第三十一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月32例 求冪級數(shù) 的和函數(shù).解容易知道級數(shù)的收斂域冪 級 數(shù)設(shè)和函數(shù)為 s(x), 即則有第三十二張，PPT共四十四頁，創(chuàng)

8、作于2022年6月33因此,此外, 顯然有綜上,冪 級 數(shù)第三十三張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月34解例冪 級 數(shù)第三十四張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月35逐項求導(dǎo)積分得冪 級 數(shù)第三十五張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月36冪 級 數(shù)第三十六張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月37解容易知道,例冪 級 數(shù)第三十七張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月38練習(xí)求 的收斂域與和函數(shù).提示解令收斂域為當(dāng) 時,收斂,當(dāng) 時,收斂,冪 級 數(shù)第三十八張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月39又設(shè)(逐項求導(dǎo)即可得)和函數(shù)為(逐項求導(dǎo)即可得)設(shè)設(shè)冪 級 數(shù)第三十九張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月40 小結(jié)再對和函數(shù)積分(求導(dǎo)),求出原級數(shù)的和函數(shù).求和函數(shù)的一般過程是:首先找收斂半徑,再利用在收斂區(qū)間上冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)可逐項求導(dǎo)(積分),求得新的冪級數(shù)和函數(shù);最后冪 級 數(shù)第四十張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月41冪 級 數(shù)常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)第四十一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月42冪級數(shù)及其收斂性收斂半徑R冪級數(shù)的運算代數(shù)、分析運算性質(zhì) 函數(shù)項級數(shù)的概念冪 級 數(shù)四、小結(jié)收斂點、收斂域、和函數(shù) 一般求三種類型冪級數(shù)的收斂半徑,注