信息論習題集(陳運)

1、信息論習題集一、名詞解釋（25道）1、“本體論”的信息（P2） 2、“認識論”信息（P2） 3、離散信源（P7）4、自信息量（P9） 5、離散平穩(wěn)無記憶信源（P39） 6、馬爾可夫信源（P46） 7、信源冗余度 （P51） 8、連續(xù)信源 （P52） 9、信道容量 （P73） 10、強對稱信道 （P75-76） 11、對稱信道 （P78）12、多符號離散信道（P83）13、連續(xù)信道 （P95） 14、平均失真度 （P105） 15、實驗信道 （P107）16、率失真函數(shù) （P107） 17、信息價值率 （P127） 18、游程序列 （P143）19、游程變換 （P143） 20、L-D編碼（P1

2、46）、 21、冗余變換 （P146）22、BSC信道 （P171） 23、碼的最小距離 （P174）24、線性分組碼 （P175）25、循環(huán)碼 （P188）二、填空（100道）在認識論層次上研究信息的時候，必須同時考慮到 形式、含義和效用 三個方面的因素。1948年，美國數(shù)學家 香農(nóng) 發(fā)表了題為“通信的數(shù)學理論”的長篇論文，從而創(chuàng)立了信息論。按照信息的性質(zhì)，可以把信息分成 語法信息、語義信息和語用信息 。按照信息的地位，可以把信息分成 客觀信息和主觀信息 。人們研究信息論的目的是為了 高效、可靠、安全 地交換和利用各種各樣的信息。信息的 可度量性 是建立信息論的基礎(chǔ)。 統(tǒng)計度量 是信息度量最

3、常用的方法。 熵 是香農(nóng)信息論最基本最重要的概念。事物的不確定度是用時間統(tǒng)計發(fā)生 概率的對數(shù) 來描述的。10、單符號離散信源一般用隨機變量描述，而多符號離散信源一般用 隨機矢量 描述。11、一個隨機事件發(fā)生某一結(jié)果后所帶來的信息量稱為自信息量，定義為 其發(fā)生概率對數(shù)的負值 。12、自信息量的單位一般有 比特、奈特和哈特 。13、必然事件的自信息是 0 。14、不可能事件的自信息量是 。 15、兩個相互獨立的隨機變量的聯(lián)合自信息量等于 兩個自信息量之和 。16、數(shù)據(jù)處理定理：當消息經(jīng)過多級處理后，隨著處理器數(shù)目的增多，輸入消息與輸出消息之間的平均互信息量 趨于變小 。17、離散平穩(wěn)無記憶信源X的

4、N次擴展信源的熵等于離散信源X的熵的 N倍 。 18、離散平穩(wěn)有記憶信源的極限熵，。19、對于n元m階馬爾可夫信源，其狀態(tài)空間共有 nm 個不同的狀態(tài)。20、一維連續(xù)隨即變量X在a，b區(qū)間內(nèi)均勻分布時，其信源熵為 log2（b-a） 。21、平均功率為P的高斯分布的連續(xù)信源，其信源熵，Hc（X）=。22、對于限峰值功率的N維連續(xù)信源，當概率密度 均勻分布 時連續(xù)信源熵具有最大值。23、對于限平均功率的一維連續(xù)信源，當概率密度 高斯分布 時，信源熵有最大值。24、對于均值為0，平均功率受限的連續(xù)信源，信源的冗余度決定于平均功率的限定值P和信源的熵功率 之比 。25、若一離散無記憶信源的信源熵H（

5、X）等于2.5，對信源進行等長的無失真二進制編碼，則編碼長度至少為 3 。26、m元長度為ki，i=1，2，n的異前置碼存在的充要條件是：。27、若把擲骰子的結(jié)果作為一離散信源，則其信源熵為 log26 。28、同時擲兩個正常的骰子，各面呈現(xiàn)的概率都為1/6，則“3和5同時出現(xiàn)”這件事的自信息量是 log218（1+2 log23）。29、若一維隨即變量X的取值區(qū)間是0，其概率密度函數(shù)為，其中：，m是X的數(shù)學期望，則X的信源熵。30、一副充分洗亂的撲克牌（52張），從中任意抽取1張，然后放回，若把這一過程看作離散無記憶信源，則其信源熵為 。31、根據(jù)輸入輸出信號的特點，可將信道分成離散信道、連

6、續(xù)信道、半離散或半連續(xù) 信道。32、信道的輸出僅與信道當前輸入有關(guān)，而與過去輸入無關(guān)的信道稱為 無記憶 信道。33、具有一一對應關(guān)系的無噪信道的信道容量C= log2n 。34、強對稱信道的信道容量C= log2n-Hni 。35、對稱信道的信道容量C= log2m-Hmi 。36、對于離散無記憶信道和信源的N次擴展，其信道容量CN= NC 。37、對于N個對立并聯(lián)信道，其信道容量 CN = 。38*、多用戶信道的信道容量用 多維空間的一個區(qū)域的界限 來表示。39*、多用戶信道可以分成幾種最基本的類型： 多址接入信道、廣播信道 和相關(guān)信源信道。40*、廣播信道是只有 一個輸入端和多個輸出端 的

7、信道。41、當信道的噪聲對輸入的干擾作用表現(xiàn)為噪聲和輸入的線性疊加時，此信道稱為 加性連續(xù)信道 。42、高斯加性信道的信道容量C=。43、信道編碼定理是一個理想編碼的存在性定理，即：信道無失真?zhèn)鬟f信息的條件是 信息率小于信道容量 。44、信道矩陣代表的信道的信道容量C= 1 。45、信道矩陣代表的信道的信道容量C= 1 。46、高斯加性噪聲信道中，信道帶寬3kHz，信噪比為7，則該信道的最大信息傳輸速率Ct= 9 kHz 。47、對于具有歸并性能的無燥信道，達到信道容量的條件是 p（yj）=1/m） 。 48、信道矩陣代表的信道，若每分鐘可以傳遞6*105個符號，則該信道的最大信息傳輸速率Ct

8、= 10kHz 。49、信息率失真理論是量化、數(shù)模轉(zhuǎn)換、頻帶壓縮和 數(shù)據(jù)壓縮 的理論基礎(chǔ)。50、求解率失真函數(shù)的問題，即：在給定失真度的情況下，求信息率的 極小值 。51、信源的消息通過信道傳輸后的誤差或失真越大，信宿收到消息后對信源存在的不確定性就 越大 ，獲得的信息量就越小。52、信源的消息通過信道傳輸后的誤差或失真越大道傳輸消息所需的信息率 也越小 。53、單符號的失真度或失真函數(shù)d（xi，yj）表示信源發(fā)出一個符號xi，信宿再現(xiàn)yj所引起的 誤差或失真 。54、漢明失真函數(shù) d（xi，yj）= 。55、平方誤差失真函數(shù)d（xi，yj）=（yj- xi）2。56、平均失真度定義為失真函數(shù)

9、的數(shù)學期望，即d（xi，yj）在X和Y的 聯(lián)合概率空間P（XY）中 的統(tǒng)計平均值。57、如果信源和失真度一定，則平均失真度是 信道統(tǒng)計特性 的函數(shù)。58、如果規(guī)定平均失真度不能超過某一限定的值D，即：。我們把稱為 保真度準則 。59、離散無記憶N次擴展信源通過離散無記憶N次擴展信道的平均失真度是單符號信源通過單符號信道的平均失真度的 N 倍。60、試驗信道的集合用PD來表示，則PD= 。61、信息率失真函數(shù)，簡稱為率失真函數(shù)，即：試驗信道中的平均互信息量的 最小值 。62、平均失真度的下限取0的條件是失真矩陣的 每一行至少有一個零元素 。63、平均失真度的上限D(zhuǎn)max取Dj：j=1，2，m中的

10、 最小值 。64、率失真函數(shù)對允許的平均失真度是 單調(diào)遞減和連續(xù)的 。65、對于離散無記憶信源的率失真函數(shù)的最大值是 log2n 。66、當失真度大于平均失真度的上限時Dmax時，率失真函數(shù)R（D）= 0 。67、連續(xù)信源X的率失真函數(shù)R（D）= 。68、當時，高斯信源在均方差失真度下的信息率失真函數(shù)為 。69、保真度準則下的信源編碼定理的條件是 信源的信息率R大于率失真函數(shù)R（D） 。70、某二元信源其失真矩陣D=，則該信源的Dmax= a/2 。71、某二元信源其失真矩陣D=，則該信源的Dmin= 0 。72、某二元信源其失真矩陣D=，則該信源的R（D）= 1-H（D/a） 。73、按照不

11、同的編碼目的，編碼可以分為三類：分別是 信源編碼、信道編碼和安全編碼 。74、信源編碼的目的是： 提高通信的有效性 。75、一般情況下，信源編碼可以分為 離散信源編碼、連續(xù)信源編碼和相關(guān)信源編碼 。 76、連續(xù)信源或模擬信號的信源編碼的理論基礎(chǔ)是 限失真信源編碼定理 。77、在香農(nóng)編碼中，第i個碼字的長度ki和p（xi）之間有 關(guān)系。78、對信源進行二進制費諾編碼，其編碼效率為 1 。79、對具有8個消息的單符號離散無記憶信源進行4進制哈夫曼編碼時，為使平均碼長最短，應增加 2 個概率為0的消息。80、對于香農(nóng)編碼、費諾編碼和哈夫曼編碼，編碼方法惟一的是 香農(nóng)編碼 。81、對于二元序列，其相應

12、的游程序列是 23652457 。82、設(shè)無記憶二元序列中，“0”和“1”的概率分別是p0和p1，則“0”游程長度L（0）的概率為 。83、游程序列的熵 等于 原二元序列的熵。84、若“0”游程的哈夫嗎編碼效率為0，“1”游程的哈夫嗎編碼效率為1，且01對應的二元序列的編碼效率為，則三者的關(guān)系是 01 。85、在實際的游程編碼過程中，對長碼一般采取 截斷 處理的方法。86、“0”游程和“1”游程可以分別進行哈夫曼編碼，兩個碼表中的碼字可以重復，但 C碼 必須不同。87、在多符號的消息序列中，大量的重復出現(xiàn)的，只起占時作用的符號稱為 冗余位 。88、“冗余變換”即：將一個冗余序列轉(zhuǎn)換成一個二元序

13、列和一個 縮短了的多元序列 。89、L-D編碼是一種 分幀傳送冗余位序列 的方法。90、L-D編碼適合于冗余位 較多或較少 的情況。91、信道編碼的最終目的是 提高信號傳輸?shù)目煽啃?。92、狹義的信道編碼即：檢、糾錯編碼 。93、BSC信道即：無記憶二進制對稱信道 。94、n位重復碼的編碼效率是 1/n 。95、等重碼可以檢驗 全部的奇數(shù)位錯和部分的偶數(shù)位錯 。96、任意兩個碼字之間的最小漢明距離有稱為碼的最小距dmin，則dmin=。97、若糾錯碼的最小距離為dmin，則可以糾正任意小于等于t= 個差錯。98、若檢錯碼的最小距離為dmin，則可以檢測出任意小于等于l= dmin-1 個差錯。

14、99、線性分組碼是同時具有 分組特性和線性特性 的糾錯碼。100、循環(huán)碼即是采用 循環(huán)移位特性界定 的一類線性分組碼。三、判斷（50道）必然事件和不可能事件的自信息量都是0 。錯自信息量是的單調(diào)遞減函數(shù)。對單符號離散信源的自信息和信源熵都具有非負性。對單符號離散信源的自信息和信源熵都是一個確定值。錯單符號離散信源的聯(lián)合自信息量和條件自信息量都是非負的和單調(diào)遞減的。對自信息量、條件自信息量和聯(lián)合自信息量之間有如下關(guān)系： 對自信息量、條件自信息量和互信息量之間有如下關(guān)系： 對當隨即變量X和Y相互獨立時，條件熵等于信源熵。對當隨即變量X和Y相互獨立時，I（X；Y）=H（X） 。錯10、信源熵具有嚴格

15、的下凸性。錯11、平均互信息量I（X；Y）對于信源概率分布p（xi）和條件概率分布p（yj/xi）都具有凸函數(shù)性。 對12、m階馬爾可夫信源和消息長度為m的有記憶信源，其所含符號的依賴關(guān)系相同。 錯13、利用狀態(tài)極限概率和狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移概率來求m階馬爾可夫信源的極限熵。 對14、N維統(tǒng)計獨立均勻分布連續(xù)信源的熵是N維區(qū)域體積的對數(shù)。 對15、一維高斯分布的連續(xù)信源，其信源熵只與其均值和方差有關(guān)。 錯16、連續(xù)信源和離散信源的熵都具有非負性。 錯17、連續(xù)信源和離散信源都具有可加性。 對18、連續(xù)信源和離散信源的平均互信息都具有非負性。 對19、定長編碼的效率一般小于不定長編碼的效率。 對20、若

16、對一離散信源（熵為H（X）進行二進制無失真編碼，設(shè)定長碼子長度為K，變長碼子平均長度為，一般K。 錯21、信道容量C是I（X；Y）關(guān)于p（xi）的條件極大值。 對22、離散無噪信道的信道容量等于log2n，其中n是信源X的消息個數(shù)。 錯23、對于準對稱信道，當時，可達到信道容量C。錯24、多用戶信道的信道容量不能用一個數(shù)來代表。 對25、多用戶信道的信道容量不能用一個數(shù)來代表，但信道的信息率可以用一個數(shù)來表示。錯26、高斯加性信道的信道容量只與信道的信噪有關(guān)。 對27、信道無失真?zhèn)鬟f信息的條件是信息率小于信道容量。對28、最大信息傳輸速率，即：選擇某一信源的概率分布（p（xi），使信道所能傳送

17、的信息率的最大值。 錯29、對于具有歸并性能的無燥信道，當信源等概率分布時（p（xi）=1/n），達到信道容量。 錯30、求解率失真函數(shù)的問題，即：在給定失真度的情況下，求信息率的極小值。對31、信源的消息通過信道傳輸后的誤差或失真越大，信宿收到消息后對信源存在的不確定性就越小，獲得的信息量就越小。 錯32、當p（xi）、p（yj/xi）和d（xi，yj）給定后，平均失真度是一個隨即變量。 錯33、率失真函數(shù)對允許的平均失真度具有上凸性。對34、率失真函數(shù)沒有最大值。 錯35、率失真函數(shù)的最小值是0 。對36、率失真函數(shù)的值與信源的輸入概率無關(guān)。錯37、信源編碼是提高通信有效性為目的的編碼。

18、對38、信源編碼通常是通過壓縮信源的冗余度來實現(xiàn)的。 對39、離散信源或數(shù)字信號的信源編碼的理論基礎(chǔ)是限失真信源編碼定理。 錯40、一般情況下，哈夫曼編碼的效率大于香農(nóng)編碼和費諾編碼。 對41、在編m（m2）進制的哈夫曼碼時，要考慮是否需要增加概率為0的碼字，以使平均碼長最短。 對42、游程序列的熵（“0”游程序列的熵與“1”游程序列的熵的和）大于等于原二元序列的熵。 錯43、在游程編碼過程中，“0”游程和“1”游程應分別編碼，因此，它們的碼字不能重復。 錯44、L-D編碼適合于冗余位較多和較少的情況，否則，不但不能壓縮碼率，反而使其擴張。 對45、狹義的信道編碼既是指：信道的檢、糾錯編碼。

19、對46、對于BSC信道，信道編碼應當是一對一的編碼，因此，消息m的長度等于碼字c的長度。 錯47、等重碼和奇（偶）校驗碼都可以檢出全部的奇數(shù)位錯。 對48、漢明碼是一種線性分組碼。對49、循環(huán)碼也是一種線性分組碼。 對50、卷積碼是一種特殊的線性分組碼。 錯四、簡答（20道）信息的主要特征有哪些？（P3）信息的重要性質(zhì)有哪些？（P3）簡述幾種信息分類的準則和方法。（P4）信息論研究的內(nèi)容主要有哪些？（P6）簡述自信息的性質(zhì)。（P9-10）簡述信源熵的基本性質(zhì)。（P17-20）簡述信源熵、條件熵、聯(lián)合熵和交互熵之間的關(guān)系。（P38-39）信道的分類方法有哪些？（P71）簡述一般離散信道容量的計算

20、步驟。（P82）10、簡述多用戶信道的分類。（P88）11、簡述信道編碼定理。（P98）12、簡述率失真函數(shù)的性質(zhì)。（P108-111）13、簡述求解一般離散信源率失真函數(shù)的步驟。（P112-114）14、試比較信道容量與信息率失真函數(shù)。（P128）15、簡述編碼的分類及各種編碼的目的。（P131）16、簡述費諾編碼的編碼步驟。（P135）17、簡述二元哈夫曼編碼的編碼步驟。（P136-137）18、簡述廣義的信道編碼的分類及各類編碼的作用。（P170）19、簡述線性分組碼的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)。（P181）20、簡述循環(huán)碼的系統(tǒng)碼構(gòu)造過程。（P195）五、證明（10道）最大離散熵定理：信源X中n個不

21、同離散消息時，信源熵H（X）有 當且僅當X中各個消息出現(xiàn)的概率全相等時，上式取等號。證明平均互信息量的極值性，即：，并說明等式成立的條件。證明條件熵小于信源熵，即：，并說明等式成立的條件。設(shè)X=X1，X2，XN是平穩(wěn)離散有記憶信源，試證明：H（X1X2XN）=H（X1）+H（X2/X1）+H（XN/X1X2XN-1）若X，Y，Z是三個隨即變量，試證明：I（X；YZ）=I（X；Y）+I（X；Z/Y）=I（X；Z）+X；Y/Z）6、試證明：當信道每輸入一個X值，相應有幾個Y值輸出，且不同的X值所對應的Y值不相互重合時，有H（Y）-H（X）=H（Y/X）7、設(shè)X是X的N次擴展信源，若信道為無記憶信道

22、時，試證明： I（X；Y）=N*I（X；Y）8、試證明對于離散無記憶N次擴展信源，有RN（D）=NR（D）。其中N為任意正整數(shù)，D。9、試證明離散二元無記憶信源的熵等于對應的游程序列的熵。10、試證明：線性分組碼的最小碼距為dmin=d，當且僅當其一致效驗矩陣H中任意d-1列線性無關(guān)，某d列線性相關(guān)。六、計算（20道）1、設(shè)有一個信源，它產(chǎn)生0，1序列的信息。它在任意時刻且不論以前發(fā)生過什么符號，均按P（0）=0.4,P(1)=0.6的概率發(fā)出符號。試計算：（1）H（X2） （2）H（X3/X1X2） （3）2、已知信源X和條件概率P（Y/X）如下： 試計算：H（X）、H（Y）、H（XY）、H

23、（X/Y）、H（Y/X）、H（X；Y）3、同時扔兩個正常的骰子，也就是各面呈現(xiàn)的概率都是1/6，求：(1)“和同時出現(xiàn)”這事件的自信息量；(2)“兩個同時出現(xiàn)” 這事件的自信息量；(3)兩個點數(shù)的各種組合（無序?qū)Γ┑撵鼗蚱骄孕畔⒘浚?4)兩個點數(shù)之和（即、構(gòu)成的子集）的熵；(5)兩個點數(shù)中至少有一個是的自信息。( LOG231.585 LOG252.3236 LOG2113.46 )、某校入學考試中有/4考生被錄取，3/4考生未被錄取。被錄取的考生中有50%來自本市，而落榜考生中有10%來自本市。所有本市的考生都學過英語。而外地落榜考生以及被錄取的外地考生中都有40%學過英語。(1)當已知考

24、生來自本市時，給出多少關(guān)于考生是否被錄取的信息；(2)當已知考生學過英語時，給出多少有關(guān)考生是否被錄取的信息；(3)以x表示是否落榜，y表示是否為本市學生，z 表示是否學過英語，試求H(X)、H(Y|X)、H(Z|XY)。5、Aensemble X has the non-negative integers as its sample space. Find the probability assignment PX(n),n=0,1,2, ,that maximizes H(X) subject to the constraint that the mean value of X.（n=0,

25、） is a fixed value A. Evaluate the resulting H(X).6、設(shè)有一單符號離散信源對該信源編二進制費諾(Fano)碼；計算其信息熵、平均碼長、信息率、編碼效率。7、已知一個信源包含八個符號消息,它們的概率分布如下表, ABCDEFGH0.10.180.40.050.060.10.070.04該信源每秒鐘內(nèi)發(fā)出一個符號,求該信源的熵及信息傳輸速率。對八個符號作二進制碼元的霍夫曼編碼,寫出各代碼組,并求出編碼效率。對八個符號作三進制碼元的霍夫曼編碼,寫出各代碼組,并求出編碼效率。8、設(shè)具有歸并性能的無噪信道的信道矩陣P=，求其信道容量及達到信道容量時信源的

26、概率分布p（xi）。9、設(shè)二進制對稱無記憶信道，信道矩陣為P=，其中：0p1，p+=1。試計算：（1）P代表的信道的信道容量C；（2）P3代表的信道的信道容量C3。10、信道矩陣P=，計算P代表的信道的信道容量。提示：利用如下公式（1）k=1，2，s（2）11、彩色電視顯象管的屏幕上有5105 個象元，設(shè)每個象元有64種彩色度，每種彩度又有16種不同的亮度層次，如果所有的彩色品種和亮度層次的組合均以等概率出現(xiàn)并且各個組合之間相互獨立。（1）計算每秒傳送25幀圖象所需要的信道容量；（2）如果在加性高斯白噪聲信道上信號與噪聲平均功率的比值為63，為實時傳送彩色電視的圖象，信道的帶寬應為多大？12、

27、設(shè)離散無記憶信源其失真度為漢明失真度。試計算：（1）Dmin及R（Dmin）； （2）Dmax及R（Dmax）。13、若某無記憶信源，失真矩陣D=，求該信源的最大和最小失真度。14、設(shè)信源（p1/2），其失真度為漢明失真度。試計算：（1）Dmin及Dmax； （2）率失真函數(shù)R（D）；（3）當d=時的信息率（即R（D）；（4）粗略地繪制D與R的關(guān)系曲線。15、若某二元等概率信源的失真矩陣為漢明失真矩陣，試計算：Dmin、Dmax和R（D）；信道傳輸矩陣P（Y/X）即為19題的特例。16、證明最小錯誤概率譯碼與最大似然譯碼在先驗等概的條件下等價。設(shè)M2且兩個消息等概，令，。通過信道轉(zhuǎn)移概率p1/2的信道傳輸。若將譯碼區(qū)間分為， ， 。試給出譯碼錯誤概率和有錯而不能判決的概率。（24個4位0、1序列分為Y1、Y2、Y3）17、設(shè)二元（7, 4）線性分組碼的生成矩陣為給出該碼的一致校驗矩陣并寫出所有的伴隨式和與之相對應的陪集首。若接收矢量，試計算出其對應的伴隨式S并按照最小距離譯碼準則試著對其譯碼。18、有一組碼將二位信息位編成五位長的碼字，其規(guī)則如下： 00