新人教版高中數(shù)學必修第二冊第七章復數(shù)：7.1.2 復數(shù)的幾何意義

1、7.1.2復數(shù)的幾何意義 1.理解復數(shù)的幾何意義. 2.了解共軛復數(shù)的概念. 3.通過學習本節(jié)內(nèi)容,能借助幾何直觀理解復數(shù)的幾何意義,逐步形成直觀想象的核心素養(yǎng). 復平面 建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面,x軸叫做實軸,y軸叫做虛軸.顯然,實軸上的點都表示實數(shù);除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù). 復數(shù)的幾何意義 復數(shù)的模復數(shù)z=a+bi(a,bR,i為虛數(shù)單位)對應的向量為,則向量的模叫做復數(shù)z=a+bi的模或絕對值,記作|z|或|a+bi|.即|z|=|a+bi|=,其中a,bR. 共軛復數(shù)一般地,當兩個復數(shù)的實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).虛部不等于0的兩

2、個共軛復數(shù)也叫做共軛虛數(shù).復數(shù)z的共軛復數(shù)用表示,即如果z=a+bi(a,bR),那么=a-bi(a,bR).1.在復平面內(nèi),虛軸上的點所對應的復數(shù)都是純虛數(shù).()2.復數(shù)的模一定是正實數(shù).()3.兩個復數(shù)的模相等是這兩個復數(shù)相等的必要條件.()提示：兩個復數(shù)相等可以推出這兩個復數(shù)的模相等,反之未必,因此結(jié)論正確.4.復數(shù)z=a+bi(a,bR,i為虛數(shù)單位)的模為a2+b2.()5.若兩個復數(shù)互為共軛復數(shù),則這兩個復數(shù)的模相等.()判斷正誤，正確的畫“” ，錯誤的畫“ ” .提示：設(shè)z=a+bi(a,bR),則=a-bi,因此|z|=|=,因此結(jié)論正確. 復數(shù)幾何意義的應用 1.利用復數(shù)與點

3、的對應關(guān)系解題的步驟 (1)找對應關(guān)系:復數(shù)z=a+bi(a,bR)可以用復平面內(nèi)的點Z(a,b)來表示,這是解決此類問題的根據(jù). (2)列出關(guān)系式求解:根據(jù)題意,建立復數(shù)的實部與虛部應滿足的關(guān)系式,進而求解. 2.根據(jù)復數(shù)與平面向量的對應關(guān)系,可知當平面向量的起點在原點時,向量的終點對應的復數(shù)即為向量對應的復數(shù).反之,復數(shù)對應的點確定后,從原點引出的指向該點的有向線段,即為復數(shù)對應的向量. 3.解決復數(shù)與平面向量一一對應的問題時,一般以復數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應為工具,實現(xiàn)復數(shù)、復平面內(nèi)的點、向量之間的轉(zhuǎn)化.復數(shù)z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在復平面內(nèi)對應的點分別為A,B

4、,C,若BAC是直角,求實數(shù)c的值.思路點撥由已知得出A,B,C三點的坐標,再根據(jù)BAC是直角,利用向量垂直的充要條件建立方程,從而求出c的值.解析在復平面內(nèi),A,B,C三點的坐標分別為(3,4),(0,0),(c,2c-6),則=(-3,-4),=(c-3,2c-10).由BAC是直角,得,所以=0,即-3(c-3)-4(2c-10)=0,解得c=.故實數(shù)c的值為.已知i為虛數(shù)單位,在復平面內(nèi),復數(shù)i,1,4+2i對應的點分別是A,B,C.求平行四邊形ABCD的頂點D所對應的復數(shù).思路點撥根據(jù)復數(shù)的幾何意義將復數(shù)對應的點(或向量)表示出來,然后依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解.解析解法一:由復數(shù)的幾

5、何意義得A(0,1),B(1,0),C(4,2),則AC的中點坐標為,由平行四邊形的性質(zhì)知,該點也是BD的中點,設(shè)D(x,y),則解得即點D的坐標為(3,3),點D對應的復數(shù)為3+3i.解法二:由復數(shù)的幾何意義得A(0,1),B(1,0),C(4,2),設(shè)D(x,y),則=(1,-1),=(4-x,2-y).四邊形ABCD是平行四邊形,=,解得點D的坐標為(3,3),點D對應的復數(shù)為3+3i.解法三:由已知得=(0,1),=(1,0),=(4,2),=(-1,1),=(3,2),=+=(2,3),=+=(3,3),點D對應的復數(shù)為3+3i. 復數(shù)模的范圍(或最值)問題 求解關(guān)于復數(shù)模的范圍(或

6、最值)問題的兩種方法 1.轉(zhuǎn)化為函數(shù)式:將z=x+yi(x,yR)直接代入要求的式子中去,把要求的模用關(guān)于x,y的式子表示出來,轉(zhuǎn)化為函數(shù)求范圍(或最值)的問題. 2.數(shù)形結(jié)合:因為復數(shù)與圖形有著密切的關(guān)系,所以可以利用這種關(guān)系將所給條件轉(zhuǎn)化為圖形,直觀地得出最值.已知zC,i為虛數(shù)單位,且|z|=1,則|z-2|的最小值為(A)A.1B.2C.D.0思路點撥設(shè)z=x+yi(x,yR),把|z-2|表示成關(guān)于x的式子,然后求其最小值.解析設(shè)z=x+yi(x,yR),因為|z|=1,所以x2+y2=1,-1x1,-1y1,易得|z-2|=|x-2+yi|=,因為-1x1,所以的最小值為1,即|z-2|的最小值為1.答案A已知z1=+i,z2=2+i,設(shè)zC,在復平面內(nèi)z對應的點為Z,求滿足條件|z1|z|z2|的點Z的集合表示