新編高等數(shù)學(xué)3(3)隱函數(shù)與參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)教學(xué)課件

1、第三節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和參數(shù)式求導(dǎo)第二章 導(dǎo)數(shù)與微分隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)參數(shù)式求導(dǎo)極坐標(biāo)式求導(dǎo)相關(guān)變化率小結(jié) 思考題 作業(yè)1導(dǎo)數(shù)與微分定義1. 隱函數(shù)的定義所確定的函數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率稱為隱函數(shù)(implicit function).的形式稱為顯函數(shù).隱函數(shù)的可確定顯函數(shù)例開普勒方程開普勒(J.Kepler)1571-1630德國(guó)數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家.的隱函數(shù)客觀存在,但無(wú)法將表達(dá)成的顯式表達(dá)式.顯化.22. 隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率隱函數(shù)求導(dǎo)法則 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,并注意到其中將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo).變量y是x的函數(shù).隱函數(shù)

2、不易顯化或不能顯化？如何求導(dǎo)3例1解則得恒等式代入方程,隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率將此恒等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),得因?yàn)閥是x的函數(shù), 是x的復(fù)合函數(shù),所以求導(dǎo)時(shí)要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,4 雖然隱函數(shù)沒解出來(lái),但它的導(dǎo)數(shù)求出來(lái)了,當(dāng)然結(jié)果中仍含有變量y.允許在 的表達(dá)式中含有變量y.一般來(lái)說(shuō),隱函數(shù)求導(dǎo),隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),只要記住x是自變量,將方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),就得到一個(gè)含有導(dǎo)數(shù)從中解出即可.于是y的函數(shù)便是x的復(fù)合函數(shù),的方程.y是x的函數(shù),5例2 求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).例3 證明星形線上任意一點(diǎn)(星形線與坐標(biāo)軸

3、交點(diǎn)除外)的切線介于兩坐標(biāo)軸之間的一段為定長(zhǎng).隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率6隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率利用隱函數(shù)求導(dǎo)法來(lái)證明曲線族的正交問題.如果兩條曲線在它們的交點(diǎn)處的切線互相垂直,正交軌線.稱這兩條曲線是正交的.如果一個(gè)曲線族中的每條曲線與另一個(gè)曲線族中的所有與它相交的曲線均正交,稱這是正交的兩個(gè)曲線族或互為正交曲線族在很多物理現(xiàn)象中出現(xiàn),例如,靜電場(chǎng)中的電力線與等電位線正交,熱力學(xué)中的等溫線與熱流線正交,等等.7練習(xí)證即證.隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率兩條曲線在該點(diǎn)的現(xiàn)只須證明切線斜率互為負(fù)倒數(shù).83. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法作為隱函數(shù)求

4、導(dǎo)法的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用, 介紹(1) 許多因子相乘除、乘方、開方的函數(shù).對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,它可以利用對(duì)數(shù)性質(zhì)使某些函數(shù)的求導(dǎo)變得更為簡(jiǎn)單.隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率 適用于方 法先在方程兩邊取對(duì)數(shù), -對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù).9例4解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率等式兩邊取對(duì)數(shù)得 隱函數(shù)10兩邊對(duì)x求導(dǎo)得隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率等式兩邊取對(duì)數(shù)得11隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率例5 求的導(dǎo)數(shù).12注復(fù)合函數(shù)改寫成如上例則只要將冪指函數(shù)也可以利用對(duì)數(shù)性質(zhì)化為:再求導(dǎo),隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

5、相關(guān)變化率13例6解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率14練習(xí)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率15二、參數(shù)式求導(dǎo)如?隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率 稱此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù). 消參數(shù)困難或無(wú)法消參數(shù)如何求導(dǎo).消去參數(shù)16所以,隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得17例7 求由所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例8 求旋輪線(擺線,速降線) 上斜率為1的切線方程.隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率并求18進(jìn)一步,假設(shè)在參數(shù)方程中,二階可導(dǎo),則隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函

6、數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率19如:注求二階導(dǎo)數(shù)不必死套公式,只要理解其含義,這樣對(duì)求更高階的導(dǎo)數(shù)也容易處理.隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率20練習(xí)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率21三、極坐標(biāo)式求導(dǎo)1. 極坐標(biāo)系oPr2. 曲線的極坐標(biāo)方程如,223. 極坐標(biāo)式求導(dǎo)設(shè)曲線:化為參數(shù)式為則23設(shè)切線的傾角為則,從而為向徑沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到切線位置的夾角.24例9解將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換成則曲線的切線斜率為所以法線斜率為又切點(diǎn)為隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率故法線方程為即參數(shù)方程 這種將極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程,借助參數(shù)方程處理問題的方法,在高等數(shù)學(xué)中將多

7、次遇到.25為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率解法三步驟找出相關(guān)變量的關(guān)系式對(duì)t 求導(dǎo)相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率四、相關(guān)變化率相關(guān)變化率之間的關(guān)系式 代入指定時(shí)刻的變量值及已知變化率,(1)(2)(3)26例13解(1)(2)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率仰角增加率(3)27練習(xí)1. 設(shè)由確定了y是x的函數(shù),求2. 求曲線3. 求曲線處的切線與法線方程.隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率284. 設(shè)5. 設(shè)6. 設(shè)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率29隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率五、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則工具:復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則;對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo).參數(shù)方程求導(dǎo)注意:變量y是x的函數(shù).將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo).工具:復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則.相關(guān)變化率通過(guò)函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)變化率之間的解法: 三個(gè)步驟.關(guān)系,從其中一個(gè)變化率(已知)求出一個(gè)變化率;30思考題 (是非題)隱函數(shù)及由參