2022年新高考數(shù)學二輪提升數(shù)列專題第16講《數(shù)列不等式的范圍與最值問題》（解析版）

1、第16講 數(shù)列不等式的范圍與最值問題 參考答案與試題解析一選擇題（共3小題）1（2021秋武昌區(qū)期末）已知數(shù)列的前項和，設，為數(shù)列的前項和，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為ABCD【解答】解：由題意，當時，當時，則設數(shù)列的前項和，則對任意的，不等式恒成立，對任意的，不等式恒成立，即對任意的，不等式恒成立構造數(shù)列：令，數(shù)列是單調遞增數(shù)列數(shù)列的最小值為故選：2（2021潮南區(qū)模擬）已知等差數(shù)列中，記數(shù)列的前項和為，若，對任意的成立，則整數(shù)的最小值為A5B4C3D2【解答】解：設公差為，由，得，解得，故，令，則，是遞減數(shù)列，最大，為，根據(jù)題意，的最小值為4故選：3（2021宣城二模）等比

2、數(shù)列的首項為正數(shù)，若對滿足的任意，都成立，則實數(shù)的取值范圍是A，B，C，D，【解答】解：由題意有可得，又，公比，故滿足的的最小值等于9，在，上是增函數(shù)，故取最小值9時，有最小值為，由題意可得，即實數(shù)的取值范圍是，故選：二填空題（共4小題）4（2021秋淮安期中）已知數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，若對任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍【解答】解：，數(shù)列前3項單調遞增，從第3項起單調遞減，當時，數(shù)列有最大值，故故答案為：5（2021秋廣東月考）已知數(shù)列的前項和，設數(shù)列滿足：為非零常數(shù)，存在整數(shù)，使得對任意，都有，則【解答】解：，解得時，化為：，變形為：，數(shù)列是等差數(shù)列，首項為1，公差為1，為非零常數(shù)，存在

3、整數(shù)，使得對任意，都有，化為：，時，時，為非0整數(shù)則故答案為：6（2021沈河區(qū)校級四模）數(shù)列滿足：，記，若對任意的恒成立，則正整數(shù)的最小值為10【解答】解：數(shù)列滿足：，數(shù)列是以4為公差、以1為首項的等差數(shù)列，易得：，令，而，為減數(shù)列，所以：，而為正整數(shù)，所以，7（2021江西模擬）已知函數(shù)，點為坐標原點，點，向量，是向量與的夾角，則使得恒成立的實數(shù)的取值范圍為【解答】解：根據(jù)題意得，是直線的傾斜角，；要使恒成立，則實 數(shù)的取值范圍是故答案為：三解答題（共16小題）8已知的前項和為（1）求的通項公式；（2）若，求的前項和；（3）若對于任意的 ，不等式恒成立，求的取值范圍【解答】解：（1）當時，

4、即，當時，故，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則求的通項公式為；（2）由（1）知，所以，則的前項和為；（3）由（1）知，所以，從而不等式等價于，又，則上式整理可得，則，解得9（2021溫州模擬）已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和，（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，若存在正數(shù)，使對一切恒成立，求的取值范圍【解答】解：（1）數(shù)列是等差數(shù)列，由，得，又，則；，則，當時，當時，驗證時成立，；（2）由（1）得，兩式作差可得：，對一切恒成立，對一切恒成立，即對一切恒成立，令，則，當且僅當時等號成立故實數(shù)的取值范圍是10（2021春浙江期中）已知數(shù)列滿足，且（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并

5、求數(shù)列通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為，若對任意的正整數(shù)恒成立，求的取值范圍【解答】解：（1）證明：，又，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，即，等式兩邊同時相加得，則，又也適合上式，；（2）解：，由得，又，令，由，當時，；當時，11（2021秋沙河口區(qū)校級期中）已知數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列、數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和；（3）在（2）的條件下，當時恒成立，求的取值范圍【解答】解：（1）數(shù)列滿足，時，；時，時也滿足，設等比數(shù)列的公比為，解得，（2）數(shù)列的前項和，（3）在（2）的條件下，當時恒成立，等價于：恒成立時，當且僅當時取等號，的取值范圍是12（2021春青秀區(qū)校級期末）已

6、知數(shù)列的前項和，數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，（1）分別求數(shù)列、的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項和，若存在正實數(shù)，使不等式對于一切的恒成立，求的取值范圍【解答】解：（1）數(shù)列的前項和，時，時，時滿足上式，設等差數(shù)列的公差為，解得，（2），可得：不等式，即不等式，化為：，當且僅當時取等號存在正實數(shù)，使不等式對于一切的恒成立，即的取值范圍為13（2021寶山區(qū)一模）已知數(shù)列的前項和為，為正整數(shù)）（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，若對任意正整數(shù)，恒成立，求的取值范圍？（3）已知集合，若以為首項，為公比的等比數(shù)列前項和記為，問是否存在實數(shù)使得對于任意的，均有若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理

7、由【解答】解：（1）由題意知，當時，兩式相減變形得：又時，于是（1分）故是以為首項，公比的等比數(shù)列（4分）（2）由得（5分）當是偶數(shù)時，是的增函數(shù)，于是，故（7分）當是奇數(shù)時，是的減函數(shù)，因為，故（9分）綜上所述，的取值范圍是（10分）（3）當時，若，則得此不等式組的解集為空集即當時，不存在滿足條件的實數(shù)（13分）當時，而是關于的增函數(shù)且（15分）因此對任意的，要使，只需解得（18分）14（2021秋葫蘆島期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍【解答】解：（1），即；

8、（2），（常數(shù)），又，也成立，是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，（3），對恒成立，即對恒成立，令，當時，當時，故，即的取值范圍為15（2021春東湖區(qū)校級月考）已知數(shù)列滿足：，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列 的前項和；（3）若集合中含有4個元素，求實數(shù)的取值范圍【解答】解：（1）由題意得，當時，又也滿足上式，故；（3分）（2）由（1）可得，得，所以（7分）（3）由（2）可得，所以，即令則（1），因為所以，當時，即因為集合含有4個元素，所以，即的解的個數(shù)為4，因為（2）（3）（4）（1）（5），（5）（1），16（2021天津校級二模）已知數(shù)列，前項和滿足，（）求的通項公式；（）若，求數(shù)列

9、的前項和；（）設，若數(shù)列是單調遞減數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍【解答】解：（）由已知，且，當時，也適合，當時，且也適合，（），設，當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，且也適合綜上得（），使數(shù)列是單調遞減數(shù)列，則，對都成立，則，當或2時，17（2021春天津校級月考）設數(shù)列為數(shù)列的前項和，且，2，（）求數(shù)列的通項公式；（）設，數(shù)列的前項和，若存在整數(shù)，使得對任意且都有成立，求的最大值（）設，證明：【解答】（）解：，兩式相減得：，兩邊同時除以，可得：，又，；（）解：，令，則，即，數(shù)列為遞增數(shù)列，當時，的最小值為，由題意知，的最大整數(shù)值為18；（）證明：，設，則，即18已知數(shù)列是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為，為前項

10、和，且滿足，數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和（1）求數(shù)列的通項公式和數(shù)列的前項和；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍【解答】解：（1），；（2）恒成立，恒成立，當為奇數(shù)時，有恒成立，解得：；當為偶數(shù)時，有恒成立，解得：；綜合知：，的取值范圍為19（2021春齊齊哈爾期中）已知數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，若對任意正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍【解答】解：（1）數(shù)列滿足，數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，首項為，可得：（2），當為偶數(shù)時，令則，（2）當為奇數(shù)時，由可知：單調遞減，又當時，綜上可得：20（2018春定州市校級期中）已知數(shù)列滿足，前項和滿足（1）求的通項公

11、式；（2）求的通項公式；（3）設，若數(shù)列是單調遞減數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍【解答】解：（1），滿足上式，（2）時，當時，符合上式，（3），是遞減數(shù)列，即，只需設數(shù)列的通項公式，時，即當時，所以的最大項為，21（2021秋下城區(qū)校級期中）已知數(shù)列滿足，且對一切，有，其中為數(shù)列的前項和（1）求證：對一切，有；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）求證：【解答】（1）證明：，兩式作差可得：，即，又，得，則，；（2）解：當時，由及，得，當時，可得；當時，得到，又，解得，滿足，則數(shù)列是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，其通項公式為；（3）證明：要證不等式成立，即證，設，即，則成立22（2021廣東二模）已知數(shù)列滿足（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求的值；（2）當時，求數(shù)列的前項和；（3）若對任意，都有成立，求的取值范圍【解答】解：（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，則，由，得，即，解得，（2）由，得兩式相減，得所以數(shù)列是首項為，公差為4的等差數(shù)列數(shù)列是首項為，公差為4的等差數(shù)列由，得所以當為奇數(shù)時，當為偶數(shù)時，所以（3）由（2）知，當為奇數(shù)時，由，得令當或時