新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第八章立體幾何初步：8.6.3 平面與平面垂直

1、8.6.3平面與平面垂直 1.理解二面角及其平面角的概念,會作簡單的二面角的平面角. 2.掌握兩個(gè)平面互相垂直的概念,能用定義和定理判定面面垂直. 3.掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理,會用相關(guān)定義、定理解決平面與平面垂直問題. 二面角 半平面的定義平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分,這兩部分通常稱為半平面二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角二面角的相關(guān)概念這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面二面角的畫法二面角的記法二面角-l-或-AB-或P-l-Q或P-AB-Q 續(xù)表二面角的平面角定義在二面角-l-的棱l上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足,在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱l

2、的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的AOB叫做二面角的平面角圖形范圍AOB的范圍是0AOB180 平面與平面垂直的定義文字語言一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直圖形語言符號語言 平面與平面垂直的判定定理文字語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面垂直圖形語言符號語言l,l作用面面垂直線面垂直;作面的垂線 平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,那么這條直線與另一個(gè)平面垂直圖形語言符號語言, =l,a,ala1.若l,則過l有無數(shù)個(gè)平面與垂直.()2.兩個(gè)互相垂直的平面所形成的四個(gè)二面角

3、的大小均為90.()3.若,=l,al,則a.()提示：缺少條件a.4.二面角-l-的棱l上任一點(diǎn)O滿足AOBO,AO,BO,則AOB是二面角-l-的平面角.()提示：“AOBO”不符合二面角-l-的平面角的定義,應(yīng)該為“AOl,BOl”.5.若兩個(gè)平面互相垂直,則一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面垂直.()提示：這條直線與另一個(gè)平面可以垂直、平行或斜交.判斷正誤，正確的畫“” ，錯(cuò)誤的畫“ ” . 如何證明平面與平面垂直 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,證明平面PCD與平面PAD垂直. 1.在平面PCD中,找出一條與平面PAD垂直的直線.提示:在平面PCD中,與

4、平面PAD垂直的直線是CD.2.如何證明問題1中的線面垂直?提示:因?yàn)镻A平面ABCD,所以PACD,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以CDAD,又ADPA=A,AD平面PAD,PA平面PAD,所以CD平面PAD.3.如何證明平面PCD與平面PAD垂直?提示:因?yàn)镃D平面PAD,CD平面PCD,所以平面PCD平面PAD. 證明平面與平面垂直的方法 1.利用平面與平面垂直的定義來證明. 基本步驟: 找出兩相交平面的平面角; 證明這個(gè)平面角是直角; 根據(jù)定義,這兩個(gè)相交平面互相垂直. 2.利用平面與平面垂直的判定定理:若一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線,則兩個(gè)平面互相垂直. 基本步驟: 定思路:分析題意

5、,根據(jù)題中已知條件,在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直; 證線面:選擇恰當(dāng)方法證明線面垂直; 證面面:根據(jù)面面垂直的判定定理證明. 3.若一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂面平行,則這兩個(gè)平面互相垂直.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,ABCD,BAD=90,PAD為等邊三角形,M是PB的中點(diǎn),AB=AD=DM=2CD=2.(1)證明:平面PAD平面ABCD;(2)求直線DM與平面PBC所成角的正弦值.思路點(diǎn)撥(1)要證面面垂直,需先證線面垂直,可根據(jù)面面垂直的判定定理求證.(2)通過VP-BCD=VD-PCB求出點(diǎn)D到平面PBC的距離d,再結(jié)合正弦函數(shù)定義即可求解.解析(

6、1)證明:取PA的中點(diǎn)N,連接MN,DN,M,N分別是PB,PA的中點(diǎn),MNAB,且MN=AB=1,易知DN=,又DM=2,DN2+MN2=DM2,DNMN,ABDN.ABAD,ADDN=D,AB平面PAD,AB平面ABCD,平面PAD平面ABCD.(2)如圖,連接BD,CM,由(1)知,AB平面PAD,ABPA,在RtPAB中,PB=2,同理PC=,在直角梯形ABCD中,BC=,BD=2,PC=BC,又M為PB的中點(diǎn),CMPB,CM=,由題意得SPCB=PBCM=2=,SBCD=CDAD=12=1,設(shè)O為AD的中點(diǎn),連接PO,由題意得POAD,PO=,平面PAD平面ABCD,PO平面PAD,

7、平面PAD平面ABCD=AD,PO平面ABCD,設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為d,VP-BCD=VD-PCB,SDCBPO=SPCBd, 解得d=,設(shè)直線DM與平面PBC所成的角為, DM=2, 直線DM與平面PBC所成角的正弦值sin =.如圖,ABC為正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點(diǎn).求證:(1)DE=DA;(2)平面BDM平面ECA;(3)平面DEA平面ECA.思路點(diǎn)撥(1)取EC的中點(diǎn)F,連接DF,證明RtEFDRtDBA,從而可得DE=DA.(2)取CA的中點(diǎn)N,連接MN,BN,可得MNBD,由EC平面ABC,可得ECBN,又CABN,從而可得BN

8、平面ECA,進(jìn)而得平面BDM平面ECA.(3)由DMBN,BN平面ECA可推出DM平面ECA,再由面面垂直的判定定理得平面DEA平面ECA.證明(1)如圖,取EC的中點(diǎn)F,連接DF.因?yàn)镋C平面ABC,BC平面ABC,所以ECBC. 易知DFBC,所以DFEC.因?yàn)锽DEC,所以BD平面ABC,因?yàn)锳B平面ABC,所以BDAB.在RtEFD和RtDBA中,因?yàn)镋F=EC,EC=2BD,所以EF=BD.又FD=BC=AB,DFE=DBA,所以RtEFDRtDBA,故DE=DA.(2)取CA的中點(diǎn)N,連接MN,BN,則MNEC,且MN=EC,CABN.因?yàn)镋CBD,所以MNBD,所以MN平面BDM

9、.因?yàn)镋C平面ABC,所以ECBN.又CABN,ECCA=C,所以BN平面ECA.因?yàn)锽N平面MNBD,所以平面MNBD平面ECA,即平面BDM平面ECA.(3)易知DMBN,又BN平面ECA,所以DM平面ECA.又DM平面DEA,所以平面DEA平面ECA. 如何求二面角的大小 1.求二面角的平面角大小的步驟 簡稱為“一作二證三求”. 2.作二面角的平面角的常見方法 (1)定義法:在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn),過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖,AOB為二面角-l-的平面角. (2)垂面法:過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面各有一條交線,這兩條交線所成的角即二面角的

10、平面角.如圖,AOB為二面角-l-的平面角. (3)垂線法:如圖,過二面角的一個(gè)半平面內(nèi)不在棱上的點(diǎn)A向另一個(gè)平面作垂線,垂足為B,由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線,垂足為O,連接AO,則AOB為二面角-l-的平面角.已知RtABC,斜邊BC,點(diǎn)A,AO,O為垂足,ABO=30,ACO=45,求二面角A-BC-O的大小.思路點(diǎn)撥過O作ODBC,垂足為D,連接AD,則ADO是二面角A-BC-O的平面角,在三角形中求出ADO的大小,即二面角A-BC-O的大小.解析如圖所示,在平面內(nèi),過O作ODBC,垂足為D,連接AD.AO,BC,AOBC.又AOOD=O,AO,OD平面AOD,BC平面AOD.AD平面AO

11、D,ADBC.ADO是二面角A-BC-O的平面角.由AO,OB,OC,知AOOB,AOOC.設(shè)AO=a,ABO=30,ACO=45,AC=a,AB=2a.在RtABC中,BAC=90,BC=a,AD=a.在RtAOD中,sinADO=.ADO=60.故二面角A-BC-O的大小是60.誤區(qū)警示二面角的平面角是唯一確定的,與頂點(diǎn)的位置無關(guān),解題時(shí)可把頂點(diǎn)選在有利于解題的特殊位置.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分別是A1B1,BC,C1D1,B1C1的中點(diǎn).(1)求證:平面MNF平面NEF;(2)求二面角M-EF-N的平面角的正切值. 思路點(diǎn)撥(1)將面面垂直的證明轉(zhuǎn)化為

12、線面垂直的證明來解決.(2)作出二面角的平面角,在三角形中求二面角M-EF-N的平面角的正切值.解析(1)證明:因?yàn)镹,F分別為所在棱的中點(diǎn),所以NF平面A1B1C1D1.又MN平面A1B1C1D1,所以NFMN.因?yàn)镸,E分別為所在棱的中點(diǎn),所以C1MN和B1NE均為等腰直角三角形.所以MNC1=B1NE=45.所以MNE=90.所以MNNE.因?yàn)镹FNE=N,所以MN平面NEF.又MN平面MNF,所以平面MNF平面NEF.(2)在平面NEF中,過點(diǎn)N作NGEF于點(diǎn)G,連接MG.由(1)知MN平面NEF,又EF平面NEF,所以MNEF.又MNNG=N,所以EF平面MNG.所以EFMG.所以M

13、GN為二面角M-EF-N的平面角.設(shè)該正方體的棱長為2.在RtNEF中,NG=,所以在RtMNG中,tanMGN=.所以二面角M-EF-N的平面角的正切值為.方法總結(jié)1.求二面角的關(guān)鍵是找出(或作出)其平面角,再把平面角放到三角形中求解.一般采用垂線法來作平面角,即過在二面角的一個(gè)半平面內(nèi)且不在棱上的一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線,過垂足作棱的垂線,利用線面垂直可找到二面角的平面角.2.充分理解二面角的意義:(1)要注意二面角與兩相交平面所成的角并不一致.(2)要注意二面角的平面角與頂點(diǎn)在棱上且角兩邊分別在二面角的半平面內(nèi)的角的聯(lián)系與區(qū)別. 與垂直有關(guān)的探索性問題 如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,

14、底面ABCD是邊長為a的菱形,側(cè)面PAD為等邊三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. 1.若E為BC邊上的中點(diǎn),能否在棱PC上找到一點(diǎn)F,使平面DEF平面ABCD?提示:能在棱PC上找到一點(diǎn)F,使平面DEF平面ABCD.2.如何確定問題1中F點(diǎn)的位置?提示:當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí),滿足平面DEF平面ABCD.3.如何證明問題2中的結(jié)論?提示:如圖,取AD的中點(diǎn)G,連接PG,BG.因?yàn)镕為PC的中點(diǎn),所以在PBC中,EFPB.在菱形ABCD中,GBDE,而PBGB=B,EFDE=E,PB,GB平面PGB,EF,DE平面DEF,所以平面DEF平面PGB.易得PGAD,又因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,平面

15、PAD平面ABCD=AD,PG平面PAD,所以PG平面ABCD,而PG平面PGB,所以平面PGB平面ABCD,所以平面DEF平面ABCD. 1.空間中的垂直關(guān)系有線線垂直、線面垂直、面面垂直,這三種關(guān)系不是獨(dú)立的,而是相互關(guān)聯(lián)的.它們之間的關(guān)系如下: 直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平面垂直 2.解題時(shí),要抓住幾何圖形自身的特點(diǎn),如等腰(邊)三角形的三線合一、中位線定理、菱形的對角線互相垂直等.還可以通過解三角形,求出一些所需要的條件,解決一些較復(fù)雜的問題,要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.如圖,已知三棱柱ABC-ABC的側(cè)棱垂直于底面,AB=AC=2,BAC=90,點(diǎn)M,N分別為AB和BC的中點(diǎn).當(dāng)A

16、A為何值時(shí),CN平面AMN?試證明你的結(jié)論. 思路點(diǎn)撥設(shè)AA的長度為a,利用CN平面AMN列出方程求解.解析連接BN,設(shè)AA=a,由題意知BC=2,NC=BN,三棱柱ABC-ABC的側(cè)棱垂直于底面,平面ABC平面BBCC,AB=AC,AB=AC,又點(diǎn)N是BC的中點(diǎn),ANBC,又平面ABC平面BBCC=BC,AN平面BBCC,CNAN.要使CN平面AMN,只需CNBN即可,在RtCCN中,NC=,NC=BN=,由NC2+BN2=BC2,得2=,a=,當(dāng)AA=時(shí),CN平面AMN.如圖,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,ADC=DCB=90,AD=1,BC=3,PC=CD=2,PC平面ABCD,在線段AB上是否存在一點(diǎn)E ,使平面PDE平面PAC?若存在,說明E點(diǎn)位置;若不存在,請說明理由. 思路點(diǎn)撥要使平面PDE平面PAC,可在平面PDE內(nèi)找一直線垂直于平面PAC,易得DEPC,則只需在線段AB上找到一點(diǎn)E,使得DEAC即可.解析在線段AB上存在點(diǎn)E,使平面PDE平面PAC,此時(shí)DEAC.證明如下:PC平面ABCD,PCDE.當(dāng)D