人教A版高中數(shù)學(xué)必修三《7.4.2超幾何分布》教案

1、7.4.2超幾何分布 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)，第七章隨機(jī)變量及其分布列，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)超幾何分布 超幾何分布是一類(lèi)應(yīng)用廣泛的概率模型，常常與二項(xiàng)分布問(wèn)題綜合運(yùn)用，本節(jié)是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件、等可能事件概率、互斥事件概率、條件概率和相互獨(dú)立事件概率的求法、也學(xué)習(xí)了分布列的有關(guān)內(nèi)容。它是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用。節(jié)課是從實(shí)際出發(fā)，通過(guò)抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而認(rèn)知數(shù)學(xué)理論，應(yīng)用于實(shí)際的過(guò)程。 課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 理解超幾何分布,能夠判定隨機(jī)變量是否服從超幾何分布;B.能夠利用隨機(jī)變量服從超幾何分布的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,會(huì)求服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值.1.

2、數(shù)學(xué)抽象：超幾何分布的概念2.邏輯推理： 超幾何分布與二項(xiàng)分布的聯(lián)系與區(qū)別3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：超幾何分布的有關(guān)計(jì)算 4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想重點(diǎn)：超幾何分布的概念及應(yīng)用 難點(diǎn)：超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)探究新知問(wèn)題1：已知100件產(chǎn)品中有8件次品，現(xiàn)從中采用有放回方式隨機(jī)抽取4件設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.（1）：采用有放回抽樣，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布嗎？采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨(dú)立,此時(shí)X服從二項(xiàng)分布,即XB(4，0.08).（2）：如果采用不放回抽樣，抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X服從二項(xiàng)分

3、布嗎？若不服從，那么X的分布列是什么？不服從，根據(jù)古典概型求X的分布列.解：從100件產(chǎn)品中任取4件有 C1004 種不同的取法，從100件產(chǎn)品中任取4件，次品數(shù)X可能取0,1,2,3,4.恰有k件次品的取法有C8kC924-k種.由古典概型的知識(shí)，得隨機(jī)變量X的分布列為X01234P 超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(Xk） eq f(C eq oal(sup1(k),sdo1(M) C eq oal(sup1(nk),sdo1(NM) ,C eq oal(sup1(n),sdo1(N

4、) ) ，km，m1，m2，r.其中n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布1.公式 中個(gè)字母的含義N總體中的個(gè)體總數(shù)M總體中的特殊個(gè)體總數(shù)(如次品總數(shù))n樣本容量k樣本中的特殊個(gè)體數(shù)(如次品數(shù))2.求分布列時(shí)可以直接利用組合數(shù)的意義列式計(jì)算,不必機(jī)械記憶這個(gè)概率分布列.3. “任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用組合數(shù)列式.4.各對(duì)應(yīng)的概率和必須為1.1.下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是(）A將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)XB從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)XC某射手射擊的命中率

5、為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為XD盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，X是首次摸出黑球時(shí)的總次數(shù)解析：由超幾何分布的定義可知B正確答案：B二、典例解析例1：從50名學(xué)生中隨機(jī)選出5名學(xué)生代表,求甲被選中的概率.解: 設(shè)X表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)（只能取0或1),則X服從超幾何分布,且N=50，M=1,n=5.因此，甲被選中的概率為例2. 一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格，隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1件不合格的概率.解:設(shè)抽取的10個(gè)零件中不合格品數(shù)為,則服從超幾何分布,且=30,=3,=10,的分布列為P(X=k)=C3kC2710-kC3

6、010, k=0,1,2,3至少有1件不合格的概率為(1)=(=1)+(=2)+(=3)=C31C279C3010+C32C278C3010+C33C277C3010=95203+45203+6203=1462030.7192另解:(1)=1(=0) =1-C30C2710C3010 =1-572030.7192（1）當(dāng)研究的事物涉及二維離散型隨機(jī)變量(如：次品、兩類(lèi)顏色等問(wèn)題）時(shí)的概率分布可視為一個(gè)超幾何分布；（2）在超幾何分布中，只要知道參數(shù)N，M，n就可以根據(jù)公式求出X取不同值時(shí)的概率跟蹤訓(xùn)練1.在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志

7、愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示(1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列解析：(1)記“接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1，但不包含B1”的事件為M，則P(M) eq f(C eq oal(sup1(4),sdo1(8) ,C eq oal(sup1(5),sdo1(10) )

8、eq f(5,18) .(2)由題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，4，則P(X0) eq f(C eq oal(sup1(5),sdo1(6) ,C eq oal(sup1(5),sdo1(10) ) eq f(1,42) ，P(X1) eq f(C eq oal(sup1(4),sdo1(6) C eq oal(sup1(1),sdo1(4) ,C eq oal(sup1(5),sdo1(10) ) eq f(5,21) ，P(X2) eq f(C eq oal(sup1(3),sdo1(6) C eq oal(sup1(2),sdo1(4) ,C eq oal(sup1(5),sdo

9、1(10) ) eq f(10,21) ，P(X3) eq f(C eq oal(sup1(2),sdo1(6) C eq oal(sup1(3),sdo1(4) ,C eq oal(sup1(5),sdo1(10) ) eq f(5,21) ，P(X4) eq f(C eq oal(sup1(1),sdo1(6) C eq oal(sup1(4),sdo1(4) ,C eq oal(sup1(5),sdo1(10) ) eq f(1,42) .因此X的分布列為X01234P eq f(1,42) eq f(5,21) eq f(10,21) eq f(5,21) eq f(1,42) 探究1

10、：服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值是什么? 設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p=MN，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而 Xn 是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，E(xn)=p，即E(X)=np.超幾何分布的均值設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)令p eq f(M,N) ，則E(X）_ np_例6.一袋中有100個(gè)大小相同的小球,其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).(1).分別就有放回和不放回摸球，求X的分布列; (2

11、).分別就有放回和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過(guò)0.1的概率.解:(1)對(duì)于有放回摸球,由題意知(20,0.4),的分布列為對(duì)于不放回摸球,由題意知服從超幾何分布，的分布列為（2）樣本中黃球的比例 是一個(gè)隨機(jī)變量有放回摸球：P(|f20-0.4|0.1)=P（6X10）0.7469；不放回摸球：P(|f20-0.4|0.1)=P（6X10）0.7988.因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計(jì)的結(jié)果更可靠些。0.050 0.100.150.200.25兩種摸球方式下,隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布和超幾何分布.這兩種分布的均值相等都等于8.但從兩種分布的概率分布圖

12、看,超幾何分布更集中在均值附近.當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)，每次抽取一次,對(duì)N的影響很小.此時(shí)，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.二項(xiàng)分布與超幾何分布區(qū)別和聯(lián)系1.區(qū)別：一般地,超幾何分布的模型是“取次品”是不放回抽樣,而二項(xiàng)分布的模型是“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”對(duì)于抽樣,則是有放回抽樣.2.聯(lián)系：當(dāng)次品的數(shù)量充分大,且抽取的數(shù)量較小時(shí),即便是不放回抽樣,也可視其為二項(xiàng)分布.通過(guò)具體的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動(dòng)，說(shuō)出自己見(jiàn)解。從而引入超幾何分布的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)問(wèn)題分析，讓學(xué)生掌握超幾何分布的概念及其特點(diǎn)。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心

13、素養(yǎng)。通過(guò)典例解析，在具體的問(wèn)題情境中，深化對(duì)超幾何分布的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.一袋中裝5個(gè)球，編號(hào)為1，2，3，4，5，從袋中同時(shí)取出3個(gè)，以表示取出的三個(gè)球中的最小號(hào)碼，則隨機(jī)變量的分布列為(）解析：隨機(jī)變量的可能值為1，2，3，P(1) eq f(C eq oal(sup1(2),sdo1(4) ,C eq oal(sup1(3),sdo1(5) ) eq f(3,5) ，P(2) eq f(C eq oal(sup1(2),sdo1(3) ,C eq oal(sup1(3),sdo1(5) ) eq f(3,10) ，P(3)

14、eq f(C eq oal(sup1(2),sdo1(2) ,C eq oal(sup1(3),sdo1(5) ) eq f(1,10) .故選C.答案：C2.已知100件產(chǎn)品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)解析：次品數(shù)服從超幾何分布，則E(X)3 eq f(10,100) 0.3.答案：0.33. 在高二年級(jí)的聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有5個(gè)紅球和10個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出3個(gè)球，至少摸到2個(gè)紅球就中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概率解析：由題意知，摸到紅球個(gè)數(shù)X為離散型隨機(jī)變量，X服從超幾何分布，則至少摸到2個(gè)紅球的概率為P(X2

15、)P(X2)P(X3) eq f(C eq oal(sup1(2),sdo1(5) C eq oal(sup1(1),sdo1(10) ,C eq oal(sup1(3),sdo1(15) ) eq f(C eq oal(sup1(3),sdo1(5) C eq oal(sup1(0),sdo1(10) ,C eq oal(sup1(3),sdo1(15) ) eq f(22,91) .故中獎(jiǎng)的概率為 eq f(22,91) .4.在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：(1）不放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)的均值；(2）放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)的均值解析：(1)方法一P(0) eq f(

16、C eq oal(sup1(3),sdo1(8) ,C eq oal(sup1(3),sdo1(10) ) eq f(7,15) ；P(1) eq f(C eq oal(sup1(1),sdo1(2) C eq oal(sup1(2),sdo1(8) ,C eq oal(sup1(3),sdo1(10) ) eq f(7,15) ；P(2) eq f(C eq oal(sup1(2),sdo1(2) C eq oal(sup1(1),sdo1(8) ,C eq oal(sup1(3),sdo1(10) ) eq f(1,15) ，隨機(jī)變量的分布列為012P eq f(7,15) eq f(7,

17、15) eq f(1,15) E()0 eq f(7,15) 1 eq f(7,15) 2 eq f(1,15) eq f(3,5) .方法二由題意知P(k) eq f(C eq oal(sup1(k),sdo1(2) C eq oal(sup1(3k),sdo1(8) ,C eq oal(sup1(3),sdo1(10) ) (k0，1，2)，隨機(jī)變量服從超幾何分布，n3，M2，N10，E() eq f(nM,N) eq f(32,10) eq f(3,5) .(2)由題意，知每次取到次品的概率為 eq f(2,10) eq f(1,5) ，B eq blc(rc)(avs4alco1(3，f(1,5) ，E()3 eq f(1,5) eq f(3,5) .通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。小結(jié)1.超幾何分布2.超幾何分布的均值五、課時(shí)練通