模糊控制技術(shù)-課件(2)

1、第章模糊邏輯的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.1 模糊集合及其表示方法2.2 模糊語言邏輯及其算子2.3 模糊關(guān)系與模糊邏輯推理2.4 解模糊判決方法2.1 模糊集合及其表示方法2.1.1 經(jīng)典集合 集合可以表達(dá)概念。符合某概念的對象的全體就構(gòu)成此概念的外延，一個概念所包含的那些區(qū)別于其他概念的全體本質(zhì)屬性就是這概念的內(nèi)涵。用集合論的觀點來看，內(nèi)涵是集合的定義，外延就是組成集合的所有元素。一個概念的外延就是一個集合。集合中的個體稱為元素，通常用小寫字母u、v表示； 集合的全體又稱為論域，通常用大寫字母U、V表示； uU，表示元素u在集合論域U內(nèi)。一個集合如果由有限個元素組成，則稱為有限集合，不是有限集合的集合稱

2、為無限集合。集合可以是連續(xù)的，也可以是離散的。 在普通集合中，任何一個元素或個體與任何一個集合之間的關(guān)系只有“屬于”和“不屬于”兩種情況，兩者必居其一，而且只居其一，絕對不允許模棱兩可。例如，“大于100的自然數(shù)”是一個清晰的概念，該概念的內(nèi)涵和外延均是明確的。1. 經(jīng)典集合定義 依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，可以把不同的事物歸于這一類，或不歸于這一類。 集合是具有某種特定屬性的對象的全體。2. 表示方法（1） 列舉法（適用于具有有限元素的集合）。（2） 定義法（適用于具有很多元素而不能一一列舉的集合），用集合中元素的性質(zhì)來描述，例如，所有奇數(shù)的集合A=x|x為奇數(shù)。（3） 特征函數(shù)表示法，利用經(jīng)典

3、集合非此即彼的明晰性來表示，例如某集合A，某元素x，其特征函數(shù)為（2.1） 扎德（L.A.Zadeh）提出一種表示集合的方法。例如，小于10的數(shù)構(gòu)成偶數(shù)集合A，可表示為以上表示方法為列舉法，等號右邊不表示分?jǐn)?shù)之和，各分?jǐn)?shù)的分母表示集合中的元素，其分子表示該元素對于集合A的特征函數(shù)。 2.1.2 模糊集合1. 模糊集合的定義 在現(xiàn)實世界中，有很多事物的分類邊界是不分明的，或者說是難以明確劃分的。比如，將一群人劃分為“高”和“不高”兩類，就不好硬性規(guī)定一個劃分的標(biāo)準(zhǔn)。如果硬性規(guī)定1.80 m以上的人算“高個子”，否則不算，那么兩個本來身高“基本一樣”的人，例如一個身高1.80 m，另一個身高1.7

4、9 m，按照上述劃分個子的規(guī)定，卻被認(rèn)為一個“高”，一個“不高”，這就有悖于常理，因為這兩個人在任何人看來都是“差不多高”。這種概念外延的不確定性稱為模糊性。 由此可見，普通集合在表達(dá)概念方面有它的局限性。普通集合只能表達(dá)“非此即彼”的概念，而不能表達(dá)“亦此亦彼”的現(xiàn)象。為此，美國加州大學(xué)控制專家扎德（L.A.Zadeh）教授創(chuàng)立了模糊集合論，提出用模糊集合來刻畫模糊概念。定義2.1 模糊集合（Fuzzy Sets）：論域U上的模糊集合F是指，對于論域（Universe of Discuss）U中的任意元素uU，都指定了0，1閉區(qū)間中的某個數(shù)F(u)0，1與之對應(yīng)，稱為 u 對 F 的隸屬度（

5、Degree of Membership），通常將模糊集合表示為 。這就定義了一個映射F：FU0，1iF(u)（2.2） 這個映射稱為模糊集合的隸屬函數(shù)（Membership Function）。本書在不混淆的情況下，將模糊集合簡記為F。 上述定義表明，論域U上的模糊集合F由隸屬函數(shù)F(u)來表征，F(xiàn)(u)的取值范圍為閉區(qū)間0，1，F(xiàn)(u)的大小反映了u對于集合F的從屬程度。F(u)的值接近于1，表示u從屬于F的程度很高；F(u)的值接近于0，表示u從屬于F的程度很低?？梢姡：贤耆呻`屬函數(shù)所描述。當(dāng)F(u)的值域為0，1時，F(xiàn)銳化成一個經(jīng)典集合的特征函數(shù)，模糊集合F便銳化成一個經(jīng)典集合

6、。由此不難看出，經(jīng)典集合是模糊集合的特殊形式，模糊集合是經(jīng)典集合的概念推廣。 現(xiàn)在我們以人的年齡為論域，討論“年輕”、“中年”、“老年”這三個模糊集合的劃分情況，分別用模糊集合A、B、C來表示。它們的論域都是1，100，論域中的元素是u，我們規(guī)定模糊集合A、B、C的隸屬函數(shù)A(u)、B(u)、C(u)如圖2.1所示。圖2.1 “年輕”、“中年”、“老年”的隸屬函數(shù)如果u1=30，u1對A的隸屬度A(u1)=0.75，這意味著30歲的人屬于“年輕”的程度是0.75。如果u2=40，u2既屬于A集合又屬于B集合，A(u2)=0.25，B(u2)=0.50，這說明40歲的人已不太年輕，比較接近中年，

7、但屬于中年的程度還不太大，只有0.50。再比如u3=50，B(u3)=1.00，這說明50歲正值中年，但即將走向“老年”。對比普通集合，用閾值來劃分三個年齡段的方法，顯然模糊集合能夠比較準(zhǔn)確、更加真實地描述人們頭腦中的原有概念，而用普通集合來描述模糊性概念反而不準(zhǔn)確、不真實，也可以說是粗糙的。定義2.2 支集（Support）：模糊集合的支集是一個普通集合，它是由論域U中滿足F(u)0的所有u組成的，即S=uU|F(u)0 （2.3）例如，在圖2.1中，模糊集合B（“中年”）的支集是開區(qū)間（35，60）。定義2.3 模糊單點（Singleton）: 如果模糊集合F的支集在論域U上只包含一個點u

8、0，且F(u0)=1，則F就稱為模糊單點，即F=u0U|F(u0)=1 （2.4）模糊單點的隸屬函數(shù)如圖2.2所示，它是位于u0點的一條豎直的線段，線段的高度為1。模糊單點也可以看成是一個普通的集合，它只包含一個點u0。圖2.2 模糊單點的隸屬函數(shù)2. 模糊集合的表示方法（1） 當(dāng)U為離散有限域U=u1，u2，un時，模糊集合F通常有以下三種表示方法。 扎德（Zadeh）表示法：（2.5） 式中的F（ui)/ui不代表分式，表示論域U中元素ui及其隸屬函數(shù)F（ui)之間的對應(yīng)關(guān)系。符號“”也不表示“加法”運算，而是表示模糊集合在論域U上的整體。這是一種列舉表示方法。 向量表示法：當(dāng)模糊集合F的

9、論域由有限個元素構(gòu)成時，模糊集合F可表示成向量形式F =F(u1)，F(xiàn)(u2)，F(xiàn)(un) （2.6） 一般地，若一向量的每個坐標(biāo)都在0，1之中，則稱其為模糊向量。注意：應(yīng)用向量表示時，隸屬度等于零的項不能舍棄，必須依次列入。 序偶表示法: 將論域中元素ui與其隸屬度F（ui)構(gòu)成序偶來表示F,則F=(u1，F(xiàn)(u1)，(u2，F(xiàn)(u2)，(un，F(xiàn)（un) （2.7）例2.1 在論域U=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中討論“小的數(shù)”F這一模糊概念，分別寫出上述三種模糊集合的表達(dá)式。解 根據(jù)經(jīng)驗，可以定量地給出“小的數(shù)”這一模糊概念的隸屬函數(shù)。Zadeh表示法：向量表示法： F =1

10、，0.9，0.7，0.5，0.3，0.1，0，0，0，0偶表示法： F=(1，1)，(2，0.9)，(3，0.7)，(4，0.5)，(5，0.3)， (6，0.1)，(7，0)，(8，0)，(9，0)，(10，0)(2) 當(dāng)論域U為離散無限域時，通常有兩種表示方法。 可數(shù)情況：扎德表示法（2.8） 這里的、僅僅是符號，不是表示求“和”或“積分”記號，而是表示論域U上的元素u與隸屬度F(u)之間的對應(yīng)關(guān)系的總括； F(ui)/ui也不表示“分?jǐn)?shù)”，而表示論域U上u與隸屬度F(u)之間的對應(yīng)關(guān)系。 不可數(shù)情況：扎德表示法(2.9) 式中的符號“”不代表普通積分，而是表示無限多個元素與其隸屬度對應(yīng)關(guān)

11、系的一個總括。(3) 當(dāng)U為連續(xù)無限論域時，模糊集合F表示為例2.2 以年齡為論域，設(shè)U=0，200，扎德給出了 “年輕”Y與“年老”O(jiān)兩個模糊集合的隸屬度函數(shù)：(2.10) (2.11) (2.12) 采用扎德表示法，“年輕”Y與“年老”O(jiān)兩個模糊集合可寫為其隸屬函數(shù)曲線如圖2.3所示。圖2.3 “年輕”與“年老”隸屬函數(shù)曲線2.1.3 模糊集合的隸屬函數(shù)1 確定隸屬函數(shù)的原則隸屬函數(shù)的確定實質(zhì)上是人們對客觀事物中介過渡的定性描述，這種描述本質(zhì)上是客觀的。由于模糊理論研究的對象具有模糊性和經(jīng)驗性，每個人對同一模糊概念的認(rèn)識和理解存在差異，因此，隸屬函數(shù)的確定又含有一定的主觀因素。 盡管確定隸

12、屬函數(shù)的方法帶有主觀因素，但主觀的反映和客觀的存在是有一定聯(lián)系的，是受到客觀制約的。因此，隸屬函數(shù)的確定應(yīng)遵守一些基本原則。定義2.4 凸模糊集合：設(shè)實數(shù)論域中模糊集合A在任意區(qū)間x1，x2上，對所有的實數(shù)xx1，x2都滿足A(x)minA(x1)，A(x2) (2.13)則稱A為凸模糊集合，否則即為非凸模糊集合，參看圖2.4。由此可見，凸模糊集合的隸屬函數(shù)是一個單峰凸函數(shù)。 (1) 隸屬函數(shù)所表示的模糊集合必須是凸模糊集合。下面以主觀性最強(qiáng)的專家經(jīng)驗法為例來確定“舒適”溫度的隸屬函數(shù)。圖2.4 凸模糊集合與非凸模糊集合(a) 凸模糊集合； (b) 非凸模糊集合 某專家根據(jù)他本身的經(jīng)驗對“舒適

13、”溫度的隸屬函數(shù)定義如下：“舒適溫度” 這里隸屬度為1.0的溫度點為20，即在20左右是“舒適”的溫度，越是偏離這個溫度，其隸屬度越小，即舒適的程度越小，這與大多數(shù)人的經(jīng)驗是吻合的。至于30的隸屬度是0.5而不是0.45，也只能說這是經(jīng)驗。但是，這種經(jīng)驗并不意味著可以任意確定，因為可以稱得上專家的經(jīng)驗，那肯定不是一種具有任意性的經(jīng)驗，通常都是指具有相當(dāng)成功把握和代表性的經(jīng)驗。通常，某一模糊概念的隸屬函數(shù)的確定應(yīng)首先從最適合這一模糊概念的點下手，也即確定該模糊概念的最大隸屬函數(shù)中心點或區(qū)域，然后向兩邊延伸。連接各點后經(jīng)過平滑處理的隸屬函數(shù)曲線如圖2.5曲線1或曲線2所示。由圖2.5來看，從隸屬函

14、數(shù)中心點出發(fā)向兩邊延伸時，其隸屬函數(shù)的值必須是單調(diào)遞減的，而不允許有波浪形(如圖2.4(b)所示)，否則會產(chǎn)生明顯不合邏輯的狀態(tài)。圖2.5 隸屬函數(shù)向最大值兩邊延伸的差別圖(2) 變量所取隸屬函數(shù)通常是對稱和平衡的。一般情況下，描述變量的模糊集合安排得越多，模糊控制系統(tǒng)的分辨率就越高，其系統(tǒng)響應(yīng)的結(jié)果就越平滑； 但模糊規(guī)則會明顯增多，計算時間增加，設(shè)計困難加大。如果描述變量的模糊集合安排得太少，則其系統(tǒng)的響應(yīng)可能會太不敏感，并可能無法及時提供輸出控制跟隨小的輸入變化，以使系統(tǒng)的輸出在期望值附近振蕩。實踐表明，一般取39個模糊集合為宜，并且通常取奇數(shù)個，在“零”、“適中”或“正常”集合的兩邊，模

15、糊集合通常是對稱的。(3) 隸屬函數(shù)要遵從語意順序，避免不恰當(dāng)?shù)闹丿B。在相同論域上使用的具有語意順序關(guān)系的若干模糊集合，例如“冷”、涼”、“適中”、“暖”、“熱”等模糊子集其中心值位置必須按這一次序排列，不能違背常識和經(jīng)驗。隸屬函數(shù)由中心值向兩邊模糊延伸的范圍也有一定的限制，間隔的兩個模糊集合的隸屬函數(shù)盡量不重疊。圖2.6中，“涼”和“熱”由“適中”所間隔，但“涼”和“熱”存在著嚴(yán)重的重疊現(xiàn)象。圖2.6 交叉越界的隸屬函數(shù)示意圖(4) 論域中的每個點應(yīng)該至少屬于一個隸屬函數(shù)的區(qū)域，同時，它一般應(yīng)該屬于至多兩個隸屬函數(shù)的區(qū)域。(5) 對同一個點沒有兩個隸屬函數(shù)會同時有最大隸屬度。(6) 當(dāng)兩個隸

16、屬函數(shù)重疊時，重疊部分的任何點的隸屬函數(shù)的和應(yīng)該小于等于1。 為了定性研究隸屬函數(shù)之間的重疊，Motorola公司的Marsh提出重疊率和重疊魯棒性的概念，并用這兩個指數(shù)來描述隸屬函數(shù)的重疊關(guān)系，如圖2.7中模糊集合A1，A2所示。定義如下：圖2.7 重疊指數(shù)的定義（2.14） （2.15） 例2.3 根據(jù)式(2.14)及(2.15)計算圖2.8所示模糊集合的重疊率及重疊魯棒性。圖2.8 隸屬函數(shù)重疊的例子解 圖2.8(a)模糊集合A1與A2無重疊。因此，重疊率等于0； 重疊魯棒性也等于0。 由圖2.8(b)可知，模糊集合A1與A2的重疊范圍為7060=10，附近隸屬函數(shù)的范圍為8050=30

17、。根據(jù)式(2.14)可得重疊率，用表示如下：從L到U的重疊區(qū)間，模糊集合A1， A2隸屬函數(shù)的和。因此，根據(jù)式(2.15)可得重疊魯棒性，用表示如下： 由圖2.8(c)可知，模糊集合A1與A2的重疊范圍為UL=6560=5，A1，A2附近隸屬函數(shù)的范圍為7550=25，因此 從L到U的重疊區(qū)間，模糊集合A1，A2隸屬函數(shù)的和，因此，根據(jù)式(2.15)可得 對于重疊指數(shù)的選擇，一般取重疊率為0.20.6為宜； 重疊魯棒性的值通常比重疊率稍大一點，一般為0.30.7。重疊率和重疊魯棒性越大，模糊控制模塊就更具有模糊性，而低重疊指數(shù)適用于有較大明確相關(guān)性的輸入輸出系統(tǒng)。為了使模糊控制模塊更平滑地操作

18、，應(yīng)該選擇成熟的重疊率和重疊魯棒性，例如，重疊率可取0.33，重疊魯棒性可取0.5。2. 確定隸屬函數(shù)的方法這里介紹幾種常用的確定隸屬函數(shù)的方法。(1) 模糊統(tǒng)計法。模糊統(tǒng)計是指對模糊性事物的可能性程度進(jìn)行統(tǒng)計，其統(tǒng)計結(jié)果即為隸屬度。其基本思想是：對論域U上的一個確定元素u0，考慮n個有模糊集合A屬性的普通集合A *以及元素u0對A *的歸屬次數(shù)。u0對A *的歸屬次數(shù)和n的比值就是元素u0對模糊集合A的隸屬度：(2.16) 式中m表示u0A *的次數(shù)。例如，對于“青年人”這一模糊集合，27歲屬于“青年人”的隸屬度是多少呢？ 對n=129人進(jìn)行調(diào)查，其中101人認(rèn)為27歲完全屬于青年人，因此，

19、27歲屬于“青年人”Y模糊集合的隸屬度是(2) 專家經(jīng)驗法。 這是由專家的實際經(jīng)驗給出模糊信息的處理算式或相應(yīng)權(quán)系數(shù)來確定隸屬函數(shù)的方法。(3) 二元排序法。 這是一種較實用的確定隸屬函數(shù)的方法。它通過對多個事物之間兩兩對比來確定某種特征下的順序，由此來決定這些事物對該特征的隸屬函數(shù)的大致形狀。根據(jù)對比尺度不同，二元對比排序法可分為相對比較法、對比平均法、優(yōu)先關(guān)系排序法和相似優(yōu)先比較法等，這里僅介紹使用方便的相對比較法。 相對比較法設(shè)論域U中的元素為u1，u2，un，要對這些元素按某種特征進(jìn)行排序。首先要在二元對比中建立比較等級，然后再用一定方法進(jìn)行總體排序，以獲得諸元素對于這個特性的隸屬度函

20、數(shù)。用該方法確定隸屬度函數(shù)的具體步驟如下：設(shè)論域U中一對元素(u1，u2)，其具有某特征的等級分別為 和 ，意思就是，在u1和u2的二元對比中，如果u1具有某特征的程度用 來表示，則u2具有該特征的程度表示為 。并且該二元比較級的數(shù)對( ， )必須滿足：01，01令(2.17)即有(2.18)這里u1，u2U。若由g(ui/uj)為元素構(gòu)成矩陣，并設(shè)g(ui/uj)當(dāng)i=j時，取值為1則得到矩陣 G ，被稱為“相及矩陣”，如(2.19)對于n個元素u1，u2，un，也按同理可以得到 G 矩陣，表示式為(2.20) 若對相及矩陣 G 的每一行取最小值，如第i行取值gi=ming(ui/u1),

21、g(ui/u2), , g(ui/ui-1), 1, g(ui/ui+1), , g(ui/un)然后按其值gi(i=1，2，n)大小排序，即可得到元素u1，u2， ，un對某特征的隸屬函數(shù)。例2.4 論域C=(c1，c2，c3，c0)，其元素c0代表某名牌產(chǎn)品，而c1，c2，c3則代表同類產(chǎn)品，若考慮這些同類產(chǎn)品與名牌產(chǎn)品相似這一模糊概念，可以用對比排序法來確定c1，c2，c3相似于c0的隸屬度函數(shù)。解 首先對每兩個元素建立比較等級。c1和c2相比較，對c0的相似度分別為0.8和0.5；c2和c3相比較，對c0的相似度分別為0.6和0.9； c1和c3相比較，對c0的相似度分別為0.7和0.

22、3。這樣c1，c2和c3兩兩對比的相似度為將上述數(shù)據(jù)列入表2.1。表2.1 相似程度 按照式(2.17)和式(2.18)計算相及矩陣 G 的元素g(ci/cj)則有： 當(dāng)i=j=1，2，3時g(ci/cj)=1當(dāng)i=1，j=2，3時g(c1/c2)=0.8/max(0.8，0.5)=1，g(c1/c3)=0.7/max(0.7，0.3)=1當(dāng)i=2，j=1，3時g(c2/c1)=0.5/max(0.8, 0.5)=0.625, g(c2/c3) =0.6/max(0.6, 0.9)=0.667當(dāng)i=3，j=1，2時g(c3/c1)=0.3/max(0.3, 0.7)=0.429, g(c3/c

23、2)=0.9/max(0.6, 0.9)=1構(gòu)成相及矩陣 G ，對每行元素取最小值，得到 按大小排序10.6250.429。得到結(jié)果是c1最相似于c0(隸屬度為1)，c2次之(隸屬度為0.625)，c3差別最大(隸屬度為0.429)。 由上例可知：要求人們同時比較C論域中所有元素，并直接給出每個元素對某一模糊概念的隸屬函數(shù)往往是相當(dāng)困難的，因為這要考慮到諸多因素。如果對C論域中所有元素兩兩進(jìn)行比較，則能較容易而又客觀地比較出兩者中究竟哪一個對于同一模糊概念的隸屬度高。因此，對比排序法亦稱為“二元對比法”。(4) 典型函數(shù)法。根據(jù)問題的性質(zhì)，應(yīng)用一定的分析與推理，選用某些典型函數(shù)作為隸屬函數(shù)，如

24、三角形函數(shù)、梯形函數(shù)等。3. 常用隸屬函數(shù)的圖形如果按定義，模糊集合的隸屬函數(shù)可取無窮多個值，這在實際使用中是難以確定的，所以一般可進(jìn)行如下簡化：把最大適合區(qū)間的隸屬度定為1.0，中等適合區(qū)間的隸屬度定為0.5，較小適合區(qū)間的隸屬度定為0.25，最小隸屬度(即不隸屬)為0.0。再對一些常用的基本隸屬函數(shù)圖形進(jìn)行定義?；镜碾`屬函數(shù)圖形可分為三類：左大右小的偏小型下降函數(shù)(通常稱做Z函數(shù))、右大左小的偏大型上升函數(shù)(通常稱做S函數(shù))和對稱型凸函數(shù)(通常稱做函數(shù))，如圖2.9所示。圖2.9 基本隸屬函數(shù)圖形(a) Z函數(shù)；(b) 函數(shù)；(c) S函數(shù)圖2.10 直線型隸屬函數(shù)(a) 三角形函數(shù)；

25、(b) 梯形函數(shù)； (c) 單值線形函數(shù) 2.1.4 模糊集合的運算1. 模糊集合的邏輯運算(1) 模糊集合的相等： 若有兩個模糊集合A和B，對所有的uU，均有A(u)=B(u)，則稱模糊集合A與模糊集合B相等，記作AB。(2) 模糊集合的包含： 若有兩個模糊集合A和B，對所有的uU，均有A(u)B(u)，則稱模糊集合A包含于模糊集合B，或稱A是B的子集，記作AB。(3) 模糊空集：對所有的uU，均有A(u)=0，則稱A為模糊空集。(4) 模糊全集：對所有的uU，均有A(u)=1，則稱A為模糊全集。(5) 模糊集合的并集：并集(C=AB)的隸屬函數(shù)C對所有uU被逐點定義為取大運算，即 C(u)

26、=maxA，B(2.21)還可以表示為AB(u)=A(u)B(u) (2.22) (6) 模糊集合的交集：交集(C=AB)的隸屬函數(shù)C對所有uU被逐點定義為取小運算，即 C(u)=minA，B (2.23)還可以表示為AB(u)=A(u)B(u) (2.24)兩個模糊集合的交，其隸屬函數(shù)還有以下運算：AB(u)=A(u)B(u) (2.25) (7) 模糊集合的補(bǔ)運算:模糊集合補(bǔ)集的隸屬函數(shù)A c(u)，對所有uU被逐點定義為A c(u)=1A(u) (2.26) 例2.5在水的溫度論域U=0，10，20，30，40，50，60，70，80，90，100中，有兩個模糊集合，“水溫中等”M及“水

27、溫高”H：計算MH、MH及M c。解模糊集合的運算即為模糊集合逐點隸屬度的運算，根據(jù)模糊集合“并”、“交”及“補(bǔ)”的運算規(guī)則，利用式(2.21)、(2.23)和式(2.26)計算如下： 以上兩個模糊集合的“并”、“交”和“補(bǔ)”邏輯運算用圖形表示，見圖2.11和圖2.12陰影部分。圖2.11 模糊集合的“并”、“交”運算(a) 模糊集合的“并”運算； (b) 模糊集合的“交”運算圖2.12 模糊集合的“補(bǔ)”運算2. 模糊集合的代數(shù)運算模糊集合除了“交”、“并”、“補(bǔ)”等基本運算以外，還有如下一些代數(shù)運算法則。設(shè)A，B為U中的兩個模糊集合，隸屬函數(shù)分別為A，B，則可以由隸屬函數(shù)按以下的定義進(jìn)行模糊

28、集合的代數(shù)運算。(1) 代數(shù)積：ABAB(u)=A(u)B(u) (2.27) (2) 代數(shù)和：若有三個模糊集合A、B、C，對所有的uU，均有C(u)=A(u)+B(u)A(u)B(u) (2.28)則稱C為A、B的代數(shù)和。(3) 有界和:(2.30)(4) 有界差: ABA B(2.29) (5) 有界積：(2.31) 例2.6仍依例2.5中模糊集合“水溫中等”M及“水溫高”H：計算M與H的代數(shù)積及M與H的代數(shù)和。解 M與H的代數(shù)積：根據(jù)式(2.27) ABAB(u)=A(u)B(u)，M與H的代數(shù)積為 M與H的代數(shù)和：根據(jù)式(2.28) M+HA+B(u) =A(u)+B(u)A(u)B(

29、u)，M與H的代數(shù)和為M與H的代數(shù)積及M與H的代數(shù)和示意圖見圖2.13陰影部分。圖2.13 模糊集合的代數(shù)積及代數(shù)和示意圖(a) 模糊集合的代數(shù)積； (b) 模糊集合的代數(shù)和 2.1.5 模糊集合運算的基本性質(zhì)除了模糊集合的基本邏輯運算和代數(shù)運算之外，為了計算上的方便，在這里列出一些模糊集合的運算性質(zhì)，供參考，運算性質(zhì)證明從略。(1) 冪等律 AA=A AA=A(2) 交換律 AB=BA AB=BA(3) 結(jié)合律 (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)(4) 分配律 (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)(5) 吸收律 (AB)A=A (AB)A=A(6) 統(tǒng)一律

30、AU=U AU=A (7) 復(fù)原律 (Ac)c=A(8) 對偶律 (AB)c=AcBc (AB)c=AcBc 2.1.6 模糊集合與普通集合的關(guān)系 1. 截集模糊集合A本身是一個沒有確定邊界的集合，但是如果約定，凡u對A的隸屬度達(dá)到或超過某個水平者才算A的成員，那么模糊集合A就變成了普通集合A。定義2.5設(shè)A為論域U上的一個模糊集合，任取0，1，記A=uU|A(u) (2.32)稱A為A的截集，其中稱為閾值或置信水平。又記 (2.33)稱為A的強(qiáng)截集。 圖2.14(a)給出了1，2 (12)對應(yīng)的截集， ()圖形。圖2.14(b)、(c)為、的特征函數(shù)描述。當(dāng)=1時，得到的最小的水平截集A1稱

31、為模糊集合A的核。當(dāng)=0 +時，得到最大的水平截集稱為模糊集合A的支集，記為supA=u|uU，A(u)0(2.34)若A的核非空，則稱A為正規(guī)模糊集，否則稱為非正規(guī)模糊集。圖2.14 模糊集合的截集例2.7設(shè) 是有限論域U上的一個模糊集，于是A1=u4A0.5=u1，u2，u3，u4A0=u1，u2，u3，u4，u5用特征函數(shù)的向量形式來表示： A1=0，0，0，1，0 應(yīng)該注意到，A是不模糊的。2. 分解定理分解定理說明，任何一個模糊集合可由一類普通集合套來表示。定義2.6設(shè)A是普通集合，0，1，做數(shù)量積運算，得到一個特殊的模糊集合A，其隸屬函數(shù)為(2.35) 分解定理：設(shè)A為論域U上的模

32、糊集合，A是A的截集，則有(2.36) 例2.8設(shè) A0.6=u3, u4, u5 由式(2.36)得 分解定理亦可從圖2.14得到直觀的說明，圖中給出1A1、2A2的圖形，設(shè)想取遍區(qū)間0，1中的實數(shù)時，按模糊集合求并運算的法則，A(u)恰好取各點隸屬函數(shù)的最大值，將這些點連成一條曲線，正是A的隸屬函數(shù)A。A是模糊集合，A是普通集合(非模糊集合)，它們之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化由分解定理用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來了。這個定理也說明了模糊性的成因，大量的甚至無限多的清晰事務(wù)重疊在一起，總體上就形成模糊事務(wù)。3. 擴(kuò)張原理在給定的論域U上，可以有多個模糊集合，記U上的模糊集合的全體為P(U)，稱P(U)為U上模糊集

33、合的冪集。顯然，P(U)是一個普通集合。若A為論域U上的一個模糊集合，在一個普通映射fUV下，A的像是什么？若已知BP(V)，它在U上對應(yīng)的模糊集合又是怎樣的呢？也就是說，一個普通映射能否誘導(dǎo)到模糊集合之間的映射，問題的關(guān)鍵在于如何確定這些模糊集合的隸屬函數(shù)。為此，有擴(kuò)張原理如下。定義2.7擴(kuò)張原理：設(shè)有普通映射fUV，由 f 可以誘導(dǎo)出兩個映射f P(U)P(V)， f 1 P(V)P(U) A|f(A)，B|f 1(B)f(A)稱為A在f之下的像，f1(B)為B的逆像。它們的隸屬函數(shù)分別為(2.38) (2.37) 例2.9設(shè)U=1，2，6，V=a，b，c，d，論域U上有模糊集合求B=f(

34、A)及f 1(B)。解根據(jù)擴(kuò)張原理類似地，得f(A)(b)=0.4，f(A)(c)=0.2由于 ，所以f(A)(d)=0，于是參看圖2.15。圖2.15 擴(kuò)張原理示意圖(a) 論域U到V的映射； (b) 模糊集合A的像由此可見，求擴(kuò)張模糊集合f(A)，可用如下辦法： 當(dāng)V為有限論域時，可根據(jù)擴(kuò)張原理算出V上各點對f(A)的隸屬度，然后再按照模糊集合表示法寫出f(A)。 類似地求f1(B)。根據(jù)擴(kuò)張原理，f1(B)(u)=B(v)，由此得：f1(B)(1)=B(a)=1f1(B)(2)=B(a)=1f1(B)(3)=B(a)=1同理f1(B)(4)=B(b)=0.4f1(B)(5)=B(b)=0

35、.4f1(B)(6)=B(c)=0.2因此參看圖2.16。擴(kuò)張原理在模糊集合論中是一個很重要的原理，并得到廣泛的應(yīng)用。如果說分解定理是模糊集合與清晰集合間的聯(lián)系紐帶，那么擴(kuò)張原理是把清晰集合論中的數(shù)學(xué)方法擴(kuò)展到模糊集合中的有力工具。圖2.16 B的逆像集合 2.2 模糊語言邏輯及其算子2.2.1 模糊語言邏輯1. 模糊數(shù)若A是實數(shù)域 R 上的凸模糊集，那么截集A是實數(shù)軸上的凸集。顯然A是一區(qū)間，這個區(qū)間可以是有限的，如a，b； 也可以是無限的，如(，a、b，)或(，)。由凸模糊集給出模糊數(shù)的概念。定義2.8模糊數(shù)：設(shè)A是實數(shù)域 R 上的正規(guī)模糊集，且(0，1，A均為一閉區(qū)間，即A=a，b則稱

36、A 為一個模糊實數(shù)，簡稱模糊數(shù)。 那就是說，以實數(shù)集合為全集合，一個具有連續(xù)隸屬函數(shù)的正規(guī)的有界凸模糊集合就稱為模糊數(shù)。這里正規(guī)集合的含義就是其隸屬函數(shù)的最大值是1，用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為 這里凸集合的含義是：在隸屬函數(shù)曲線上任意兩點之間曲線上的任一點所表示的隸屬度都大于或者等于兩點隸屬度中較小的一個。由定義2.4可知，在實數(shù)集合的任意區(qū)間a，b上，對于所有的ua，b，都有如下關(guān)系，就稱F是凸模糊集合：A(u)min(A(a)，A(b)(凸性) 這里凸模糊集的直觀幾何意義是(參見圖2.17)，假設(shè)A表示“速度快”這個模糊集，u1點的速度慢，u2點的速度較快，u1和u2連線上的任一點u的速度都比u1

37、點快而比u2點要慢，或者說u隸屬于A的程度都比u1隸屬于A的程度大。通俗地說，就是把那些諸如“大約5”、“10左右”等具有模糊概念的數(shù)稱為模糊數(shù)。圖2.17 凸模糊集的幾何意義2. 語言變量語言變量是以自然語言中的字、詞或句作為名稱，并且以自然語言中的單詞或詞組作為值的變量，它不同于一般數(shù)學(xué)中以數(shù)為值的數(shù)值變量。因此，語言變量實際上是一種模糊變量，是用模糊語言表示的模糊集合。例如，若將“年齡”看成是一個模糊語言變量，則它的取值不是具體歲數(shù)，而是諸如“年幼”、“年輕”、“年老”等用模糊語言表示的模糊集合。 語言變量用一個有五個元素的集合N，T(N)，U，G，M來表征，其中： N是語言變量的名稱，

38、如年齡、顏色、速度、體積等； U是N的論域； T(N)是語言變量值X的集合，每個語言值X都是定義在論域U上的一個模糊集合； G是語法規(guī)則，用以產(chǎn)生語言變量N的語言值X的名稱； M是語義規(guī)則，是與語言變量相聯(lián)系的算法規(guī)則，用以產(chǎn)生模糊子集X的隸屬函數(shù)。語言變量通過模糊等級規(guī)則，可以給它賦予不同的語言值，以區(qū)別不同的程度。 以語言變量名稱N表示“年齡”為例，則T(年齡)可以選取為：T(年齡)=(很年輕，年輕，中年，老，很老)，上述每個模糊語言值如老、中、輕等是定義在論域U上的一個模糊集合，設(shè)論域U=0，120。語言變量的五元素之間的相互關(guān)系可以用圖2.18來表示。圖2.18 語言變量體系結(jié)構(gòu) 2.

39、2.2 語言算子 1. 語氣算子語氣算子用于表達(dá)語言中對某個單詞或詞組的確定性程度。設(shè)有論域U，若存在單詞A，有隸屬函數(shù)A(u)=，則有以下算子。(1) 集中化算子。 在單詞A前面加上模糊量詞S后有SA(u)則稱Q為散漫化算子。 散漫化算子是起弱化語氣作用的語氣算子，如“較”、“略微”、“稍微”等，可使模糊語言值的隸屬度分布由中央向兩邊彌散，如圖2.20所示。圖2.19 集中化算子的強(qiáng)化作用 圖2.20 散漫化算子的弱化作用2. 模糊化算子 模糊化算子，其作用是把肯定轉(zhuǎn)化為模糊，或者使原來就是模糊概念的詞更加模糊化。模糊化算子有“大約”、“近似”、“大概”等。 模糊化算子如果對數(shù)字進(jìn)行作用，就

40、把精確數(shù)轉(zhuǎn)化為模糊數(shù)。例如，1.7 m是精確數(shù)，“近似1.7 m”就是模糊數(shù)。模糊化算子如果對模糊值進(jìn)行作用，就使模糊值更模糊。例如，“年輕”是個模糊值，“大約年輕”就更模糊。在模糊控制中，采樣的輸入量總是精確量，要利用模糊邏輯推理方法，就必須首先把輸入的精確量模糊化。模糊化實際上就是使用模糊化算子來實現(xiàn)的，因此引入模糊化算子是非常有實用價值的。 3. 判定化算子 與模糊化算子有相反作用的另一類算子，例如，“傾向于”、“偏向于”等，被稱為判定化算子。其作用是把模糊值進(jìn)行肯定化處理，對模糊值做出傾向性判斷。其處理方法類似于“四舍五入”，并把隸屬度0.5作為分界。 例如，“年老”的隸屬函數(shù)為uO(

41、x)0 x50 x50則“偏老”O(jiān)可用O(x)=0.5所對應(yīng)的年齡x為“偏老”的界限：求出x=55，得出“偏老”的明確界限： 語言變量適于表達(dá)因復(fù)雜而無法獲得確定信息的概念和現(xiàn)象，它為這些通常無法進(jìn)行量化的“量”提供了一種近似處理方法，把人的直覺經(jīng)驗進(jìn)行量化，轉(zhuǎn)化成計算機(jī)可以操作的數(shù)值運算，使人們有可能把專家的控制經(jīng)驗轉(zhuǎn)化成控制算法，并實現(xiàn)模糊控制。2.3 模糊關(guān)系與模糊邏輯推理 2.3.1 模糊關(guān)系1. 普通關(guān)系關(guān)系是客觀世界存在的普遍現(xiàn)象，它描述了事物之間存在的某種聯(lián)系。例如，人與人之間有父子、親戚、同事關(guān)系； 數(shù)與數(shù)之間有大于、等于、小于等關(guān)系； 元素與集合之間有屬于、不屬于等關(guān)系。兩個

42、客體之間的關(guān)系稱為二元關(guān)系，三個以上客體之間的關(guān)系稱為多元關(guān)系。普通關(guān)系只表示元素之間是否關(guān)聯(lián)。(1) 集合的直積。由兩個集合X和Y的各自元素x與y組成的序偶(x，y)的全體，稱為X和Y的直積，記為XY，即XY=(x，y)|xX，vY (2.39)一般情況下，XYYX。例2.10X=0，1，Y=4，5，6，則XY=(0，4)，(0，5)，(0，6)，(1，4)，(1，5)，(1，6)YX=(4，0)，(4，1)，(5，0)，(5，1)，(6，0)，(6，1) (2) 普通二元關(guān)系。 如果對集合X，Y的元素之間的搭配(x，y)，xX，yY施加某種限制，這時構(gòu)成的集合是直積XY的一個子集合。該子集

43、具有某種特定性質(zhì)，其性質(zhì)的內(nèi)容包含于搭配的限制之中，它反映X，Y元素之間的某種特定關(guān)系。 定義2.9設(shè)X與Y是兩個非空集合。集合X，Y的直積XY的一個子集R稱為X到Y(jié)的一個二元關(guān)系，簡稱關(guān)系。 對于直積XY的序偶(x，y)，要么(x，y)具有關(guān)系R，記為(x，y)R，要么(x，y)不具有關(guān)系R，記為(x，y)R。因此，關(guān)系R的特征函數(shù)為若X=Y，則直積XY的子集R稱為X上的二元關(guān)系，或稱X上的關(guān)系。(3) 關(guān)系矩陣。 關(guān)系R可以用矩陣來表示，稱為關(guān)系矩陣。其中元素rij基于特征函數(shù)R(u，v)的定義，即例2.11X=Y=1，2，3，4，5，6，XY中的XY的關(guān)系可以用矩陣 R 表示： 2. 模

44、糊關(guān)系 關(guān)系是描述客觀事物之間聯(lián)系的重要概念。普通關(guān)系R描述了事物之間“有”與“無”的肯定關(guān)系，但有些事物不能簡單地用肯定或否定的詞匯明確表達(dá)它們之間的關(guān)系。如“A與B很相似”、“X比Y大很多”、“他比他能干”等，這些語句是日常生活中人們常常會遇到的。它們表達(dá)了客觀事物之間另一種不明確、不確定的關(guān)系，稱為模糊關(guān)系。模糊關(guān)系是普通關(guān)系的拓廣和發(fā)展。它比普通關(guān)系的含義更豐富、更符合客觀實際的多數(shù)情況。 定義2.10模糊集合X和Y的直積XY=(x，y)|xX，yY中的模糊子集R被稱為X到Y(jié)的模糊關(guān)系，又稱為二元模糊關(guān)系，其特性用隸屬函數(shù)描述如下：RXY0，1當(dāng)X=Y時，則稱R是X的模糊關(guān)系。當(dāng)論域為

45、n個集合Xi(i=1，2，n)的子集X1X2Xn時，它們所對應(yīng)的模糊關(guān)系R稱為n元模糊關(guān)系。對于(x，y)XY，R(x，y)表達(dá)x對y有關(guān)系R的程度或x對y的關(guān)系R的相關(guān)程度。設(shè)X是m個元素構(gòu)成的有限論域，Y是n個元素構(gòu)成的有限論域。對于X到Y(jié)的一個模糊關(guān)系R，可以用一個mn階矩陣表示為(2.40)或 R =rij， rij=R(xi，yj)我們稱一個矩陣是模糊矩陣，如果它的每個元素屬于0，1。令Fmn= R =rij；0rij1Fmn表示mn階模糊矩陣的全體。在有限論域之間，普通關(guān)系與布爾矩陣建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，模糊關(guān)系與模糊矩陣建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，通常都把模糊矩陣和模糊關(guān)系看做一回事，

46、均以R表示。3. 模糊關(guān)系的表示模糊關(guān)系也是模糊集合，所以模糊關(guān)系也可用模糊集合的表示方法。(1) 模糊集合表示法。用模糊集合表示模糊關(guān)系如下：例2.12設(shè)集合X=1，2，3，Y=1，2，3，4，5，從X到Y(jié)的一個模糊關(guān)系R可表示為 (2) 模糊關(guān)系表表示法。 模糊關(guān)系R可用模糊關(guān)系表來表示。例2.12中模糊關(guān)系R的模糊關(guān)系表如表2.2所示。表2.2 X與Y的模糊關(guān)系表 (3) 模糊矩陣表示法。當(dāng)X，Y是有限集合時，定義在XY上的模糊關(guān)系R可用模糊矩陣來表示。上例中模糊關(guān)系R的矩陣表示為 (4) 模糊關(guān)系圖表示法。用圖直觀表示模糊關(guān)系時，將xi，yj作為節(jié)點，在xi到y(tǒng)j的連線上標(biāo)上R(xi，

47、yj)的值，這樣的圖稱為模糊關(guān)系圖。例2.13甲、乙二人博弈，具有相同的策略集合：X=Y=剪刀，石頭，布，“甲勝”定為1； “平局”定為0.5； “甲負(fù)”定為0。二人勝、負(fù)關(guān)系可用模糊關(guān)系圖表示，如圖2.21所示。圖2.21 模糊關(guān)系圖4. 模糊關(guān)系的運算由于模糊矩陣本身是表示一個模糊關(guān)系的子集R，因此根據(jù)模糊集合的并、交、補(bǔ)運算的定義，模糊矩陣也可作相應(yīng)的運算。設(shè)模糊矩陣 R 和 Q 是 R =(rij)mn， Q =(qij)mn (i=1，2，m；j=1，2， ，n)模糊矩陣的并、交、補(bǔ)運算為模糊矩陣并： R Q =(rijqij) (2.41) 模糊矩陣交： R Q =(rijqij)

48、 (2.42) 模糊矩陣補(bǔ)： Rc=(1rij)(2.43) 例2.14設(shè) ， 。試求RQ，RQ 及Rc。解根據(jù)式(2.41)、式(2.42)及式(2.43)有 5. 模糊矩陣的截陣模糊矩陣的截陣為(2.44) 例2.15設(shè) X =x1，x2，x3，Y =y1，y2，y3，y4， X Y 中的 R 為求 R0.8。解根據(jù)式(2.44)得 用截矩陣表示為 2.3.2 模糊關(guān)系的合成 模糊關(guān)系合成是指由第一個集合和第二個集合之間的模糊關(guān)系及第二個集合和第三個集合之間的模糊關(guān)系得到第一個集合和第三個集合之間的模糊關(guān)系的一種運算。 模糊關(guān)系的合成，因使用的運算不同而有各種定義。這里給出常用的maxmi

49、n合成法。定義2.11設(shè)R是XY中的模糊關(guān)系，S是YZ中的模糊關(guān)系，所謂R和S的合成，是指XZ的模糊關(guān)系Q，記做Q=R 。S或這里代表取小(min)，代表取大(max)，式(2.45)定義的合成稱為maxmin合成。設(shè) R =rij，S=sjk則 Q=R 。S =qik (2.46)Q 為模糊矩陣 R 和 S 的合成，且qik=(rijsjk)， i=1，2，m；j=1，2， ，n當(dāng)R是X中的模糊關(guān)系時，記R=R 。R，Rn=Rn1 。R。例2.16設(shè)， 求Q=R 。S 。解根據(jù)式(2.45)得出 就關(guān)系合成而言，當(dāng)前一個模糊關(guān)系的后域與后一個模糊關(guān)系的前域為同一論域時，兩個關(guān)系的合成才能得出

50、有意義的結(jié)果。因此，R 。S有意義，而S 。R沒有意義。 2.3.3 模糊邏輯推理 在形式邏輯中經(jīng)常使用三段論式的演繹推理，即由大前提、小前提和結(jié)論構(gòu)成的推理。比如，平行四邊形兩對角線相互平分，矩形是平行四邊形，則矩形的對角線也相互平分。這種推理可以寫成以下規(guī)則:大前提：如果 X 是 A，則 Y 是 B （知識） 小前提：X 是 A （事實）結(jié)論： Y 是 B 在科學(xué)研究中，常用基于二值邏輯的演繹推理和歸納推理方法，特別是在科學(xué)報告和論文中，過去只承認(rèn)這種推理方法是嚴(yán)格和合理的。大前提中的如果X是A有時稱為規(guī)則的前件，則Y是B稱為規(guī)則的后件。用傳統(tǒng)二值邏輯進(jìn)行推理，只要大前提或者推理規(guī)則是正確

51、的，小前提是肯定的，那么就一定會得到確定的結(jié)論。然而在現(xiàn)實生活中，常常獲得的信息是不精確、不完全的，或者事實就是模糊而不完全確定的，但又必須利用這些信息進(jìn)行判斷和決策，顯然傳統(tǒng)二值邏輯推理方法在這里就無法應(yīng)用。大部分情況下人們就是在這樣的環(huán)境中進(jìn)行判斷決策的。 模糊邏輯推理是不確定性推理方法的一種，其基礎(chǔ)是模糊邏輯，它是在二值邏輯三段論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，其生長點是應(yīng)用領(lǐng)域。用這種推理方法得到的結(jié)論與人的思維一致或相近。它是一種以模糊判斷為前提，運用模糊語言規(guī)則，推出一個新的近似的模糊判斷結(jié)論的方法。 下面通過幾個例子來說明什么是模糊邏輯推理。 例如，大前提：友好是一種對稱關(guān)系 小前提：張三和

52、李四友好 結(jié) 論：李四和張三友好這里“友好”是模糊關(guān)系概念，但由于它是明確的對稱關(guān)系，所以從前件可以直接推理得到結(jié)論，并且推理過程也無模糊性，與精確推理是一樣的。由此可見，前提中雖然用的是模糊概念，但是可以用直接推理方法得到結(jié)論，其實質(zhì)仍然是精確推理。 以下再看一個間接推理的例子。 例如，大前提：健康則長壽 小前提：周先生健康 結(jié) 論：周先生長壽 這里“健康”和“長壽”都是模糊概念，但是因為大前提的前件和小前提中的模糊判斷嚴(yán)格相同，而結(jié)論則與大前提中的后件嚴(yán)格相同，故這里的推理過程也無模糊性。所以這種間接推理方法，其實質(zhì)與傳統(tǒng)邏輯推理還是一樣的。然而像下面的例子就無法用與傳統(tǒng)邏輯一樣的方法來推

53、理。 例如，大前提：健康則長壽 小前提：周先生很健康 結(jié) 論：周先生近乎會很長壽 這里小前提中的模糊判斷和大前提的前件不是嚴(yán)格相同，而是相近，它們有程度上的差別，這就不能得到與大前提中后件相同的明確結(jié)論，其結(jié)論也應(yīng)該是與大前提中后件相近的模糊判斷。這種結(jié)論不是從前提中嚴(yán)格地推出來，而是近似邏輯地推出結(jié)論的方法，通常就稱為假言推理或似然推理。 從以上分析可知，決定是不是模糊邏輯推理并不是看前提和結(jié)論中是否使用模糊概念，而是看推理過程是否具有模糊性，具體表現(xiàn)在推理規(guī)則是不是模糊的。從另外一個角度看，模糊推理與精確推理之間又沒有黑白分明的界限，有時是交叉的。這本身也要用模糊邏輯來劃分。 2.3.4

54、模糊邏輯推理方式和方法模糊邏輯推理方法尚在發(fā)展中，比較典型的方法有扎德(Zadeh)方法、鮑德溫(Baldwin) 方法、楚卡莫托(Tsukamoto)方法、耶格(Yager)方法和米祖莫托(Mizumoto)方法。這里主要介紹扎德方法。1975年扎德利用模糊變換關(guān)系，提出了模糊邏輯推理的合成規(guī)則，建立了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型，用于對各種模糊推理作統(tǒng)一處理。模糊假言推理是作為這一合成規(guī)則的特殊情況來處理的。 在模糊邏輯與近似推理中，有兩種重要的模糊蘊涵推理規(guī)則：廣義前向推理法(Generalize Modus Ponens，GMP)和廣義后向推理法(Generalize Modus Tollens，G

55、MT)。GMP推理規(guī)則：前提1：若X為A則Y為B (知識)前提2：X為A (事實) 結(jié) 論：Y為B GMT推理規(guī)則： 前提1：若X為A則Y為B(知識) 前提2：Y為B (事實) 結(jié) 論：X為A模糊蘊涵推理是以1973年扎德提出的近似推理合成規(guī)則為基礎(chǔ)的。在此我們通過用語言變量x，y代替?zhèn)鹘y(tǒng)邏輯中的明晰集合來介紹模糊集合A，A和B，B。1. 近似推理或語言推理人們平常如果遇到像“如果x小，那么y就大”這樣的前提，要問“如果x很小，y將怎么樣呢？”，我們會很自然地想到“如果x很小，那么y就很大”。人們所使用的這種推理方法就被稱為模糊假言推理或似然推理。這是一種近似推理方法。它可以這樣來表達(dá)： 大前

56、提：如果X是A，那么Y是B 小前提：X是A 結(jié) 論：那么Y是BB=A。(AB)(2.47) 即結(jié)論B可用A與A到B的蘊涵關(guān)系進(jìn)行合成而得到，其中的算子“”表示合成運算； (AB)是蘊涵運算，表示由A到B進(jìn)行模糊推理的關(guān)系或條件，即“如果X是A，那么Y是B”的簡化表示方法，有時(AB)也可以寫成RAB。在式(2.47)模糊合成規(guī)則中，有兩個很重要的步驟：一個是求模糊蘊涵AB(若A則B)的關(guān)系R，另一個是模糊關(guān)系的合成運算。這里介紹比較常用的扎德(Zadeh)和瑪達(dá)尼(Mamdani)模糊關(guān)系的定義方法。(1) 模糊蘊涵關(guān)系。Zadeh定義方法如下：式中，E 為全稱矩陣。隸屬函數(shù)為R(x，y)=A

57、(x)B(y)1A(x) (2.48)Mamdani定義方法如下：模糊蘊涵關(guān)系R=(AB) 隸屬函數(shù)為R(x，y)=A(x)B(y)(2.49) 這兩種定義的模糊蘊涵關(guān)系運算方法不同，其模糊推理有差異，但結(jié)論大體一致。若論域U上模糊集合A有m個元素，即x1，x2，xm，論域V上模糊集合B有n個元素，即y1，y2， ，yn，就可以得到mn的模糊關(guān)系矩陣：(2.50)采用瑪達(dá)尼蘊涵關(guān)系定義，式(2.50)中(2) 合成運算“ ?！?。根據(jù)模糊控制中用得最多的瑪達(dá)尼方法可得B=A(AB)=A。R即式(2.51)中，“sup”表示對后面算式結(jié)果當(dāng)x在X中變化時，取其上確界。若X為有限論域時，sup就是取

58、大運算。 是指模糊集合A與A交集的高度，可以表示為=H(AA)可以看成是A對A的適配程度，即隸屬度。 根據(jù)瑪達(dá)尼方法，結(jié)論B可以用此適配度與模糊集合B進(jìn)行模糊“與”，即取小運算而得到。在圖形上就是用作基準(zhǔn)去切割，便可得到推論的結(jié)果。瑪達(dá)尼推理方法經(jīng)常又稱為削頂法。這種推理方法可用圖2.22來表示其推理關(guān)系。如果A與A完全一致，那么隸屬度=1，結(jié)論當(dāng)然是B與B完全一致，這就是推理前件和后件都為模糊概念時用布爾邏輯推理的結(jié)果。這說明用這種推理方法可以包容傳統(tǒng)布爾邏輯推理方法。這種推理方法是否與人通過思維得到的結(jié)論相一致呢？可以用一個簡單的例子驗證一下。圖2.22 瑪達(dá)尼推理過程例2.17設(shè)論域T(

59、溫度)0，20，40，60，80，100和P(壓力)1，2，3，4，5，6，7上定義模糊子集隸屬函數(shù)：A (溫度高) B (壓力大) 現(xiàn)在的條件是“如果溫度高，那么壓力就大”，如何通過瑪達(dá)尼模糊推理方法在“溫度較高”的情況下得到推理結(jié)論呢？若根據(jù)經(jīng)驗可把“溫度較高”的隸屬函數(shù)定義為A (溫度高) 解下面我們進(jìn)行推理計算。 試用A對A的隸屬度推理方法進(jìn)行推理。先求出A對A的隸屬度:=H(AA) =H =H 再用此去“切割”B隸屬函數(shù):B(壓力)=B(壓力大) =0.85 對比“壓力大”的隸屬函數(shù)，可以認(rèn)為此式相當(dāng)于“壓力較大”的隸屬函數(shù)，用模糊語言來表達(dá)，推理結(jié)論就是“壓力較大”。這與我們的推理

60、結(jié)果一致。 下面用模糊關(guān)系來進(jìn)行推理。求出“如果溫度高，那么壓力就大”蘊涵關(guān)系矩陣 R 的隸屬函數(shù)矩陣推理結(jié)果與的推理結(jié)果是一樣的。2. 模糊條件推理在模糊邏輯控制中，經(jīng)常用到模糊條件推理。其形式是：如果什么什么，那么怎么怎么，否則怎么怎么 用語言規(guī)則表示，即如果是A，那么是B，否則是C其邏輯表達(dá)式為(AB)(C)這種邏輯結(jié)構(gòu)可以用圖2.23表示。 A是論域X上的子集，B、C是論域Y上的子集。圖中的陰影部分就表示為(AB)(C)其模糊關(guān)系R是XY的子集，可表示為R=(AB)( C)其模糊關(guān)系矩陣中的各元素可通過下式求出：有了這個模糊關(guān)系，就可以根據(jù)推理合成規(guī)則，將輸入A與該關(guān)系R進(jìn)行合成得到模