高等數(shù)學(xué)電子教學(xué)課件同濟(jì)第六版04函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性

1、1一、單調(diào)性的判別法定理 牛牛文庫文檔分享2證應(yīng)用拉氏定理,得 牛牛文庫文檔分享3 牛牛文庫文檔分享4例2解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性 牛牛文庫文檔分享5（2）函數(shù)在整個(gè)定義域上不一定是單調(diào)的，但在不同的區(qū)間上具有單調(diào)性，且改變單調(diào)性的點(diǎn)只可能是的 點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) 牛牛文庫文檔分享6）（4）區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,（3）討論函數(shù)單調(diào)性的步驟：1）確定函數(shù)的定義域；2）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；3）這些點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，列表討論。 牛牛文庫文檔分享7的

2、單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為例3 確定函數(shù) 牛牛文庫文檔分享8例4解單調(diào)區(qū)間為 牛牛文庫文檔分享9例5證 牛牛文庫文檔分享10證明： 因此， 單調(diào)減少, f(x) 單調(diào)減少 也就是 牛牛文庫文檔分享11 牛牛文庫文檔分享12問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方 牛牛文庫文檔分享131. 曲線的凹凸與拐點(diǎn)的定義定義 1. 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù) , (1) 若恒有則稱 的圖形是凹的;(2) 若恒有則稱 的圖形函數(shù)圖形上凹凸的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn) .是凸的 . 牛牛文庫文檔分享142、曲線凹凸的判定定理1 牛牛文庫文檔分享15證:

3、利用一階泰勒公式可得兩式相加 牛牛文庫文檔分享16例1.判斷曲線的凹凸性.解:當(dāng)時(shí)時(shí)故曲線在上是向上凹的.說明 (1) 在個(gè)別二階導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn), 若此點(diǎn)兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào), 則不改變曲線的凹凸性 . 牛牛文庫文檔分享17例2解注意到, 牛牛文庫文檔分享18例3.求曲線的拐點(diǎn). 解:不存在因此點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為曲線的拐點(diǎn) . 牛牛文庫文檔分享19（c）檢查在這些點(diǎn)左右兩邊的符號(hào)，從而決定曲線 的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。 （3）判別曲線的凹凸性及拐點(diǎn)的方法步驟：（a）求出 ；（b）求出使 的點(diǎn)及 不存在的點(diǎn)； 牛牛文庫文檔分享20例4.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1) 求2) 求函數(shù)二階導(dǎo)為零

4、的點(diǎn)令得對(duì)應(yīng)3) 列表判別,點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及均為拐點(diǎn).故該曲線在上凸 牛牛文庫文檔分享21證明： 牛牛文庫文檔分享22 牛牛文庫文檔分享23三、小結(jié) 單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用. 定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立. 應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.曲線的彎曲方向凹凸性;凹凸性的判定.改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn);拐點(diǎn)的求法1, 2. 牛牛文庫文檔分享241,3(1,4,5,6),5(1,2,4,5),6,8(1,3),9(1,3,6),10(1,2),13,14 牛牛文庫文檔分享25思考題 牛牛文庫文檔分享26思考題解答例 牛牛文庫文檔分享27練 習(xí) 題 牛牛文庫文檔分享28 牛牛文庫文檔分享29練習(xí)題答案 牛牛文庫文檔分享30 牛牛文庫文檔分享31思考題 牛牛文庫文檔分享32思考題解答不能斷定.例但 牛牛文庫文檔分享33當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，注意 可以任意大，故在 點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)，