3.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用(修改)（優(yōu)選課堂）

1、3.2 獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用 1青苗學班B我們經(jīng)常聽到這些說法：吸煙對患肺癌有影響；數(shù)學好的人物理一般也很好；是否喜歡數(shù)學課程與性別之間有關(guān)系；人的血型會決定人的性格；星座與人的命運之間有某種聯(lián)系. 這些說法都有道理嗎？2青苗學班B探究1 獨立性檢驗的基本思想 對于性別變量，其取值為男和女兩種.這種變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為 .分類變量在現(xiàn)實生活中是大量存在的，如是否吸煙，是否患肺癌，宗教信仰，國別，年齡，出生月份等.分類變量x是變量嗎？y表示一年四季，則y的取值有哪些？y是變量嗎？x表示性別，則x的取值有哪些？3青苗學班B(2)分類變量的取值有時可用

2、數(shù)字來表示，但這時的數(shù)字除了分類以外沒有其他的含義，如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”.對分類變量的理解(1)分類變量的取值一定是離散的，而且不同的取值僅表示個體所屬的類別，如性別變量，只取男、女兩個值，商品的等級變量只取一級、二級、三級等.4青苗學班B不患肺癌患肺癌總計不吸煙7 775427 817吸煙2 099492 148總計9 874919 965問題：為了研究吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了9 965人，得到如下結(jié)果：3-7吸煙與患肺癌列聯(lián)表（單位：人）兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表思考1：你如何由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)判斷吸煙是否對肺癌有影響？能不能從患肺癌的人數(shù)來

3、判斷？應(yīng)該從什么量來判斷？5青苗學班B不患肺癌患肺癌總計不吸煙7 775427 817吸煙2 099492 148總計9 874919 965問題：為了研究吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了9 965人，得到如下結(jié)果：3-7吸煙與患肺癌列聯(lián)表（單位：人）在吸煙者中患肺癌的比重是_. 2.28%在不吸煙者中患肺癌的比重是_, 0.54%由計算結(jié)果，你會做出怎樣的判斷？ 你的判斷一定正確嗎？能知道判斷犯錯誤的概率是多少嗎？6青苗學班B等高條形圖患肺癌比例不患肺癌比例思考2：除了用比例來判斷吸煙是否對患肺癌有影響外？還有其它方法來判斷嗎？（1）觀察等高條形圖，你得到什么結(jié)論？（2）你的

4、判斷一定正確嗎？能知道判斷的正確率是多少嗎？7青苗學班B思考3：通過分析數(shù)據(jù)和圖形，我們得到的直觀印象是“吸煙和患肺癌有關(guān)”但是我們不知道我們判斷的正確率有多大，那么我們是否能夠以一定的把握認為“吸煙與患肺癌有關(guān)”呢？為了回答上述問題，我們先假設(shè):H0：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系用A表示不吸煙， B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”獨立，即假設(shè) H0等價于P(AB）=P(A）P(B) . 8青苗學班B3-8吸煙與患肺癌列聯(lián)表(單位：人) 不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d把表3-7中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表思考4：（1）在表3-8

5、中，事件AB發(fā)生的頻數(shù)是什么？ （3）事件B發(fā)生的頻數(shù)是什么？ （2）事件A發(fā)生的頻數(shù)是什么？ （4）P(AB）、P(A）、P(B)分別是什么？它們之間有什么關(guān)系？ （5）|ad-bc|越小，說明什么問題？|ad-bc|越大，說明什么問題？9青苗學班B即（a+b+c+d)a=(a+b)(a+c)即10青苗學班B11青苗學班B為使不同的樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標準，基于上面的分析，我們構(gòu)造一個隨機變量其中n=a+b+c+d為樣本容量.思考5：（2）K2越大，說明什么問題？ （1）K2越小，說明什么問題？ 結(jié)論：若 H0 成立，即“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”，則K2應(yīng)該很小 12青苗學班B不患肺癌患

6、肺癌總計不吸煙7 775427 817吸煙2 099492 148總計9 874919 965請根據(jù)表3-7中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計算K2的觀測值 3-7吸煙與患肺癌列聯(lián)表（單位：人）13青苗學班B思考6：這個值到底是大還是小，它能告訴我們什么呢？(2）式說明，在H0成立的情況下，K2的觀測值超過 6.635 的概率非常小，近似為0.01，所以K26.635是一個小概率事件，基本不發(fā)生 思考7：（1）我們計算的K2的觀測值k56.632 ，遠遠大于6.635，它發(fā)生的概率大不大？是不是一個小概率事件？（2）你覺H0成立嗎？ （3）你的判斷會犯錯誤嗎？犯錯誤的概率有多大？ （4）上述的方法相比

7、于之前講的兩種方法，它有什么優(yōu)勢？ （5）你能總結(jié)上述檢驗方法及它的一般步驟嗎？ 14青苗學班B（5）你能總結(jié)上述檢驗方法及它的一般步驟嗎？ 結(jié)論：在上述過程中，實際上是借助于隨機變量K2的觀測值k建立了一個判斷H0是否成立的規(guī)則：如果k 6.635，就判斷H0不成立，即認為吸煙與患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷H0成立，即認為吸煙與患肺癌沒有關(guān)系在該規(guī)則下，把結(jié)論“H0 成立”錯判成“H0不成立”的概率不會超過0.01, 即有99的把握認為不成立一般步驟：假設(shè)兩個分類變量X與Y沒有關(guān)系.計算出K2的觀測值k .判斷k的值的大小，即k是不是一個小概率事件，從而確定X與Y有關(guān)的程度或無關(guān)系.15青苗學

8、班B結(jié)論：這種判斷兩個分類變量是否有關(guān)系的方法稱為“獨立性檢驗”1.定義：利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗.思考8：獨立性檢驗與反證法有何異同 ？反證法獨立性檢驗假設(shè)命題的結(jié)論不正確假設(shè)H0：兩個分類變量X，Y沒有關(guān)系在假設(shè)的前提下，推出矛盾在H0成立的條件下，得到一個小概率事件所以假設(shè)不成立，原命題成立所以H0不成立，即兩個分類變量X，Y有關(guān)系16青苗學班B2.獨立性檢驗的一般步驟假設(shè)兩個分類變量X與Y沒有關(guān)系.計算出K2的觀測值k .判斷k的值的大小，即k是不是一個小概率事件，從而確定X與Y有關(guān)的程度或無關(guān)系. 17青苗學班B問題1：如何判斷K2的觀測值k是

9、大還是小呢？ 這僅需確定一個正數(shù)k0，當kk0時就認為K2的觀測值k大此時相應(yīng)于的判斷規(guī)則為：如果kk0 ，就認為“兩個分類變量之間有關(guān)系”；否則就認為“兩個分類變量之間沒有關(guān)系”. 我們稱這樣的k0為一個判斷規(guī)則的臨界值按照上述規(guī)則，把“兩個分類變量之間沒有關(guān)系”錯誤地判斷為“兩個分類變量之間有關(guān)系”的概率為P(K2k0). 在實際應(yīng)用中，我們把kk0解釋為有(1-P(K2k0) 100%的把握認為“兩個分類變量之間有關(guān)系”；把kk0解釋為不能以(1-P(K2k0) 100%的把握認為“兩個分類變量之間有關(guān)系”，或者樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供“兩個分類變量之間有關(guān)系”的充分證據(jù) 18青苗學班B0.

10、500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819青苗學班B問題2：如何用獨立性檢驗的方法來檢驗兩個分類變量X和Y是否有關(guān)系呢？一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為x1，x2和y1，y2， 其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為22列聯(lián)表）為：表3-9 22列聯(lián)表y1y2總計x1aba+bx2cdc+d總計a+cb+da+b+c+d若要推斷的論述為Hl：X與Y有關(guān)系，可以按如下步驟判斷結(jié)論Hl 成立的可能性： 20青苗學班B若要推斷的論述為Hl：X與Y有

11、關(guān)系，可以按如下步驟判斷結(jié)論Hl 成立的可能性： 1計算滿足條件X=x1的個體中具有Y=y1的個體所占的比例 和滿足條件X=x2的個體中具有Y=y2的個體所占的比例 .兩個比例的值相差越大，H1成立的可能性就越大也可以通過畫出等高條形圖，粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，但是以上兩種判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度 2可以利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度具體做法是： 21青苗學班B(3)如果kk0 ，就以(1-P(K2k0) 100%的把握認為“X與Y有關(guān)系”；否則就說樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù) 根據(jù)實際問題需要確定容許推

12、斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤的上界 ，然后查表3-11確定臨界值 ； 0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828表3-11 臨界值表22青苗學班B 例1、在某醫(yī)院,因為患心臟病而住院的665名男性病人中,有214人禿頂,而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂.(1)利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系;(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為禿頂與患心臟病有關(guān)系？例題解析：思考：根據(jù)臨界值表，在犯錯誤的概率不超過

13、0.01的前提下，取的臨界值是什么？23青苗學班B患心臟病患其他病總計禿頂214175389不禿頂4515971 048總計6657721 437(1)相應(yīng)的等高條形圖如下所示，禿頂不禿頂不患心臟病患心臟病解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：由圖可認為禿頂與患心臟病有關(guān)系24青苗學班B因此，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為禿頂與患心臟病有關(guān)系.(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到注意：在熟悉了獨立性檢驗的基本原理后，我們在判斷兩個分類變量是否有關(guān)時，可以直接算出的觀測值（不畫等高條形圖）來解決兩個分類變量的獨立性檢驗問題。但是，借助于圖形可以更直觀地向非專業(yè)人士解釋所得到的統(tǒng)計分析結(jié)果。25青苗學班B26青苗學班B27青苗學班B練習2、在研究某種新藥對小白兔的防治效果時,得到下表數(shù)據(jù):存活數(shù)死亡數(shù)總計未用新藥10138139用新藥12920149總計23058288試分析新藥對防治小白兔是否有效?有99.5%的把握判定新藥對防治小白兔是有效的.解：28青苗學班B練習3、打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關(guān)，下表是一次調(diào)