股票有、無(wú)賣(mài)空限制下有效前沿的計(jì)算

1、有、無(wú)賣(mài)空限制下有效前沿的計(jì)算基于股票案例的研究 摘要在豐富的金融投資理論中，投資組合理論占有特不重要的地位，金融產(chǎn)品本質(zhì)上市各種金融工具的組合?，F(xiàn)代投資組合理論試圖解釋獲得最大投資收益與幸免過(guò)風(fēng)險(xiǎn)之間的差不多權(quán)衡關(guān)系，也確實(shí)是講投資者將不同的投資品種按一定的比例組合在一起作為投資對(duì)象，以達(dá)到在保證預(yù)訂收益的前提下把風(fēng)險(xiǎn)降到最小或者在一定風(fēng)險(xiǎn)的前提下使收益率最大。在中國(guó)股市上運(yùn)用馬科維茨模型研究投資有限前沿組合，探究風(fēng)險(xiǎn)變動(dòng)規(guī)律，從而明白各股票投資組合在達(dá)到最佳時(shí)所占的比例。關(guān)鍵詞 馬科維茨模型 投資組合 有效前沿投資者專門(mén)早就認(rèn)識(shí)到了分散的將資金進(jìn)行投資能夠降低投資風(fēng)險(xiǎn)，擴(kuò)大投資收益。但在第

2、一個(gè)對(duì)此問(wèn)題做出實(shí)質(zhì)性分析的是美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬科維茨。1952年馬科維茨發(fā)表了證券投資組合選擇，標(biāo)志著證券組合理論的正式誕生。馬科維茨依照每一張證券的預(yù)期收益率、方差和所有證券間的協(xié)方差矩陣，得到證券組合的有效邊界，再依照投資者的效用無(wú)差異曲線，確定最佳投資組合。馬科維茨的證券組合理論在計(jì)算投資組合的收益和方差時(shí)特不精確。本文通過(guò)對(duì)在上交所上市的六只股票運(yùn)用馬科維茨模型進(jìn)行分析，找到給定風(fēng)險(xiǎn)下的最佳投資組合。模型理論經(jīng)典馬科維茨均值-方差模型為：其中是第i種資產(chǎn)的預(yù)期收益率；是投資組合的權(quán)重向量；是n中資產(chǎn)間的協(xié)方差矩陣；分不是投資組合的期望回報(bào)率和方差。馬科維茨模型以期望收益率期望度量收益，以

3、收益率方差度量風(fēng)險(xiǎn)。在本文中以股票的歷史收益率的句子作為期望收益率，可能會(huì)造成“追漲的效果”，在實(shí)際中這些收益率可能會(huì)不一樣；在計(jì)算組合風(fēng)險(xiǎn)值時(shí)協(xié)方差對(duì)結(jié)果阻礙較大，在本文中以股票的歷史收益率的協(xié)方差度量資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)與相關(guān)性，可能會(huì)與實(shí)際協(xié)方差矩陣存在一定的偏差。1.前沿的計(jì)算馬科維茨均值-方差模型為典型的帶約束的二次規(guī)劃問(wèn)題，在給定的期望收益時(shí)，方差最小解唯一，函數(shù)如下：給定計(jì)算相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)最小的組合，即得到有效前沿上一點(diǎn)（有效組合），給定一系列能夠有效描繪出有效前沿。有效邊界是組合證券資產(chǎn)選擇的重要基礎(chǔ)。依照Markwitz創(chuàng)立的現(xiàn)代證券投資組合理論, 理性的投資者應(yīng)具有“非滿足性”和“風(fēng)險(xiǎn)回避”

4、兩個(gè)特征,即一定風(fēng)險(xiǎn)下的期望收益率最大化和 一定收益下風(fēng)險(xiǎn)最小化。在馬科維茨的均值- 方差模型中,關(guān)于每一個(gè)給定的收益率水平,得到的對(duì)應(yīng)投資組合的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)比在同樣收益水平的任何組合的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差) 要小,稱為有效前沿。在標(biāo)準(zhǔn)差- 均值坐標(biāo)系中,則是一條雙曲線。收益率高于最小方差組合所對(duì)應(yīng)的收益率的組合, 位于組合前沿的上半部分,被稱為有效前沿，它是前沿投資組合和有效投資組合的交集部分。前沿 投資組合（Envelope Portfolio）是指關(guān)于任意給定的期望收益水平，所具有最小方差的投資組合 構(gòu)成的集合，即在圖-1中位于包絡(luò)線線上的投資組合。有效投資組合（Efficient Por

5、tfolio）是 指關(guān)于任意給定的方差或標(biāo)準(zhǔn)差水平，具有最大收益率的投資組合。可行投資組合：滿足投資比例之和為1，即的組合，如上圖中的A、B、C組合?？尚屑河伤锌尚型顿Y組合構(gòu)成的集合，為上圖曲線內(nèi)部以陰影表示的區(qū)域。前沿投資組合：關(guān)于任意給定的期望收益水平，所有具有最小方差的投資組合構(gòu)成的集合，即為途中包絡(luò)線上的投資組合。以組合D為例，在所有期望收益為的組合中，組合D具有最小方差30.24%。有效投資組合：關(guān)于任意給定的方差或標(biāo)準(zhǔn)差水平，具有最大收益率的投資組合。有效前沿：有所有有效投資組合構(gòu)成的集合。任何一個(gè)位于該曲線下方的投資組合，其期望收益都小于對(duì)應(yīng)在有效邊界上的組合，為標(biāo)準(zhǔn)差卻相等

6、。2. 條件下計(jì)算有效前沿記列向量假如向量z為線性方程組的解（S是方差協(xié)方差矩陣），則為前沿投資組合，其中，即是的規(guī)范化，滿足；反之，任何前沿投資組合都滿足以上條件。任何兩個(gè)前沿投資組合的線性組合仍為前沿投資組合；反之，所有前沿投資組合均可由任意兩個(gè)不同的前沿組合產(chǎn)生。限制下的有效前沿計(jì)算在賣(mài)空限制下求解投資組合類似于求大化問(wèn)題，只是對(duì)投資組合增加了一個(gè)投資比例非負(fù)性約束條件：其中在有賣(mài)空限制下，前沿投資組合的求解可用規(guī)劃問(wèn)題表示：二、有效前沿的計(jì)算基于六只股票從大智慧證券分析軟件提取工商銀行、三一重工、中國(guó)石化、上海汽車、上海機(jī)場(chǎng)、中國(guó)移動(dòng)六只股票的收盤(pán)價(jià)（向前除權(quán)后提取月K線數(shù)據(jù)）2010

7、年5月31日至2011年5月31日收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)如下：日期收盤(pán)價(jià)三一重工上海機(jī)場(chǎng)中國(guó)石化工商銀行中國(guó)移動(dòng)上海汽車2010-5-315.6213.328.434.2173.714.462010-6-305.7211.847.744.0178.212.752010-7-307.2113.238.824.2578.5512.272010-8-318.6413.268.154.0379.1515.332010-9-309.2112.58.23.9979.4516.412010-10-2914.0714.18.914.378.9516.852010-11-3014.3912.168.134.277.4520

8、.022010-12-3114.3812.398.064.2477.217.122011-1-3114.8414.0494.2576.614.682011-2-2816.7614.558.524.2673.0517.382011-3-3118.5713.568.534.4771.6518.452011-4-2918.3414.198.644.5671.418.222011-5-3116.813.368.064.5671.0516.55收益率的計(jì)算本文中提取的股票收盤(pán)價(jià)為除權(quán)以后的數(shù)據(jù)，故不需考慮股利分紅等因素。股票A在第t月的收益率為在第t月末與第（t-1）月月末價(jià)格之比的自然對(duì)數(shù)，計(jì)算公式為

9、：六只股票的月收益率日期收益率三一重工上海機(jī)場(chǎng)中國(guó)石化工商銀行中國(guó)移動(dòng)上海汽車2010-5-312010-6-301.76%-11.78%-8.54%-4.87%5.93%-12.59%2010-7-3023.15%11.10%13.06%5.81%0.45%-3.84%2010-8-3118.09%0.23%-7.90%-5.32%0.76%22.27%2010-9-306.39%-5.90%0.61%-1.00%0.38%6.81%2010-10-2942.38%12.04%8.30%7.48%-0.63%2.65%2010-11-302.25%-14.80%-9.16%-2.35%-1.

10、92%17.24%2010-12-31-0.07%1.87%-0.86%0.95%-0.32%-15.65%2011-1-313.15%12.50%11.03%0.24%-0.78%-15.38%2011-2-2812.17%3.57%-5.48%0.24%-4.75%16.88%2011-3-3110.26%-7.05%0.12%4.81%-1.94%5.97%2011-4-29-1.25%4.54%1.28%1.99%-0.35%-1.25%2011-5-31-8.77%-6.03%-6.95%0.00%-0.49%-9.61%月期望收益9.13%0.02%-0.37%0.67%-0.31

11、%1.12%年期望收益109.50%0.30%-4.49%7.99%-3.66%13.50%方差（月）1.71%0.78%0.55%0.14%0.06%1.58%標(biāo)準(zhǔn)差（月）13.07%8.85%7.42%3.78%2.35%12.58%方差（年）20.50%9.40%6.60%1.71%0.66%19.00%標(biāo)準(zhǔn)差（年）45.28%30.66%25.69%13.08%8.15%43.59%運(yùn)用超額收益矩陣計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣六只股票的超額收益計(jì)算日期超額收益率三一重工上海機(jī)場(chǎng)中國(guó)石化工商銀行中國(guó)移動(dòng)上海汽車2010-5-312010-6-30-7.36%-11.80%-8.17%-5.53%

12、6.23%-13.71%2010-7-3014.02%11.08%13.44%5.15%0.75%-4.96%2010-8-318.97%0.20%-7.53%-5.98%1.07%21.14%2010-9-30-2.74%-5.93%0.99%-1.66%0.68%5.68%2010-10-2933.25%12.02%8.68%6.82%-0.33%1.52%2010-11-30-6.88%-14.83%-8.79%-3.02%-1.61%16.11%2010-12-31-9.19%1.85%-0.49%0.28%-0.02%-16.77%2011-1-31-5.98%12.48%11.41

13、%-0.43%-0.48%-16.50%2011-2-283.04%3.54%-5.11%-0.43%-4.44%15.76%2011-3-311.13%-7.07%0.49%4.15%-1.63%4.85%2011-4-29-10.37%4.52%1.66%1.33%-0.04%-2.38%2011-5-31-17.90%-6.05%-6.57%-0.67%-0.19%-10.74%以上六只股票的差額收益矩陣A計(jì)算公式為：計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣協(xié)方差定義為：依照協(xié)方差公式計(jì)算六只股票的方差協(xié)方差矩陣為：依照上證指數(shù)求得rf上證指數(shù)日期收盤(pán)2010-6-302398.372010-7-30263

14、7.52010-8-312638.82010-9-302655.662010-10-292978.842010-11-302820.182010-12-312808.082011-1-312790.692011-2-282905.052011-3-312928.112011-4-292911.512011-5-312743.47rf0.143889 一 無(wú)賣(mài)空限制下有效前沿的計(jì)算計(jì)算前沿組合。依照無(wú)賣(mài)空限制計(jì)算有效前沿性質(zhì)一，需要假設(shè)兩個(gè)不同的常數(shù) c,通過(guò)R-c=Sz 求解 z,然后依照性質(zhì)二就能夠求得前沿組合。兩個(gè)前沿組合的計(jì)算兩個(gè)相關(guān)指標(biāo)的計(jì)算期望收益（x）-0.013344596期望收

15、益（M）-0.00732115方差（x）9.43283E-05方差（M）4.97682E-05標(biāo)準(zhǔn)差（x）0.009712277協(xié)方差（M）0.007054655協(xié)方差5.17507E-05計(jì)算有效前沿。依照無(wú)賣(mài)空限制有效前沿計(jì)算的性質(zhì)二，通過(guò)上一步計(jì)算得到的兩個(gè)前沿組合 x 和 y 的線性組合，能夠求出整個(gè)可行域的包絡(luò)線，因此有效邊界也包含在內(nèi)。假設(shè)對(duì)組合 x 的投資比例為 a,對(duì)組合 y 的比例為（1-a）的組合為 p,通過(guò)下面的公式，能夠得到組合 p 的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差：E(Rp)=aE(Rx)+(1-a)E(Ry)2p=a22x+(1-a)22y+2a(1-a)Cov(x,y)令 a=

16、0.3,能夠得到組合 p 的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差。此外，使用 Excel 的 模擬運(yùn)算表功能，計(jì)算對(duì)組 合 x 和 y 不同投資比例下的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差，即可得到無(wú)賣(mài)空限制下有效前沿曲線組合x(chóng)的投資比例30%組合p的期望收益-0.9128%組合p的標(biāo)準(zhǔn)差5.65733E-05不同組合比例下組合的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差組合x(chóng)的投資比例a標(biāo)準(zhǔn)差期望收益0.0057%-0.9128%-40.0000%0.0012%-0.4912%-30.0000%0.0024%-0.5514%-20.0000%0.0035%-0.6116%-10.0000%0.0043%-0.6719%0.0000%0.0050%-0.73

17、21%10.0000%0.0054%-0.7923%20.0000%0.0056%-0.8526%30.0000%0.0057%-0.9128%40.0000%0.0055%-0.9731%50.0000%0.0051%-1.0333%60.0000%0.0045%-1.0935%70.0000%0.0037%-1.1538%80.0000%0.0027%-1.2140%90.0000%0.0014%-1.2742%100.0000%0.0000%-1.3345%110.0000%-0.0006%-1.3947%120.0000%-0.0015%-1.4549%130.0000%-0.0025

18、%-1.5152%140.0000%-0.0038%-1.5754%150.0000%-0.0053%-1.6356%160.0000%-0.0069%-1.6959%無(wú)賣(mài)空限制的有效前沿曲線有效前沿曲線呈現(xiàn)出如此的趨勢(shì)要緊是因?yàn)榱还善钡氖找媛识嫉陀诖蟊P(pán)的平均收益率。有賣(mài)空限制下有效前沿計(jì)算在實(shí)際構(gòu)建投資組合時(shí)要考慮到合規(guī)、合法或者分先治理等限制條件，如此會(huì)給組合構(gòu)建帶來(lái)約束，例如基金“雙百分之十規(guī)則”；基金投資于某一證券的市值不能超過(guò)基金資產(chǎn)的10%，投資于某一上市公司的股票不能超過(guò)該公司市值的10%。如要求六只股票的最大配置分不為：三一重工最大配置50%，上海機(jī)場(chǎng)最大配置60%，中國(guó)石化

19、最大配置80%，工商銀行最大配置55%，中國(guó)移動(dòng)最大配置79%，上海汽車最大配置30%；三一重工、上海機(jī)場(chǎng)、中國(guó)石化組成資產(chǎn)集合A；工商銀行、中國(guó)移動(dòng)、上海汽車組成資產(chǎn)打算集合B；其中集合A的最大配置為50%，集合B的最大配置為80%，集合A的配置不能超過(guò)集合B的配置的1.5備，同時(shí)有賣(mài)空限制的條件下如何配置？六只股票的收益率均值、收益率標(biāo)準(zhǔn)差及超額收益率協(xié)方差矩陣收益率均值收益率標(biāo)準(zhǔn)差（超額收益）方差協(xié)方差矩陣三一重工0.0913 0.1307 0.0186 0.0067 0.0050 0.0028 -0.0003 0.0061 上海機(jī)場(chǎng)0.0002 0.0885 0.0067 0.0085

20、 0.0058 0.0021 -0.0005 -0.0028 中國(guó)石化-0.0037 0.0742 0.0050 0.0058 0.0060 0.0023 -0.0002 -0.0039 工商銀行0.0067 0.0378 0.0028 0.0021 0.0023 0.0016 -0.0004 -0.0009 中國(guó)移動(dòng)-0.0031 0.0235 -0.0003 -0.0005 -0.0002 -0.0004 0.0006 -0.0014 上海汽車0.0112 0.1258 0.0061 -0.0028 -0.0039 -0.0009 -0.0014 0.0173 應(yīng)用二次規(guī)劃問(wèn)題求解得到：有

21、效前沿組合組合風(fēng)險(xiǎn)組合期望收益六只股票投資比例三一重工上海機(jī)場(chǎng)中國(guó)石化工商銀行中國(guó)移動(dòng)上海汽車1.24%0.08%0.00%1.04%0.00%28.27%63.06%7.63%1.42%0.29%1.85%0.00%0.00%31.89%58.63%7.64%1.65%0.49%4.31%0.00%0.00%30.07%58.58%7.03%1.89%0.70%6.78%0.00%0.00%28.26%58.53%6.43%2.14%0.91%9.25%0.00%0.00%26.45%58.48%5.83%2.40%1.11%11.71%0.00%0.00%24.64%58.43%5.22%

22、2.66%1.32%14.18%0.00%0.00%22.83%58.37%4.62%2.93%1.52%16.65%0.00%0.00%21.01%58.32%4.01%3.20%1.73%19.11%0.00%0.00%19.20%58.27%3.41%3.47%1.94%21.58%0.00%0.00%17.39%58.22%2.81%3.74%2.14%24.05%0.00%0.00%15.58%58.17%2.20%4.02%2.35%26.51%0.00%0.00%13.77%58.12%1.60%4.29%2.56%28.98%0.00%0.00%11.96%58.07%1.00%4.57%2.76%31.45%0.00%0.00%10.14%58.02%0.39%4.85%2.97%33.89%0.00%0.00%8.30%57.81%0.00%5.13%3.18%36.27%0.00%0.00%6.41%57.32%0.00%5.41%3.38%38.65%0.00%0.00%4.52%56.83%0.00%5.69%3.59%41.04%0.00%0.00%2.62%56.