多元函數(shù)微分學(xué)習(xí)題

1、v1.0 可編輯可修改 第七章 多元函數(shù)微分學(xué)內(nèi)容提要】空間解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)三條相互垂直的坐標(biāo)軸 Ox、 Oy、Oz組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系。 空間直角坐標(biāo)系下兩點(diǎn)間的距離公式為 ： 平面方程： Ax By Cz D 0222二次曲面方程： Ax2 By2 Cz2 Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K 0球面方程： x x20y22y0z z0R2圓柱面方程： x22 yR2x2橢球面方程： 2a22 y22 b22 cz2 c1，a,b,c 0橢圓拋物面方程：2 ax2 a2by2 z,(a,b 0)雙曲拋物面方程：2x2 a2 y b2z,(a,b 0)單葉雙曲面圖方程22 ： x

2、 y22 ab2z2 1( a，b，c2c0)雙葉雙曲面方程：2 ax2 a2 y2 b22z2 1,(a,b,c c0)222橢圓錐面方程： x2 y2 z2 0,(a,b,c 0) abc多元函數(shù)與極限多元函數(shù)的定義：在某一過(guò)程中，若對(duì)變化范圍 D 的每一對(duì)值 (x, y) ，在變域 M 中存 在 z 值，按一定對(duì)應(yīng)法則 f 進(jìn)行對(duì)應(yīng)，有唯一確定的值，則稱 f 為集合 D 上的二元函數(shù)， 記為x, y稱為自變量， D稱為定義域， z稱為因變量。 (x,y)的對(duì)應(yīng)值記為 f (x,y)，稱為函數(shù)值，函數(shù)值的集合稱為值域。多元函數(shù)的極限：設(shè)函數(shù) f (x, y)在開(kāi)區(qū)間(或閉區(qū)間) D內(nèi)有定義

3、， P0(x0,y0) 是D 的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)。如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ，總存在正數(shù) ，使得對(duì)于適合不等式 的一切點(diǎn) P(x,y) D ，都有 成立，則稱常數(shù) A為函數(shù) f (x,y)當(dāng) x x0, y y0時(shí)的極限，記作多元函數(shù)的連續(xù)性： 設(shè)函數(shù) z f (x, y)在區(qū)域 D內(nèi)有定義， 點(diǎn) P0(x0,y0)是 D的內(nèi)點(diǎn)或 邊界點(diǎn)且 P0 D 。如果則稱函數(shù) z f (x, y)在點(diǎn) P0(x0,y0) 處連續(xù)。多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù) z f(x,y)在點(diǎn) ( x0 , y0 )的某一鄰域內(nèi)有定義， 當(dāng) y固定在 y0而x在 x0 處有增量 x時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量如果極限存在

4、，則稱此極限為函數(shù) z f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)處對(duì) x的偏導(dǎo)數(shù) ， 記作zx x0 ，x y y0 x x0 x y y0zx x x0 y y0或 fx(x0,y0)同理，如果極限 lim f (x0,y0+Dy)- f(x0,y0) Dy? 0 Dy存在，則稱此極限為函數(shù) z f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)處對(duì) y的偏導(dǎo)數(shù) ， 記作x x0y y0 x x0y y0zy x=x0 ， 或 fy(x0,y0) y=y0二元函數(shù) z f (x, y)在點(diǎn)(x0, y0 )的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 fx(x0,y0)是過(guò)曲面 z f(x,y)上點(diǎn) M0(x0,y0, f (x0,y0)的曲

5、線 在點(diǎn) M 0處的切線 Tx對(duì) x軸的斜率。5二階偏導(dǎo)數(shù)z2z z2z( z)2zfxx(x,y)，( z)zfxy(x,y) ，x x x y x x y22( z)z f yx(x, y) ， ( z)2z fyy(x,y)。x y y x y y y如果函數(shù)2z2 zz f (x, y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) z 及 z 在區(qū)域 D內(nèi)連續(xù)， 那么 y x x y在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。全微分如果函數(shù) z f (x,y)在點(diǎn) f ( x, y)的全增量可表示為其中 A、B不依賴于 x、 y 而僅與 x、 y有關(guān)，則稱函數(shù) z f (x,y)在點(diǎn) f (x,y)可微分， 而稱

6、A x B y為函數(shù) z f(x,y)在點(diǎn) ( x, y)的全微分，記作 dz，即如果函數(shù) z f (x,y) 的偏導(dǎo)數(shù) z 、 z 在點(diǎn) (x,y) 連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分 xy復(fù)合函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形如果函數(shù) u(t)及 v (t)都在點(diǎn) t可導(dǎo)，函數(shù) z f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn) (u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) z f( (t), (t)在點(diǎn) t可導(dǎo)，且有復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形如果函數(shù) u (x y) v(x y)都在點(diǎn) (x y)具有對(duì) x及 y的偏導(dǎo)數(shù) 函數(shù) z f (u v) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn) (u v) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則復(fù)合函數(shù) z=f j (

7、 x y) ， ( xy) 在點(diǎn) (x y) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在且有全微分形式不變性無(wú)論 z是自變量 u、 v的函數(shù)或中間變量 u、 v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的 ,這 個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性。隱函數(shù)微分法在點(diǎn) (x0,y0) 的某鄰域內(nèi)， 若函數(shù) F ( x, y)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) Fx 、Fy，且F(x0,y0) 0 ， 則在 Fy(x0, y0)0 時(shí)，方程 F(x,y) 0確定唯一的、有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) y f(x)，滿足 y0 f(x0)及 F(x,f(x) 0。這個(gè)定理稱為隱函數(shù)存在定理。隱函數(shù)存在定理給出了隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，即 由 F(x, y) 0 ，兩邊全微分得 Fxdx

8、Fydy 0， 由 Fy 0，得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 dyFx 。dx Fy二元函數(shù)的極值設(shè)函數(shù) z f (x,y)在點(diǎn) (x0, y0) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0, y0)的點(diǎn) (x, y)，都有f (x, y) f(x0, y0)(或 f (x,y) f (x0, y0)則稱函數(shù)在點(diǎn) (x0,y0)有極大值 (或極小值 ) f (x0,y0)。極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。設(shè)函數(shù) z f(x,y)在點(diǎn) (x0, y0 )具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn) ( x0 , y0)處有極值，則有fx(x0,y0) 0， fy(x0,y0) 0設(shè)函數(shù) z f(x,y

9、)在點(diǎn) (x0,y0) 的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，fx(x0,y0) 0， fy(x0,y0) 0， 令則在點(diǎn) (x0, y0) 處是否取得極值的條件如下：AC- B20 時(shí)具有極值，且當(dāng) A0 時(shí)有極小值；AC- B20， 又 A0， 所以函數(shù)在 (1,5)處有極大值 f (1,5) 50 ，取得最大利潤(rùn)50 時(shí)的兩種產(chǎn)品的價(jià)格分別為 15 和 17，銷量分別為 1 和 5?！菊n外練習(xí)】一、單選題1點(diǎn) M 2, 3,1 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是( )。A( 2， 3， 1)B( 2， 3， 1)C( 2， 3， 1)D( 2， 3， 1)2球面方程 x2 y2z2 2x2z 0的球心

10、 M0 及半徑R 分別為()A M 0(1,0,1) ， R2B M 0 ( 1,0,1)，R2C M0( 1,0, 1) ，R2D M 0(1,0,1)，R23在空間直角坐標(biāo)系中，2x222y2 z 的圖形是()。A球面B 圓柱面C 圓周 D旋轉(zhuǎn)拋物面4在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) M1(1,0,2)和點(diǎn) M 2(0,3, 2)之間的距離 d ( )。A 10 B 24 C 26 D 8 5平面方程 Ax By Cz D 0 中，若 A 0，則此平面()。A函數(shù)在點(diǎn)A平行于 YOZ平面 B 過(guò)原點(diǎn) C 平行于 x 軸 D 過(guò) x 軸 6函數(shù) z f(x,y)在點(diǎn) P0(x0,y0) 處間斷，則()

11、。P0處一定無(wú)定義B 函數(shù)在點(diǎn) P0 處一定極限不存在C函數(shù)在點(diǎn)P0處可能有定義，也可能有極限D(zhuǎn)函數(shù)在點(diǎn)P0處一定有定義，且有極限，但二者不等7設(shè) zACf (x,y)，則 |(x0,y0) (xlim f (x0 x,y0 y) f (x0,y0) B x 0 xx, y0) f (x0, y0)D)。 lim f (x0 x0 x,y) f (x0 ,y0)lim f (x0 x0 x lim f (x0 x,y0)x 0 x8 二元函數(shù)z f(x,y)在點(diǎn) ( x0, y0 )得滿足關(guān)系()。A可微可導(dǎo) 連續(xù)可微可導(dǎo) 連續(xù)C可微可導(dǎo)，可微 連續(xù)D 可導(dǎo)連續(xù)，反之不行)。9若 fx(x0,

12、y0) fy(x0,y0) 0 ，則f(x,y)在點(diǎn) ( x0 , y0)處有極值的(A 充要條件B 必要條件C 充分條件D 既不是充分條件，也不是必要條件10設(shè)函數(shù) f (x, y)的駐點(diǎn)為 (x0, y0)，A fxx(x0,y0)，Bfxy(x0,y0)，Cfyy(x0,y0)，)。B2 AC ，則 (x0, y0) 為極大值點(diǎn)的充分條件是(A0,A 00,A 0 C0,A0,A 0、填空題1設(shè)有曲面方程x2y 2z，當(dāng) pq 0 時(shí)，則方程表示的曲面為 ( q)；當(dāng) pq 0時(shí)，方程表示的曲面為4x2 y 2函數(shù) z 2 2 的定義域是 ln(1 x2 y2)3設(shè)f(x,y)22xy

13、2 ，則 f(1, y) x y x4設(shè)2xyxy2 ，而 x ucosv，zy usinv ，則u，zv5設(shè)(2xy)x 2y ，則 dz6設(shè)arctan(xy) ，則 dz7若函數(shù)z xy ，當(dāng) x 10，y 8 ， x0.2， y0.1時(shí)，函數(shù)的全增量全微分 dz三、判斷題1.函數(shù) z arccos(x 2 y2) 的定義域?yàn)?的那些點(diǎn)。2.x2 y 2 z2設(shè) u ex y z ，而 z x2 sin y ，則2 2 22zex y z 2x 。3.若點(diǎn) (x0,y0) 是z f(x,y) 的極值點(diǎn) , 則一定有 fx(x,y)0.fy(x, y)0。4.函數(shù)f(x,y) 2 1 2

14、的定義域是整個(gè)平面。2x 2 2y25.函數(shù)f (x,y) 在P(x, y)點(diǎn)偏導(dǎo)存在，則在該點(diǎn)一定連續(xù)。6.對(duì)zf (x, y) ,若Zxy與Zyx都存在 ,則它們一定相等 ( )7.函數(shù)f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù) zx,zy在點(diǎn) P(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)的全微分存在。四、計(jì)算及證明題122已知函數(shù) f ( x， y) ( x 1) 2y，求 f (1，2)。 求下列各函數(shù)的定義域。1) zxy ；2) zy13) z4)zy2ln(12x2)5)zln(y x) ln(1 x2x2y2)6)1z；7)uR2 x2z23證明下列極限不存在。1) lim x y ；(x,y) (0,0) x

15、y2) lim(0,0)(x,y)4x y 。2 4 3 。 (x y )4求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)。1)z1222 y22)5求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。(1)z = x3 y - y3x ；(2)z=ln xy；(3)2z= sin( xy) + cos (xy)(4)xln tan ；y(5)f - q z= ef-q；(6)xy/z。6求 z x y2在點(diǎn) (0，1)當(dāng)x、y時(shí)的全微分。7求 zln (xy)在點(diǎn)(2 ， 1)的全微分。 8求下列函數(shù)的全微分：(1)u ln 1 x2 y2 ；(2)x+yu = e cosxcosy ；(3)2 2 2 2 u a x y z ；(4)u xy si

16、n(1/ x2 y2) ；(5)y z x u x y z ；(6)u2xyz 。9求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。(1)z xln (xy) ；(2)x z y 。10f (x，y)exsiny ，求f xx ( 0,) ，fxy (0,)， f yy (0, ) 。11x若 u z arctan ，證明2u2u222u20。yxyz12設(shè) u arctan xy 、 ye 、 z(ax1) ，求 du 。 z dx13設(shè)z ln( x2 y) 、 y lnx ，求 dz。 dx14設(shè)1 2 zz 1 ， x3t s ， y4t2sins ，求 、 x y t15f、(1) zg 有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

17、求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。 y2, yx） ；xexy f (x 2(2)f(xy)xg(x y) 。y16設(shè)17設(shè)u ln（ x yz） 、 z exy ，求一階偏導(dǎo)數(shù)。 w F （xy， yz） ， F有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明wy。y18作一個(gè)三角形，使其三內(nèi)角的正弦之積為最大。19求半徑為 R 的圓內(nèi)接最大面積的三角形。課外練習(xí)】參考答案、單項(xiàng)選擇題1. A 2. A 3. B 4. C 5. C 6. C 7. C 8. C9. D 10. D1.3.5.6.、填空題橢圓拋物面；雙曲拋物面 2. （ x,y）|4xy2 0,1 x2 y2 0,x2y2 02xy2x2x2 4. 3u2 sin

18、 v cos v(cosv y24y (2x y)ln(2 xy)(2 x y)sinv) ，2 y 1 dx2u3sinvcosv(sinv cosv)3 3 3u (sin v cos v)x 2y (4x 2y)ln(2 x y)(2 x y)x 2y 1dyydx xdy 7.1 (xy)2 7.8.2y2exy(ez(ez2)23 y2e 2xy z 9. 0.58 ，2)39. 0.58三、判斷題1. 是 2. 錯(cuò) 3. 錯(cuò)4.5. 錯(cuò)6.7. 是四、計(jì)算及證明題1. f (1,2) (1 1)22 （ 1） 由 xy 0 ，得 xy0或0342)由3) 由4)由yx(5) 由11

19、0y12x2x2x2 y2 y20，02x2x2y2y(6) 定義域?yàn)椋?7)由 xR22x(1)(2)2 x2 y當(dāng) (x,y) 沿 y2 y2z2z2r0，00趨于點(diǎn)(0,0) 時(shí)，2xy2 xlimxyx00 x ylim 1x0 x當(dāng)(x,y)沿 x 0趨于點(diǎn) (0,0) 時(shí)，所以 lim xx0y0當(dāng) (x,y) 沿 ymli所以 limx0y0lim x yx 00 x ylim y 1 y 0 yy 的極限不存在 .y0趨于點(diǎn) (0,0) 時(shí)，極限mli12 m li不存在，44 xy(x243y)的極限不存在 . 。(1) 間斷點(diǎn)為 (0,0) ；(2) 間斷點(diǎn)是直線 y x

20、。x 3 3y1 2 x5(1)(2)(3)(4)(5)(6)6 zx7 zx8(1)(2)(3)(4)(5)(6)9(1)23x y3zy，yz1y1z1x1x2 ln xyxy2x lnxyy2 lnxy xy2y ln xyzxycos(xy)2 cos(xy) sin(xy)y ycos( xy)sin( 2xy )z12x122xz1 2 xx 2x 2xseccsc ，sec( 2 ) 2 cscxtan xyyyyyxytany y yyyzze ， ey xzyx z lnxyxzyln x1，2y1，2x2y12y21 x2 y2ycosx cos yysin x cosya2x22x2 y2z222yz1 ysin 2 x2y21xycos 2 2x2 y2x(x2y2)3)，y 1 z x yx y zxy y zzxln z xyyzzx(yxln z)2xyz ln 2yz，2 xyz ln 2 xz，2xyzln 2 xyln( xy) 1， zyxy(2)2z2x2zxyyxxy2z2y2x2 y2lnxxy2z2xyx ln2y，xxy1 lnyx 1(xln1)2z2yx(x 1)yx 210fx(x,y) ex sinf y (x,y)xe cosyfxx(x,y) ex sinyfxy(x,y)fyx(x,y)xe cosyf y