高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 8.6拋物線

1、PAGE PAGE 5 2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析：8.6拋物線（一）拋物線的定義及應(yīng)用相關(guān)鏈接1拋物線的離心率=1，體現(xiàn)了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題，可優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線之間的距離，這樣就可以使問題簡單化。2焦半徑它們?cè)诮忸}中有重要作用，注意靈活運(yùn)用。例題解析例已知拋物線C的對(duì)稱軸與y軸平行，頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5。若將拋物線C向上平移3個(gè)單位，則在x軸上截得的線段長為原拋物線C在x軸上截得的線段長的一半；若將拋物線C向左平移1個(gè)單位，則所得拋物線過原點(diǎn)，求拋物線C的方程。解答：設(shè)所求拋物線方程為(x-h)2=

2、a(y-k)(aR,a0) 由的頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5，得=5在中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。設(shè)方程的二根為x1,x2，則|x1-x2|=2。將拋物線向上平移3個(gè)單位，得拋物線的方程為(x-h)2=a(y-k-3)令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。設(shè)方程的二根為x3,x4，則|x3-x4|=2。依題意得2=2，即 4(ak+3a)=ak 將拋物線向左平移1個(gè)單位，得(x-h+1)2=a(y-k),由拋物線過原點(diǎn)，得(1-h)2=-ak 由得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。所求拋物線方程為(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。（二）

3、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)相關(guān)鏈接1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常采用待定系數(shù)法。利用題中已知條件確定拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p的值；2對(duì)于直線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)問題，“點(diǎn)差法”是常用法。如若是拋物線上兩點(diǎn)，則直線AB的斜率與可得如下等式。注：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類型，所以判斷類型是關(guān)鍵，在方程類型已確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程中只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定一個(gè)拋物線的方程。例題解析例已知如圖所示，拋物線的焦點(diǎn)為，在拋物線上，其橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方，到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5。過作垂直于y軸，垂足為，的中點(diǎn)為。（1）求拋物線方程；（2）過M作MNFA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)。思路解析：由拋

4、物線定義求p求直線，MN的方程解方程組得N點(diǎn)坐標(biāo)。解答：（1）拋物線的準(zhǔn)線為于是4+=5，=2拋物線方程為y2=4x（）點(diǎn)的坐標(biāo)是（，），由題意得B(0,4),M(0,2),又F(1,0),.MNFA,.則FA的方程為,MN的方程為y-2=x,解方程組,得.(三)直線與拋物線的位置關(guān)系相關(guān)鏈接1.直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)拋線方程為,直線Ax+By+C=0,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去x得到關(guān)于y的方程my2+ny+q=0,(1)若m0,當(dāng)0時(shí),直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)=0時(shí),直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)0時(shí),直線與拋物線沒有公共點(diǎn).(2)若m=0,直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)直線

5、與拋物線的對(duì)稱軸平行.2.焦點(diǎn)弦問題已知AB是過拋物線的焦點(diǎn)的弦,F為拋物線的焦點(diǎn),A(x1,y1),B(x2,y2),則(1) y1y2=-p2,=;（2）（3）；（4）以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。例題解析例已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點(diǎn)F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值。解析：設(shè)與拋物線交于由距離公式|AB|=由從而由于p0，解得（四）拋物線的實(shí)際應(yīng)用例如圖，是通過某市開發(fā)區(qū)中心0的兩條南北和東西走向的道路，連接M、N兩地的鐵路是一段拋物線弧，它所在的拋物線關(guān)于直線L1對(duì)稱M到L1、L2的距離分別是2 km、4km，N到L1、L2的距離分別是3 km、9 kin （1）建立

6、適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線弧MN的方程； （）該市擬在點(diǎn)0的正北方向建設(shè)一座工廠，考慮到環(huán)境問題，要求廠址到點(diǎn)0的距離大于5km而不超過8km，并且鐵路上任意一點(diǎn)到工廠的距離不能小于km求 此廠離點(diǎn)0的最近距離（注：工廠視為一個(gè)點(diǎn)） 解析：（1）分別以、為軸、軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則M（2，4），N（3，9）設(shè)MN所在拋物線的方程為，則有，解得所求方程為（23）5分 （說明：若建系后直接射拋物線方程為，代入一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求對(duì)方程，本問扣2分） （2）設(shè)拋物線弧上任意一點(diǎn)P（，）（23）廠址為點(diǎn)A（0，）（5t8，由題意得07分令，23，49對(duì)于任意的，不等式0恒成立（*）8分設(shè)，8.要使（*）恒成立，需0，即01