知識講解_奇偶性_基礎

1、函數的奇偶性【學習目標】.理解函數的奇偶性定義；.會利用圖象和定義判斷函數的奇偶性；.掌握利用函數性質在解決有關綜合問題方面的應用【要點梳理】要點一、函數的奇偶性概念及判斷步驟.函數奇偶性的概念偶函數：若對于定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)稱為偶函數.奇函數：若對于定義域內的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)稱為奇函數.要點詮釋：(1)奇偶性是整體性質；(2)x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？-具有奇偶性的函數，其定義域必定是關于原點對稱的;f(-x)=f(x)的等價形式為：f(x)f (x) =0,) =1(f (x) #0),f(x)f(-x

2、)=-f(x) 的等價形式為：f (x) + f(x) =0, f ( x) =1(f (x) #0)； f(x)(4)由定義不難得出若一個函數是奇函數且在原點有定義，則必有 f(0)=0 ;(5)若f(x)既是奇函數又是偶函數，則必有 f(x)=0.奇偶函數的圖象與性質(1)如果一個函數是奇函數，則這個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數(2)如果一個函數為偶函數，則它的圖象關于 y軸對稱；反之，如果一個函數的圖像關于y軸對稱,則這個函數是偶函數.用定義判斷函數奇偶性的步驟(1)求函數f(x)的定義域

3、，判斷函數的定義域是否關于原點對稱，若不關于原點對稱，則該函數既不是奇函數，也不是偶函數，若關于原點對稱，則進行下一步；(2)結合函數f(x)的定義域，化簡函數f(x)的解析式；(3)求f(-x),可根據f(-x)與f(x)之間的關系，判斷函數f(x)的奇偶性.若f (-x) =- f (x),則f (x)是奇函數；若f(-x) = f(x),則f(x)是偶函數;若f (-x)。士f(x),則f(x)既不是奇函數，也不是偶函數；若f (-x) =f(x)且f (-x) =- f(x),則f(x)既是奇函數,又是偶函數要點二、判斷函數奇偶性的常用方法(1)定義法：若函數的定義域不是關于原點對稱，

4、則立即可判斷該函數既不是奇函數也不是偶函數;若函數的定義域是關于原點對稱的，再判斷f (-x)與土 f (x)之一是否相等(2)驗證法：在判斷f(-x)與f(x)的關系時，只需驗證f(_x) 土 f (x)=0及1二x)=1是否成立即 f(x)可.(3)圖象法：奇(偶)函數等價于它的圖象關于原點( y軸)對稱.(4)性質法：兩個奇函數的和仍為奇函數；兩個偶函數的和仍為偶函數；兩個奇函數的積是偶函數；兩個偶函數的積是偶函數；一個奇函數與一個偶函數的積是奇函數(5)分段函數奇偶性的判斷判斷分段函數的奇偶性時，通常利用定義法判斷.在函數定義域內，對自變量 x的不同取值范圍，有著不同的對應關系，這樣的

5、函數叫做分段函數.分段函數不是幾個函數，而是一個函數.因此其判斷方法也是先考查函數的定義域是否關于原點對稱，然后判斷f (-x)與f (x)的關系.首先要特別注意x與-x的范圍,然后將它代入相應段的函數表達式中，f(x)與f(-x)對應不同的表達式，而它們的結果按奇偶函數的定義進行比較.要點三、關于函數奇偶性的常見結論奇函數在其對稱區(qū)間a,b和卜b，-a上具有相同的單調性，即已知 f(x)是奇函數，它在區(qū)間a,b上是增函數(減函數)，則f(x)在區(qū)間-b，-a上也是增函數(減函數)；偶函數在其對稱區(qū)間a,b和-b ,-a上具有相反的單調性，即已知f(x)是偶函數且在區(qū)間a,b上是增函數(減函數

6、)，則f (x)在區(qū)間-b ,-a上也是減函數(增函數).【典型例題】類型一、判斷函數的奇偶性例1.判斷下列函數的奇偶性：(1) f(x) =(x +1)J ；(2)f(x)=x2-4|x|+3;f(x)=|x+3Hx-3|;(4)f(x),1- x2|x 2|-212_-x x(x 一 0)f(x)2x x(x :二 0)(6),1f(x) = g(x)-g(x)(xw R).【思路點撥】利用函數奇偶性的定義進行判斷【答案】(1)非奇非偶函數；(2)偶函數；(3)奇函數；(4)奇函數；(5)奇函數；(6)奇函數.【解析】(1) .f(x)的定義域為(-1,1，不關于原點對稱，因此 f(x)為

7、非奇非偶函數；(2)對任意x CR,都有-x CR,且 f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),則 f(x)=x2-4|x|+3為偶函數.xCR, f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x), z. f(x)為奇函數；x 1-1,00,11京 -0 x+2 二 _2f(xJ1- x2f (-x)=1- (-x)2. 1-x2x=-f(x),，f(x)為奇函數;(5) x C R, f(x)=-x|x|+xf(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),.f(x)為奇函數;1 -1(6) . f(-x)=2g(-x)-g-(-x) =3g(-

8、x)-g(x)=-f(x) , f(x)為奇函數.函數的定義域關于原點對稱是【總結升華】判定函數奇偶性容易失誤是由于沒有考慮到函數的定義域在去掉| x + 2 |的絕對值符號時就十分麻煩函數具有奇偶性的前提條件，因此研究函數的奇偶性必須“堅持定義域優(yōu)先”的原則，即優(yōu)先研究函數的 定義域，否則就會做無用功.如在本例(4)中若不研究定義域,舉一反三：【變式1】判斷下列函數的奇偶性: f(x)=; x2 3(2) f (x) =|x+1| 十|x1| ；一、 2x2 2x f(x)=T；(4) f (x)x2 2x -1二0-x2 2x1(x :二 0)(x = 0).(x 0)(1)奇函數；(2)

9、偶函數；(3)非奇非偶函數;(4)奇函數.f(x)的定義域是R,又 f (-x)=3( -x)3x22(-x)2 3 x2 3=f (x) ,，f (x)是奇函數. 任取x=0 時，f(0)=-f(0) .xCR時，f(-x)=-f(x)f(x)為奇函數.(2) f(x)的定義域是R,又 f (x)斗-x +1| +| x1|=|x1| +|x+1|= f (x),二 f (x)是偶函數.函數定義域為 x#-1 ,定義域不關于原點對稱，f(x)為非奇非偶函數.任取 x0 貝U-x0 , 1. f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x 2-2x-1=-(-x 2+2x+1)=-f(x)x0 f

10、(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2+2x-1)=-f(x)【高清課堂：函數的奇偶性356732例2 (1)】【變式2】已知f(x) , g(x)均為奇函數，且定義域相同，求證： f(x)+g(x)為奇函數，f(x) - g(x)為偶 函數.證明：設 F(x)=f(x)+g(x), G(x)=f(x)- g(x)則F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x) g(-x)=-f(x)- -g(x)=f(x) g(x)=G(x)f(x)+g(x)為奇函數，f(x) - g(x)為偶函數.【高清課堂

11、：函數的奇偶性356732例2 (2)】【變式3】設函數f(x)和g(x )分另是R上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是().A. f (x) +|g(x)| 是偶函數B . f (x) -|g(x)|是奇函數C. | f (x) | +g(x)是偶函數 D . | f (x) |- g(x) 是奇函數【答案】A類型二、函數奇偶性的應用(求值，求解析式，與單調性結合)例 2.已知 f(x)=x 5+ax3-bx-8 ,且 f(-2)=10 ,求 f(2).【答案】-26【解析】法一：: f(-2)=(-2)5+(-2) 3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10

12、 8a-2b=-50.-.f(2)=2 5+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8 易證g(x)為奇函數 g(-2)=-g(2). f(-2)+8=-f(2)-8.f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【總結升華】本題要會對已知式進行變形，得出 f(x)+8= x 5+ax3-bx為奇函數，這是本題的關鍵之處,從而問題g(2)便能迎刃而解.舉一反三：【變式1】已知f(x)為奇函數，g(x) = f (x)+9,g(2) =3,則f (2)為().【答案】6【解析】g(2) = f (-2) +9=3,則(2) = 6 ,又 f(x)

13、為奇函數，所以 f (2) =-f(-2)=6 .例3. (2016春 山東臨沂期中)已知 f (x)的定義域為xC R| xw。,且f (x)是奇函數，當x0時2f (x) = x +bx+c,若 f (1) =f (3), f (2) =2.(1)求b, c的值；(2)求f (x)在x0時的表達式.【思路點撥】(1)根據f (1) =f (3)得函數圖象關于直線 x=2對稱，結合拋物線對稱軸的公式列式得 到b的值，再由f (2) =2列式，解出c的值.(2)當x0時，一x是正數，代入題中正數范圍內的表達式得到f (一x)的式子，再結合f (x)是奇函數，取相反數即可得到f (x)在x0 時

14、 f (x) = x +4x2 ,當 XV0 時，f(x) =(x)2 +4(x) 2 = x2 -4x-2,.f (x)是奇函數,當 xv 0 時，f (x) =f (x) = x2+4x +2 .【總結升華】本題給出二次函數的對應值，求函數表達式，并且在函數為奇函數的情況下求x0時，g(x)= x2+ 2x1,求g(x)的解析式.【答案】(1)x2f(x)=2x3x -1(x . 0)-3x -1(x 0)(2) g(x) =0( x = 0)2 一 x +2x + 1(x0)例4.設定義在-2 , 2上的偶函數f(x)在0, 2上是單調遞增，當 f(a+1) f(a)時，求a的取值范圍.

15、1【答案】-2 a ：-2【解析】f(a+1)f(a)f(|a+1|)f(|a|)而 |a+1| , |a| C 0 , 2|a 1| q a|2a 1 :二 0 TOC o 1-5 h z 一一一一 1，J-2Ea+1 蕓 2 -3a 1,-2a-.I2-2 a 2-2 a 2【總結升華】若一個函數 f(x)是偶函數，則一定有 f (x) = f (| x |),這樣就減少了討論的麻煩.舉一反三【變式1】定義在1 + a, 2上的偶函數f (x) =ax2+bx2在區(qū)間1, 2上是()A.增函數 B.減函數 C.先增后減函數D.先減后增函數【思路點撥】根據偶函數的性質先求出a, b,然后利用

16、二次函數的性質確定函數的單調性.【答案】B【解析】f (x)是定義在1 + a, 2上的偶函，數,，區(qū)間關于原點對稱，即 1+a+2=0 ,解得a= - 3,且 f ( - x) =f (x),ax2 -bx -2 =ax2 +bx -2 ,即-bx= bx,解得 b=0,22 一f(x)=ax +bx2 = -3x -2 , .f (x)在區(qū)間1, 2上是減函數.故選：B.【總結升華】本題主要考查函數奇偶性的應用，利用函數奇偶性的定義和性質是解決本題的關鍵.類型三、函數奇偶性的綜合問題例5.設a為實數，函數f(x)=x 2+|x-a|+1 , xCR,試討論f(x)的奇偶性，并求f(x)的最

17、小值.【思路點撥】對a進行討論，把絕對值去掉，然后把 f(x)轉化成二次函數求最值問題?！敬鸢浮慨攁=0時，函數為偶函數；當 aw0時，函數為非奇非偶函數.當 TOC o 1-5 h z 31_311-oaV-.時,f(x)扃=4-a;a A時，f (x)島=7+a;當-萬 a 時，f(x)|min = a +1.【解析】當a=0時，f(x)=x 2+|x|+1 ,此時函數為偶函數；當aw 0時，f(x)=x 2+|x-a|+1 ,為非奇非偶函數.一 .1.23(1)當 x 至a時，f(x)=(x+)十一-a241131aE-萬時，函數f (x)在la,十g )上的取小值為f (-萬)=%-a

18、,且f(-)Ef(a).1aA-萬時，函數f (x)在la,也)上單倜遞增，,f (x)在b,F 4的最小值為f(a)=a 2+1. TOC o 1-5 h z o3(2)當 x萬時，f (x) |min = 4+a;1-c-2a、時，f (x) |min=a +1.舉一反三：【變式1】(2016上海崇明模擬)已知函數f(x)=x |x-a |+b,xC R.當b=0時，判斷f (x)的奇偶性，并說明理由.【答案】非奇非偶函數【解析】當b=0時，f (x) =x | x-a | ,當a=0時，f (x)為奇函數；當a wo時，f (x)為非奇非偶函數，理由：當 a=0 時，f (x) =x |

19、 x | ,f( x) = x | x | = x I x | = f (x),f (x)為奇函數；當 aw。時，f( x) = x | x a | = x | x+a | 若(x),且f (x) f (x),則f (x)為非奇非偶函數2例6.已知y = f (x)是偶函數，且在0, +8)上是減函數，求函數 f(1-x )的單調遞增區(qū)間.【思路點撥】本題考查復合函數單調性的求法。復合函數的單調性由內層函數和外層函數的單調性共 同決定，即“同增異減”?！敬鸢浮?, 1和(8, 1【解析】f(X)是偶函數，且在0, +8)上是減函數，f (X)在(一8, 0上是增函數.設u=1X2,則函數f(1X2)是函數f(u)與函數u=1X2的復合函數.,當0WXW 1時，u是減函數，且u0,而u0時，f (u)是減函數，根據復合函數的性質，可得f(1 X2) 是增函數.當XW1時，u是增函數，且uW0,而uW0時，f(u)是增函數，根據復合函數的性質，可得f(1-X2)是增函數.2同理可得當一1*0或*1時，f(1X)是減函數.，所求的遞增區(qū)間為0, 1和(一8, 1.【總結升華】(1)函數的奇偶性與單調性的綜合問題主要有兩類