兩條直線的位置關(guān)系（一）

1、PAGE 第七章直線和圓的方程第六課時7.3.1兩條直線的位置關(guān)系（一）教學目標（一）教學知識點1兩直線平行的充要條件.2兩直線垂直的充要條件.（二）能力訓練要求1掌握斜率存在的兩直線平行或垂直的充要條件.2能根據(jù)直線方程判斷兩條直線是否平行或垂直.3能夠建立恰當?shù)淖鴺讼担媒馕龇ㄗC明平面幾何定理.4能用解析法解決平面幾何問題.（三）德育滲透目標1能用聯(lián)系的觀點看問題.2能用“一分為二”的思想看問題、分析解決問題.教學重點兩直線平行或垂直的充要條件.教學難點兩直線平行或垂直的充要條件的理解與應用.教學方法學導式兩條直線的平行或垂直關(guān)系在初中平行幾何中對于學生并不陌生.本節(jié)將從一個新的角度，即通

2、過直線方程來研究平面內(nèi)兩條直線的平行或垂直關(guān)系.要注意引導學生將平面幾何中兩條直線平行或垂直關(guān)系的判定條件轉(zhuǎn)化為兩直線方程的關(guān)系.教具準備幻燈片四張第一張：直線的方向向量概念（記作7.3.1A）第二張：兩直線平行問題（記作7.3.1B）第三張：兩直線垂直問題（記作7.3.1C）第四張：本節(jié)例題（記作7.3.1D）教學過程課題導入師在初中幾何中，我們研究過平面內(nèi)兩條直線互相平行和垂直的位置關(guān)系，現(xiàn)在，我們研究怎樣通過直線的方程來判定平面直角坐標系中兩條直線的平行或垂直的關(guān)系.首先，我們來復習平面向量的有關(guān)知識.（給出幻燈片7. 3. 1A）直線上的向量及與它平行的向量都稱為直線的方向向量.直線P

3、1P2的方向向量的坐標是（x2x1，y2y1）其中P1（x1，y1），P2(x2，y2)，當x1x2，時，向量也是的方向向量，且它的坐標是，即（1，k），其中k是直線P1P2的斜率.師另外，我們回顧一下兩非零向量a、b互相垂直的充要條件是什么？生ab ab0.師好，下面我們就開始討論兩條直線的平行問題.講授新課（給出幻燈片7. 3. 1B）1兩條直線的平行問題結(jié)論：當直線l1和l2有斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2時，l1l2k1k2且b1b2.說明：當k1或k2不存在時，容易判定兩條直線的位置關(guān)系.指導：設(shè)直線l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，如果l1l2（如圖），那么

4、直線l1和l2在y軸上的截距不相等，即b1b2，但它們的傾斜角相等，即.（為什么？）生根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”.反過來，如果b1b2，則l1和l2不重合.又如果k1k2，即，那么由0180，0180，并利用正切函數(shù)的圖象，可知，所以l1l2.（為什么？）生根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”.師下面，我們繼續(xù)研究兩直線垂直的關(guān)系.2兩條直線的垂直問題結(jié)論：如果兩條直線的斜率為k1和k2，那么，這兩條直線垂直的充要條件是k1k21.說明：當k1或k2不存在時，容易判定兩直線是否垂直.推導：設(shè)直線l1、l2的斜率分別是k1和k2，則直線l1有方向向量a（1，k1），直線l2有方向向量b(1，k2)

5、.根據(jù)兩向量垂直的充要條件，可知：l1l2abab011k1k20，即l1l2k1k21.師下面我們通過題組訓練來進一步熟悉兩直線平行或垂直的條件.3題組訓練題組訓練一例1a為何值時，直線（a1）x2y40與xay10，（1）平行；（2）垂直.師請大家結(jié)合這節(jié)課推導的兩直線的平行或垂直的條件，進行求解，在熟悉題目以后，可以談一下自己的解題思路.生甲為了利用兩直線平行或垂直的條件，可以表示出兩直線的斜率，直線(a1)x2y40的斜率為k1，直線xay10的斜率為k2，然后套用兩直線平行或垂直的條件.生乙“生甲”在求解直線xay10的斜率時有問題，因為a是否為0并不確定，所以不能直接表示為，而應對

6、a是否為0進行討論，當a0時，斜率可以表示為；當a0時，直線xay10的斜率不存在，此時應考慮直線（a1）x2y40的斜率是否為0.生丙此題也可以從直線（a1）x2y40的斜率入手進行討論：當a10時，斜率表示為；當a10時，直線（a1）x2y40的斜率為0，此時應考慮直線xay10的斜率是否不存在.師好的，下面大家根據(jù)自己的理解寫出具體的解答過程.解：當a0或1時，兩直線既不平行，也不垂直.當a0且a1時，直線（a1）x2y40的斜率為k1，b12；直線xay10的斜率為k2，b2.當k1k2，b1b2，即，a時，解得a1或a2.所以當a1或2時，兩直線平行；當k1k21，即所以當時，兩直線

7、垂直.例2直線l1：2x(m1)y40與直線l2：mx3y20平行，則m的值為（）A2B3C2或3D2或3師大家結(jié)合兩直線平行的充要條件進行求解.解法一：l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20.當m0時，顯然l1不平行于l2；當m0時，若l1l2，須由式有m2m60，解得m2或m3.顯然m2或m3滿足.應選C.解法二：若l1l2，須23m(m1)0，解得m3或m2.當m3或2時，A1C2A2C12（2）m444m0，m3或2為所求.應選C.師大家根據(jù)上述兩個例題，考慮如何根據(jù)直線方程的一般式判定兩直線平行.生丁針對直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.由l1l2k1k2

8、且b1b2，得即A1B2A2B10且B1C2B2C10.生戊在表示直線的斜率時，應討論分母是否為0，上述情況可作為B10，B20的情形.當B10，B20時，l1l2，即A1C2A2C10.綜上所述，l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10或A1C2A2C10.師上述判定方法避開了斜率存在和不存在兩種情況的討論，可以減小因考慮不周而造成失誤的可能性.例3直線（a2）x(1a)y30與(a1)x(2a3)y20互相垂直，則a為（）A1B1C1D解：A1a2，A2a1，B11a，B22a3.兩直線垂直，(a2)(a1)(1a)(2a3)0.整理，得(a1)(a1)0.a1，應選C.師下面大家

9、仿照例2結(jié)論的推導過程來尋求根據(jù)直線方程的一般式判定兩直線垂直的條件.生己設(shè)l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.當B10，B20時，k1l1l2，即A1A2B1B20，當B10時，A20；當B20時，A10，滿足A1A2B1B20.綜上所述：l1l2 A1A2B1B20.師從這位同學的思路可以看到上述判定方法包含了上述分析的兩種情況，避開了對斜率的分類討論.題組訓練二例4求與直線3x4y10平行且過點（1，2）的直線l的方程.分析：本題已知一點坐標，故可考慮用直線方程的點斜式求解，而互相平行的兩直線斜率相等；或者可設(shè)出與l平行的直線系方程，再利用題設(shè)求解.解法一：設(shè)直線l的斜率

10、為k.l與直線3x4y10平行，k又l經(jīng)過點（1，2），可得所求直線方程為y2即3x4y110.解法二：設(shè)與直線3x4y10平行的直線l的方程為3x4ym0.l經(jīng)過點（1，2），3142m0，解得m11.所求直線方程為3x4y110.例5已知ABC的頂點坐標為A（1，2），B（1，1），C（0，3），求BC邊上的高所在的直線方程.分析：BC邊上的高所在的直線的斜率與直線BC的斜率互為負倒數(shù)，然后用點斜式求解.解：設(shè)BC邊上的高所在直線斜率為k，則kkBC1.又kBC，k.由點斜式得y2(x1)，即x2y50.例6求與直線3x4y10平行，且在兩坐標軸上截距之和為的直線l的方程.分析：由l與直線

11、3x4y10平行聯(lián)想，可設(shè)直線l的方程為3x4ym0，也可由兩截距之和為解法一：設(shè)直線l的方程為3x4ym0，令x0，得y軸上截距b，令y0，得x軸上截距a，解得m4.所求直線l的方程為3x4y40.解法二：設(shè)直線l方程為所求直線方程為3x4y40.師下面大家通過練習進一步熟悉兩直線平行或垂直條件的應用.課堂練習1判斷下列各對直線是否平行或垂直.（1）y3x4與2y6x10；（2）yx與3x3y100；（3）3x4y5與6x8y7.解：（1）兩直線平行.（2）k11，k21.k1k21， 兩直線垂直.（3）k1k2，k1k21，兩直線既不平行也不垂直.2求過點A（2，3）且分別適合下列條件的直

12、線的方程.（1）平行于直線2xy50；（2）垂直于直線xy20.解：（1）k2，y32(x2)，即2xy70.（2）k1，y3(x2)，即xy50.3已知兩條直線l1、l2，其中一條沒有斜率，求這兩條直線有以下位置關(guān)系的充要條件：（1）平行；（2）垂直.解：（1）另一條直線也沒有斜率，且兩條直線在x軸上的截距不相等.（2）另一條直線斜率為0.4討論下列各對直線是否平行或垂直.（1）l1：AxByC10；l2：AxByC20；（2）l1AxByC10；l2BxAyC20.解：（1）當C1C2時，l1l2；l1與l2不可能垂直.（2）l1l2.課時小結(jié)師通過本節(jié)學習，要求大家掌握兩直線平行和垂直的

13、充要條件，并能進行簡單的應用.同時注意兩直線平行或垂直的充要條件的適用前提.課后作業(yè)（一）課本P53習題7. 31證明下列直線互相平行.（1）3x5y40，6x10y70;（2）2x4y30，x2y0.證明：（1）k1k1k2，b1b2，兩直線互相平行.（2），k1k2，b1b2，兩直線互相平行.2根據(jù)下列條件，求直線的方程.（1）經(jīng)過點A（3，2），且與直線4xy20平行；（2）經(jīng)過點C（2，3），且平行于過兩點M(1，2)和N（1，5）的直線；（3）經(jīng)過點B（3，0），且與直線2xy50垂直.解：（1）k4，由點斜式得y24(x3)，即4xy140.（2）由點斜式得y3，即7x2y200.

14、（3），由點斜式得即x2y30.4證明下列直線互相垂直（1）2x3y40；（2）3x2y10.證明：k1k21，兩直線互相垂直.5已知兩點A（7，4），B（5，6），求線段AB的垂直平分線的方程.解：kABAB的垂直平分線斜率為，AB中點（1，1）.由點斜式得y1(x1)，即6x5y10.（二）1預習內(nèi)容：P47492預習提綱：（1）直線l1到l2的角與l1、l2的夾角這兩個概念有何區(qū)別？（2）直線l1到l2的角與l1、l2的夾角的范圍一樣嗎？板書設(shè)計7.3.1兩條直線的位置關(guān)系（一）1平行問題：2垂直問題： l1l2l1l2（存在斜率）（k1，k2存在）3例1學生例2練習例3備課資料一、參考

15、例題例1兩條直線A1xB1yC10，A2xB2yC20垂直的充要條件是（）AA1A2B1B20BA1A2B1B20CD解：當B1B2都不為零時，k1k2，A1A2B1B20.當B10時，兩直線垂直的充要條件是A20；當B20時，兩直線垂直的充要條件是A10，所以滿足A1A2B1B20，故選A.評述：一定要注意A1，B1及A2，B2不能同時為零，也要注意斜率等于零與斜率不存在的兩條直線互相垂直.例2如果直線ax2y20與直線3xy20平行，那么系數(shù)a為（）A3B6CD解：若兩直線平行，則，解得a6.故選B.評述：此題通過直線方程的系數(shù)比例關(guān)系來判斷兩直線的位置關(guān)系.二、參考練習題1若原點在直線l上的射影是點P（2，1），則直線l的方程是（）Ax2y0Bx2y40C2xy50D2xy30解：由已知，得kOP，再由lOP，所以kOPk11.k12.又直線l過點P（2，1），所以l方程為y12(x2)，即2xy50.故選C2若A（4，2），B（6，4），C（12，6），D（2，12），則下面四個結(jié)論正確的個數(shù)是（）ABCDABCDACBDACBDA1B2C3D4解：kABAB方程為y2(x4)，即3x5y20.C（12，6）不在AB上.ABCD.又kADkABkAD1.ABAD.|A